― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）≡∀ｙ（～鼻ｙｘ∨長ｙ）
に於いて、｛ａ，ｂ，ｃ｝が「ｙの変域（ドメイン）」であるとき、両者は、
①（ 鼻ａｘ＆長ａ）∨（ 鼻ｂｘ＆長ｂ）∨（ 鼻ｃｘ＆長ｃ）
②（～鼻ａｘ∨長ａ）＆（～鼻ｂｘ∨長ｂ）＆（～鼻ｃｘ∨長ｃ）
である。
然るに、
（02）
①（ 鼻ａｘ＆長ａ）∨（ 鼻ｂｘ＆長ｂ）∨（ 鼻ｃｘ＆長ｃ）
②（～鼻ａｘ∨長ａ）＆（～鼻ｂｘ∨長ｂ）＆（～鼻ｃｘ∨長ｃ）
である以上、
①＝② ではない。
ｃｆ.
① は「連言の、選言」。
② は「選言の、連言」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって長く）、すべてのｚについて（ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である）｝。
に於いて、
①≒② ではあるが、
①＝② ではない。
然るに、
（04）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （イ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （キ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ カＵＥ
ウ（ク） 耳ｂａ ウ＆Ｅ
２ ６ウ（ケ） ～鼻ｂａ キクＭＰＰ
１２ ６ウ（コ） ～長ｂ オケＭＰＰ
ウ（サ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウ（シ） 長ｂ＆～長ｂ コサ＆Ｉ
１２ ６ （ス） 長ｂ＆～長ｂ イウシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３６スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） 鼻ｂａ→長ｂ アＵＥ
１ ６ （ウ） ∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ） ９＆Ｅ
１ ６ （エ） 長ｂ→鼻ｂａ ウＵＥ
２ ６ （オ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） オ＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
キ（ク） 耳ｂａ キ＆Ｅ
キ（ケ） 長ｂ キ＆Ｅ
２ ６ （コ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） オ＆Ｅ
２ ６ （サ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ コＵＥ
２ ６キ（シ） ～鼻ｂａ クサＭＰＰ
１２ ６キ（ス） ～長ｂ エシＭＴＴ
１２ ６キ（セ） 長ｂ＆～長ｂ ケス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ カキセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
に於いて、
①＝② ではないが、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」に於ける、
（１）象は鼻が長い。
といふ「前提（Premise）」の「翻訳」としては、
① であっても、
② であっても、どちらでも良い。
（07）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ）｝
に於いて、
③≒④ ではあるが、
③＝④ ではない。
然るに、
（08）
（１）象は鼻と牙が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）象は鼻と牙が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ＆～牙ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ （オ） ∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ９＆Ｅ
１ ６ （カ） 長ｂ→鼻ｂａ∨牙ｂａ オＵＥ
２ ６ （キ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
ク （ク） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
ク （ケ） 耳ｂａ ク＆Ｅ
ク （コ） 長ｂ ク＆Ｅ
２ ６ （サ） ∀ｘ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （シ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ＆～牙ｂａ サＵＥ
１ ６ ク （ス） 鼻ｂａ∨牙ｂａ カコＭＰＰ
２ ６ ク （セ） ～鼻ｂａ＆～牙ｂａ ケシＭＰＰ
ソ （ソ） 鼻ｂａ Ａ
２ ６ ク （タ） ～鼻ｂａ セ＆Ｅ
２ ６ クソ （チ） ～鼻ｂａ＆鼻ｂａ ソタ＆Ｉ
２ ６ ソ （ツ） ～長ｂ コチＲＡＡ
テ（テ） 牙ｂａ Ａ
２ ６ ク （ト） ～牙ｂａ セ＆Ｅ
２ ６ ク テ（ナ） ～牙ｂａ＆牙ｂａ テト＆Ｉ
２ ６ テ（ニ） ～長ｂ コナＲＡＡ
１２ ６ （ヌ） ～長ｂ スソツテニ∨Ｅ
１２ ６ウ （ネ） 長ｂ＆～長ｂ エヌ＆Ｉ
１２ ６ （ノ） 長ｂ＆～長ｂ イウネＥＥ
１２３ （ハ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ノＥＥ
１２ （ヒ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ハＲＡＡ
１２ （フ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ヒ量化子の関係
１２ （ヘ） ～（兎ａ＆象ａ） フＵＥ
１２ （ホ） ～兎ａ∨～象ａ ヘ、ド・モルガンの法則
１２ （マ） 兎ａ→～象ａ ホ含意の定義
１２ （ミ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） マＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 マＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 マＵＩ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻と牙が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ＆～牙ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ∨牙ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ∨牙ｚａ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｙ（鼻ｙａ∨牙ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ∨牙ｚａ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｙ（鼻ｙａ∨牙ｙａ→長ｙ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） 鼻ｂａ∨牙ｂａ→長ｂ アＵＥ
１ ６ （ウ） ∀ｚ（長ｚ→鼻ｚａ∨牙ｚａ） ９＆Ｅ
１ ６ （エ） 長ｂ→鼻ｂａ∨牙ｂａ ウＵＥ
２ ６ （オ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） オ＆Ｅ
キ （キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
キ （ク） 耳ｂａ キ＆Ｅ
キ （ケ） 長ｂ キ＆Ｅ
２ ６ （コ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） オ＆Ｅ
２ ６ （サ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ＆～牙ｂａ コＵＥ
２ ６キ （シ） ～鼻ｂａ＆～牙ｂａ クサＭＰＰ
１ ６キ （ス） 鼻ｂａ∨ 牙ｂａ エケＭＰＰ
セ （セ） 鼻ｂａ Ａ
２ ６キ （ソ） ～鼻ｂａ シ＆Ｅ
２ ６キセ （タ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ セソ＆Ｉ
２ ６ セ （チ） ～長ｂ ケタＲＡＡ
ツ（ツ） 牙ｂａ Ａ
２ ６キ （テ） ～牙ｂａ シ＆Ｅ
２ ６キ ツ（ト） 牙ｂａ＆～牙ｂａ ツテ＆Ｉ
２ ６ ツ（ナ） ～長ｂ ケトＲＡＡ
１２ ６キ （ニ） ～長ｂ スセチツナ∨Ｅ
１ ６キ （ヌ） 長ｂ イスＭＰＰ
１２ ６キ （ネ） ～長ｂ＆長ｂ ニヌ＆Ｉ
１２ ６ （ノ） ～長ｂ＆長ｂ カキネＥＥ
１２３ （ハ） ～長ｂ＆長ｂ ３６ノＥＥ
１２ （ヒ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ハＲＡＡ
１２ （フ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ヒ量化子の関係
１２ （ヘ） ～（兎ａ＆象ａ） フＵＥ
１２ （ホ） ～兎ａ∨～象ａ ヘ、ド・モルガンの法則
１２ （マ） 兎ａ→～象ａ ホ含意の定義
１２ （ミ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） マＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 マＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 マＵＩ
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ）｝
に於いて、
③＝④ ではないが、
（１）象は鼻と牙が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」に於ける、
（１）象は鼻と牙が長い。
といふ「前提（Premise）」の「翻訳」としては、
③ であっても、
④ であっても、どちらでも良い。
ｃｆ.
〔説文解字〕象、南越大獸、長鼻牙、三年一乳、象二耳牙四足之形一。
（11）
巨大な牙が特徴で、種類によっては牙の長さが5.2メートルに達することもある。日本では、シベリアと北アメリカ大陸に生息し、太く長い体毛で全身を覆われた中型のケナガマンモス M. primigenius が有名である（ウィキペディア）。
然るに、
（12）
② 象は鼻が長い ≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ ）｝。
④ 象は鼻と牙が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ）｝。
といふことからすれば、
⑤ マンモスは鼻と牙と毛が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ∨毛ｚｘ）｝。
といふ、ことになる。
（13）
⑤ マンモスは鼻と牙と毛が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ∨牙ｚｘ∨毛ｚｘ）｝。
は、更に、
⑤ マンモスは鼻と牙と毛が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ→長ｙ＆長ｚ→鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ）｝。
といふ風に、書くことが出来、
⑤ マンモスは鼻と牙と毛が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ→長ｙ＆長ｚ→鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ）｝。
は、更に、「⇔」を用ひることによって、
⑤ マンモスは鼻と牙と毛が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ∨牙ｙｘ∨毛ｙｘ⇔長ｙ）｝。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（12）（13）により、
（14）
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ⇔長ｙ）｝≡
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、そのときに限って、ｙは長い）｝。
といふ風に、書くことが出来る。
令和元年１０月１７日、毛利太。
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