「ド・モルガンの法則」と「仮言命題」と「対偶」の「関係」。

― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）≡Ｐが「真（本当）」であるか、Ｑが「真（本当）」である。といふことはない。
② 　～Ｐ＆～Ｑ　≡Ｐは「偽（ウソ）」であり、　Ｑも「偽（ウソ）」である。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則（Ⅰ）」とする。
然るに、
（03）　
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７Ｕ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（　Ｐ＆　Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④     ～Ｐ∨～Ｑ  ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④ であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則（Ⅱ）」とする。
然るに、
（05）
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（８）　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　　　（ク）　　Ｐ→～Ｑ　　　ウキＣＰ
（ⅴ）
１　（１）　Ｐ→～Ｑ　Ａ
　２（２）　Ｐ＆　Ｑ　Ａ
　２（３）　Ｐ　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　Ｑ　２＆Ｅ
１２（６）　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ　
１　（７）～Ｐ　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）～Ｐ∨～Ｑ　７∨Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
④     ～Ｐ∨～Ｑ  ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤       Ｐ→～Ｑ　≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ～（　Ｐ＆　Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④     ～Ｐ∨～Ｑ  ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤       Ｐ→～Ｑ　≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（07）により、
（08）
⑥ ～（　Ｑ＆　Ｐ）≡ＱとＰの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
⑦     ～Ｑ∨～Ｐ  ≡ＱとＰの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑧       Ｑ→～Ｐ　≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ ～（　Ｐ＆　Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
⑥ ～（　Ｑ＆　Ｐ）≡ＱとＰの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④     ～Ｐ∨～Ｑ  ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑦     ～Ｑ∨～Ｐ  ≡ＱとＰの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤       Ｐ→～Ｑ　≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧       Ｑ→～Ｐ　≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝⑥＝④＝⑦＝⑤＝⑧ である。
然るに、
（10）
「二重否定」により、
～～Ｑ＝Ｑ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑤ Ｐ→～Ｑ≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧ Ｑ→～Ｐ≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入」を行ふと、
⑤ 　Ｐ→　Ｑ≡　Ｐが「真（本当）」であるならば、～Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡～Ｑが「真（本当）」であるならば、　Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（12）
　Ｐ≡Ｐである。
～Ｑ≡Ｑでない。
従って、
（11）（12）により。
（13）
⑤ 　Ｐ→　Ｑ≡「Ｐである」が「真（本当）」であるならば、「Ｑでない」は「偽（ウソ）」である。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」が「真（本当）」であるならば、「Ｐである」は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（14）
⑤「Ｐである」は「真（本当）」≡「Ｐである」
⑧「Ｑでない」は「真（本当）」≡「Ｑでない」
（15）
⑤「Ｑでない」は「偽（ウソ）」≡「Ｑである」
⑧「Ｐである」は「偽（ウソ）」≡「Ｐでない」
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
⑤ 　Ｐ→　Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（17）
⑤ 　Ｐ→　Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
といふことは、「対偶（Contraposition）」に、他ならない。
従って、
（03）～（17）により、
（18）
③ ～（　Ｐ＆　Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④     ～Ｐ∨～Ｑ  ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則（Ⅱ）」が、成り立つが故に、
⑤ 　Ｐ→　Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
といふ「対偶」が成り立つ。
令和元年１０月２７日、毛利太。