∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　Ａ
１　　（３）　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　Ｆａ　～Ｇａ　　　Ａ
　　４（５）　　　　Ｆａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　Ｇａ　　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　　　　～Ｇａ　　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　６７＆Ｉ
　　４（９）～∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　４８ＲＡＡ
　２　（ア）～∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　２４９ＥＥ
１２　（イ）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　（ウ）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　２イＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　～Ｆａ∨　Ｇａ　　３ド・モルガンの法則
１　　（５）　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　４含意の定義
１　　（６）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　５ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）　　　Ａ
　２　　（２）　　（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｆａ→　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４　（６）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　３５ＭＰＰ
　　４　（７）　　　　　　～Ｇａ　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１　４　（８）　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　　　　　　　６７＆Ｉ
　　４　（９）～｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝　　１８ＲＡＡ
１　　　（ア）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→　Ｇｂ　　　　１＆Ｅ
　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ＆～Ｇｂ　　　　Ａ
　　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　イ＆Ｅ
１　　イ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｂ　　　　アウＭＰＰ
　　　イ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｇｂ　　　　イ＆Ｅ
１　　イ（カ）　　　　　　　　　　　　Ｇｂ＆～Ｇｂ　　　　エオ＆Ｉ
　　　イ（キ）～｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝　　１カＲＡＡ
　２　　（ク）～｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝　　２４９イキ∨Ｅ
１２　　（ケ）　｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝＆
　　　　　　　～｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝　　１ク＆Ｉ
１　　　（コ）～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）｝　　２ケＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）｝　　２ケＲＡＡ
１　　　（２）～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆～Ｇｂ）　　　１ド・モルガンの法則
１　　　（３）～（Ｆａ＆～Ｇａ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　（４）　～Ｆａ∨　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１　　　（５）　（Ｆａ→　Ｇａ）　　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１　　　（６）　　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆～Ｇｂ）　　　２＆Ｅ
１　　　（７）　　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨　Ｇｂ　　　　６ド・モルガンの法則
１　　　（８）　　　　　　　　　　　（Ｆｂ→　Ｇｂ）　　　７含意の定義
１　　　（９）　（Ｆａ→　Ｇａ）＆　（Ｆｂ→　Ｇｂ）　　　５８＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
①　 ｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝
② ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
①　　 （Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）
② ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）｝
という「式」は、それぞれ、
① 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
という「述語論理式」に、「相当」する。
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
① 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）⇔　 ｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）｝
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）⇔ ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
①　 ∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）⇔　 ｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）＆（Ｆｃ→　Ｇｃ）｝
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）⇔ ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆～Ｇｃ）｝

に於いて、

①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
①「すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧである。」　　　　⇔　 ｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）＆（Ｆｃ→　Ｇｃ）｝
②「あるｘがＦであって、そのｘがＧでない、ということはない。」⇔ ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆～Ｇｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝に於ける、｛要素の個数｝が、｛たった３個｝であっても、
①　 ｛（Ｆａ→　Ｇａ）＆（Ｆｂ→　Ｇｂ）＆（Ｆｃ→　Ｇｃ）｝
② ～｛（Ｆａ＆～Ｇａ）∨（Ｆｂ＆～Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆～Ｇｃ）｝
と書くのは、「面倒」であるため、
①　 ∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
という風に、書くことに、なる。
令和０２年０８月１０日、毛利太。