「命題計算」以外に、「述語計算」を「必要」とする「理由」。

（01）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（Ｆｘ）⇔（Ｆａ∨Ｆｂ）⇔（ａはＦであるか、または、ｂはＦであるか、または、その両方である。）
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）
従って、
（03）により、
（04）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　２ＥＩ
１２（４）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）＆
　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　　２４ＲＡＡ
１　（６）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　５ＵＩ
（ⅳ）
１　　（１）　∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　Ａ
　２　（２）　　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　（Ｆａ＆Ｇａ）　　Ａ
１　　（４）　　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　　１ＵＥ
１　３（５）　　　　（Ｆａ＆Ｇａ）＆
　　　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　　３４＆Ｉ
　　３（６）～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　１５ＲＡＡ
　２　（７）～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　２３６ＥＥ
１２　（８）　∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　２８ＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（Ｆであって、Ｇである所のｘは）存在しない。
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔すべてのｘについて（Ｆであって、Ｇである）ということはない。
に於いて、
③＝④ は「量化子の関係」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　２ＵＥ
１（４）　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　４含意の定義
１（６）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　５ＵＩ
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
１（３）　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　２含意の定義
１（４）　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　５量化子の関係
従って、
（08）により、
（09）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ）　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　Ｆａ→～Ｇａ　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　２＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→～Ｇｂ　　　７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　Ａ
１（２）　（Ｆａ→～Ｇａ）　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　２含意の定義
１（４）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　　（Ｆｂ→～Ｇｂ）　１＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　４含意の定義
１（７）　　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　６ド・モルガンの法則
１（８）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　８ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ （Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（14）
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
③（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
④（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
然るに、
（01）（14）により、
（15）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとして、
③（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
④（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）＆（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）
ということは、
③（すべてのフランス人は学生ではない。）
④（すべてのフランス人は学生ではない。）
ということに、他ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとして、
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
という「等式」が、成立する。
然るに、
（16）により、
（17）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝は｛十人の個人｝である。
としても、
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
という「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ）　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　Ｆａ→～Ｇａ　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　２＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→～Ｇｂ　　　７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　Ａ
１（２）　（Ｆａ→～Ｇａ）　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　２含意の定義
１（４）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　　（Ｆｂ→～Ｇｂ）　１＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　４含意の定義
１（７）　　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　６ド・モルガンの法則
１（８）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝という｛十人分｝で書くのは、「大変」であるし、｛十万人分｝で書くことは、「現実的」ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ）　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　Ｆａ→～Ｇａ　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　２＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→～Ｇｂ　　　７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　Ａ
１（２）　（Ｆａ→～Ｇａ）　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　２含意の定義
１（４）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　　（Ｆｂ→～Ｇｂ）　１＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　４含意の定義
１（７）　　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　６ド・モルガンの法則
１（８）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛十人分｝書くのは、「大変」であるし、｛十万人分｝書くわけには、行かないため、
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　２ＵＥ
１（４）　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　４含意の定義
１（６）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　５ＵＩ
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
１（３）　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　２含意の定義
１（４）　　～（Ｆａ＆Ｇａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　５量化子の関係
という「述語計算」を、「必要」とする。
然るに、
（20）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆ＆Ｇ）∨（Ｈ＆Ｉ）｝　Ａ
１（２）～（Ｆ＆Ｇ）＆～（Ｈ＆Ｉ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆ＆Ｇ）　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）～Ｆ∨～Ｇ　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　Ｆ→～Ｇ　　　　　　　　　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　～（Ｈ＆Ｉ）　　２＆Ｅ
１（７）　　　　　　　～Ｈ∨～Ｉ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　Ｈ→～Ｉ　　　７含意の定義
１（９）（Ｆ→～Ｇ）＆（Ｈ→～Ｉ）　　５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆ→～Ｇ）＆（Ｈ→～Ｉ）　　Ａ
１（２）（Ｆ→～Ｇ）　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｆ∨～Ｇ　　　　　　　　　　２含意の定義
１（４）～（Ｆ＆Ｉ）　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　（Ｈ→～Ｉ）　１＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　～Ｈ∨～Ｉ　　４含意の定義
１（７）　　　　　　　　～（Ｈ＆Ｉ）　６ド・モルガンの法則
１（８）　～（Ｆ＆Ｉ）＆～（Ｈ＆Ｉ）　４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆ＆Ｇ）∨（Ｈ＆Ｉ）｝　８ド・モルガンの法則
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ）　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　Ｆａ→～Ｇａ　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　　２＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→～Ｇｂ　　　７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）　　Ａ
１（２）　（Ｆａ→～Ｇａ）　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　　　　　　　　　２含意の定義
１（４）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　　（Ｆｂ→～Ｇｂ）　１＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｇｂ　　４含意の定義
１（７）　　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　６ド・モルガンの法則
１（８）　～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ）　４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝　８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛十万人分｝書くことは、「原理的」には、「可能」であるため、「述語計算」は、「命題計算」に、「置き換える」ことが出来る。
令和０２年０８月０４日、毛利太。