∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）

（01）
―「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、問題２ｅ（１４１頁）」の「解答」―
（ａ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｈｘ）　Ａ
１　　（３）　　　Ｆａ→　Ｇａ　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｇａ→～Ｈａ　　２ＵＥ
　　５（５）　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
１　５（６）　　　　　　　Ｇａ　　３５ＭＰＰ
１２５（７）　　　　　　～Ｈａ　　４６ＭＰＰ
１２　（８）　　　Ｆａ→～Ｈａ　　５７ＣＰ
１２　（９）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｈｘ）　８ＵＩ
（ｂ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（Ｈｘ→　Ｇｘ）　Ａ
１　　　（３）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　Ｈａ→　Ｇａ　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　　Ｈａ　　　　　　Ａ
１　５　（７）　　　　　　～Ｇａ　　３５ＭＰＰ
　２　６（８）　　　　　　　Ｇａ　　４６ＭＰＰ
１２５６（９）　　　～Ｇａ＆Ｇａ　　７８＆Ｉ
１２５　（ア）　　～Ｈａ　　　　　　６９ＲＡＡ
１２　　（イ）　　　Ｆａ→～Ｈａ　　５アＣＰ
１２　　（ウ）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｈｘ）　イＵＩ
（ｃ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（Ｈｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　　　（３）　　　Ｆａ→　Ｇａ　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　Ｈａ→～Ｇａ　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　　Ｈａ　　　　　　Ａ
１　５　（７）　　　　　　　Ｇａ　　３５ＭＰＰ
　２　６（８）　　　　　　～Ｇａ　　４６ＭＰＰ
１２５６（９）　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　７８＆Ｉ
１２５　（ア）　　～Ｈａ　　　　　　６９ＲＡＡ
１２　　（イ）　　　Ｆａ→～Ｈａ　　５アＣＰ
１２　　（ウ）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｈｘ）　イＵＩ
（ｄ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（Ｈｘ→　Ｇｘ）　Ａ
１　　　（３）　　　Ｇａ→～Ｆａ　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　Ｈａ→　Ｇａ　　１ＵＥ
　　５　（５）　　　Ｈａ　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　　Ｇａ　　４５ＭＰＰ
１２５　（７）　　　　　　～Ｆａ　　３６ＭＰＰ
１２　　（８）　　　Ｈａ→～Ｆａ　　５７ＣＰ
　　　９（９）　　　　　　　Ｆａ　　Ａ
　　　９（ア）　　　　　～～Ｆａ　　９ＤＮ
１２　９（イ）　　～Ｈａ　　　　　　８アＭＴＴ
１２　　（ウ）　　　Ｆａ→～Ｈａ　　９イＣＰ
１２　　（エ）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｈｘ）　ウＵＩ
（ｅ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３（３）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
１３（５）　　　　　　Ｇａ　　　　　　２４ＭＰＰ
１３（５）　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　５ＵＩ
１　（６）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　３５ＣＰ
（ｆ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ→Ｈｘ）　Ａ
　２（２）∀ｘ（～Ｈｘ）　　　　　　Ａ
１　（３）　　　Ｆａ∨Ｇａ→Ｈａ　　１ＵＥ
　２（４）　　　～Ｈａ　　　　　　　２ＵＥ
１２（５）　～（Ｆａ∨　Ｇａ）　　　３４ＭＴＴ
１２（６）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　　５ド・モルガンの法則
１２（７）　　～Ｆａ　　　　　　　　６＆Ｅ
１２（８）∀ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　７ＵＩ
然るに、
（02）
「解答（01）」に於いて、気になるのは、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
であるならば、「逆」に、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
であるか、否か、ということである。
ｃｆ.
「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩（世界思想社）」には、「解答」は載っていない。
然るに、
（03）
（ｅ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＵＩ（は間違い）
１２（４）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１２ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　６ＵＩ
然るに、
（04）
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ（は正しい）
であれば、「正しい」が、
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＵＩ（は間違い）
の場合は、「間違い」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」であるが、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」ではない。
（06）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
（２）∀ｘ（Ｆｘ）
（ア）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
という「式」は、
（１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）
（２）（Ｆａ＆Ｆｂ）
（ア）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）
という「式」に、相当する。
然るに、
（07）
１　（１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）　Ａ
　２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（４）　Ｆｂ→Ｇｂ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　２（５）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（６）　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（７）　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　３５ＭＰＰ
１２（８）　　　　Ｇｂ　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ
１２（９）（Ｇａ＆Ｇｂ）　　　　　　　　　７８＆Ｉ
１　（ア）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）　２９ＣＰ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」、すなわち、
（ｅ）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）├（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）　Ａ
　２　（２）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１２　（３）　　　　　　　　（Ｇａ＆Ｇｂ）　１２ＭＰＰ
１２　（４）　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　２４ＣＰ
　　６（６）　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　Ｇａ＆Ｇｂ　　１６ＭＰＰ
１　６（８）　　　　　　　　　　　　Ｇｂ　　７＆Ｅ
１　　（９）　　　　Ｆｂ→Ｇｂ　　　　　　　６８ＣＰ
１　　（ア）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）　５９＆Ｉ
に於いて、
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）　Ａ
　２　（２）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１２　（３）　　　　　　　　（Ｇａ＆Ｇｂ）　１２ＭＰＰ
という「計算」と、
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）　Ａ
　　６（６）　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　Ｇａ＆Ｇｂ　　１６ＭＰＰ
という「計算」は、もちろん、「間違い（デタラメ）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」、すなわち、
（ｅ）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）├（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）（10）により、
（11）
｛ａ、ｂ｝を、｛ｘの変域｝とすると、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
（ｅ）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）├（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」であるが、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
（ｅ）（Ｆａ＆Ｆｂ）→（Ｇａ＆Ｇｂ）├（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（11）により、
（12）
例えば、
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ、ｋ、ｌ、ｍ、ｎ、ｏ、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｖ、ｗ、ｙ、ｚ｝を、｛ｘの変域｝としても、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」であるが、
（ｅ）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
という「連式（Sequent）」は、「妥当」ではない。
という『結論』は、もちろん、「変わらない」。
令和０２年０８月０９日、毛利太。