Ｐ→（Ｑ→Ｐ）の「対偶」と「排中律」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　Ａ
　２　（４）　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　２３（５）　　　　　　　　Ｐ　　３４ＭＰＰ
　２　（６）　　　　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ
　２３（７）　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　５６＆Ｉ
　２　（８）　　　～（Ｑ→　Ｐ）　３７ＲＡＡ
１２　（９）～Ｐ　　　　　　　　　１８ＭＴＴ
１　　（ア）（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ　　２９ＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　２　　（３）　　　　　　　　～～Ｐ　２ＤＮ
１２　　（４）　～（Ｑ＆～Ｐ）　　　　１３ＭＴＴ
　　５　（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　５６（７）　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ
１２５６（８）　～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　　４７＆Ｉ
１２５　（９）　　　　～～Ｐ　　　　　６ＲＡＡ
１２５　（ア）　　　　　　Ｐ　　　　　９ＤＮ
１２　　（イ）　　　Ｑ→　Ｐ　　　　　５アＣＰ
１　　　（ウ）Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　　２イＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
①＝③ は、「対偶（Contrapostion）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨（　Ｑ→Ｐ）　１含意の定義
　３　（３）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　　Ｑ→Ｐ　　Ａ
　　５（６）　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　５含意の定義
　　５（７）　～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　５∨Ｉ
１　　（８）　～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　３４５７∨Ｅ
１　　（９）　～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｐ　　８結合法則
１　　（ア）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　　９交換法則
１　　（イ）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　　ア結合法則
（ⅱ）
１　　（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　　１結合法則
１　　（３）　～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｐ　　２交換法則
１　　（４）　～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　３結合法則
　５　（５）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　５　（６）　～Ｐ∨（　Ｑ→Ｐ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　Ａ
　　７（８）　　　　　　Ｑ→Ｐ　　７含意の定義
　　７（９）　～Ｐ∨（　Ｑ→Ｐ）　８∨Ｉ
１　　（ア）　～Ｐ∨（　Ｑ→Ｐ）　４５６７９∨Ｅ
１　　（イ）　　Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）　ア含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
①    Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　　（１）　（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ　Ａ
１　　　（２）～（Ｑ＆～Ｐ）∨～Ｐ　Ａ
　３　　（３）～（Ｑ＆～Ｐ）　　　　Ａ
　３　　（４）　～Ｑ∨　Ｐ　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）　～Ｑ∨　Ｐ　∨～Ｐ　４∨Ｉ
　３　　（６）　～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ）　５結合法則
　　７　（７）　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　７　（８）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　　７∨Ｉ
　　　９（９）（Ｐ∨～Ｐ）　　　　　Ａ
　　　９（ア）（～Ｐ∨Ｐ）　　　　　９交換法則
　　　９（イ）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　　３７８９イ∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　Ａ
１　　　　（２）～Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）　１交換法則
１　　　　（３）　Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）　２含意の定義
　４　　　（４）　Ｑ　　　　　　　　Ａ
１４　　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　３４ＭＰＰ
１４　　　（６）　　　　Ｐ∨～Ｐ　　５交換法則
　　７　　（７）　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　７　　（８）　　～～Ｐ　　　　　７ＤＮ
　　７　　（９）　　～～Ｐ∨～Ｐ　　７∨Ｉ
　　　ア　（ア）　　　　　　～Ｐ　　Ａ
　　　ア　（イ）　　～～Ｐ∨～Ｐ　　ア∨Ｉ
１４　　　（ウ）　　～～Ｐ∨～Ｐ　　６７９アイ∨Ｅ
１４　　　（エ）　　　～Ｐ→～Ｐ　　ウ含意の定義
１　　　　（オ）Ｑ→（～Ｐ→～Ｐ）　４エＣＰ
　　　　カ（カ）Ｑ＆　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　カ（キ）Ｑ　　　　　　　　　カ＆Ｅ
１　　　カ（ク）　　　～Ｐ→～Ｐ　　オキＭＰＰ
　　　　カ（ケ）　　　～Ｐ　　　　　カ＆Ｅ
１　　　カ（コ）　　　　　　～Ｐ　　クケＭＰＰ
１　　　　（サ）（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ　カコＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
④（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
④（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
②  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、特に、
　　②＝③ は、「対偶（Contrapostion）」である。
然るに、
（09）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①（～Ｐ∨Ｐ）は、
①（ 排中律 ）は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
①（恒真式）∨～Ｑ
の場合は、
①（恒真式）∨～真
であっても、
①（恒真式）∨～偽
であっても、「式全体」としては、「恒に真」である。
ｃｆ.
「真理値表（意味論・セマンティックス）」。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
②  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
① が「恒に真」であるが故に、
② Ｐ→（真→Ｐ）　　 は、「恒に真」であり、
② Ｐ→（偽→Ｐ） 　　も、「恒に真」であり、
③（真＆～Ｐ）→～Ｐ　も、「恒に真」であり、
③（偽＆～Ｐ）→～Ｐ　も、「恒に真」である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であるならば、太陽は東から昇る）。
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才でないならば、太陽は東から昇る）。
といふ「命題」は、「２つ」とも「真」であり、
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であって、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才でなくて、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
従って、
（12）により、
（13）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡ 太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽は東から昇る）。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
といふ「２つ命題」は、「２つ」とも、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（02）（07）（13）により、
（14）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡ 太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽は東から昇る）。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
といふ「２つ命題」は、「対偶（Contrapositon)」であって、「恒に真（tautology）」である。
ｃｆ.
「天才バカボンの歌」。
令和０２年０６月０７日、毛利太。