「（項が３つである場合の）ド・モルガンの法則」と「括弧」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
②   ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
②   ～Ｐ∨～Ｑ
に於ける、
①＝② の「両辺」を「否定」すると、
③ ～～（Ｐ＆　Ｑ）
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 　～（Ｐ＆　Ｑ）
②   　～Ｐ∨～Ｑ
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
「順番」を変へると、
① 　～（Ｐ＆　Ｑ）
②   　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ 　　　Ｐ＆　Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（07）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ 　　　Ｐ＆　Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ 　　　～Ｐ＆　～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
②   ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（10）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②  Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでなくてＱでない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「日本語」として、「当然」である。
（11）
③（Ｐであるか、　Ｑである。）といふことはない。
④　Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、
③＝④ である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（Ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）≡～Ｐ∨～Ｑ
（Ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）≡～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「日本語」としても、「当然」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　５（６）　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　５ド・モルガンの法則
　　５（７）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　６∨Ｉ
１　　（８）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　２３４５７∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　２∨Ｉ
　　４（４）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　　４（５）　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　４ド・モルガンの法則
　　４（６）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　５∨Ｉ
１　　（７）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１２３４６∨Ｅ
１　　（８）～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　７ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
① ～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
② 　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
（15）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ
１（２）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１（４）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１（５）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則
従って、
（15）により、
（16）
③　～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
④　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）（16）により、
（17）
① 　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝
②  　 ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
④　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（18）
②　～偽∨（～Ｑ　＆～真）
④（～偽∨　～Ｑ）＆～真
に於いて、
② は、「式全体」として「真」であるが、
④ は、「式全体」として「偽」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① 　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝
②  　 ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
④　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
②＝④ ではない。
然るに、
（17）により、
（20）
① 　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝
②  　 ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
④　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
といふ「論理式」を、
①  ～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
② 　 ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③　～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
④　　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ風に、書いては、ならない。
然るに、
（21）
⑤　～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
⑥　　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
と書けば、
① 　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝
②  　 ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
であるか、
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
④　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
であるかの、どちらかである。
従って、
（17）（21）により、
（22）
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ）
⑥　 ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ といふ「等式」自体は、「正しい」。
従って、
（09）（22）により、
（23）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
②   ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ）
⑥　 ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ である。
従って、
（23）により、
（24）
（Ｐ，Ｑ）が、
｛Ｐ，Ｑ，Ｒ）に変ったとしても、「ド・モルガンの法則」は、成立する。
令和０２年０６月１５日、毛利太。