「分配法則」と「必要条件・十分条件」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　１２６７イＶＥ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（３）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　Ｒ　　　　５＆Ｅ
　　５（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
　　５（９）　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　７∨Ｉ
　　５（ア）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８９＆Ｉ
１　　（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２４５ア∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　　　　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（４）～～Ｐ　　　　　　　　　　３ＤＮ
　３　　　　（５）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ
　　６　　　（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　６　　　（７）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
１　　　　　（８）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２３５６７∨Ｅ
１　　　　　（９）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　８含意の定義
１　　　　　（ア）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　１＆Ｅ
　　　イ　　（イ）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　イ　　（ウ）　　　　　　～～Ｐ　　　　イＤＮ
　　　イ　　（エ）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　ウ∨Ｉ
　　　　オ　（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　オ　（カ）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　オ∨Ｉ
１　　　　　（キ）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　アイエオカ∨Ｅ
１　　　　　（ク）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　キ含意の定義
　　　　　ケ（ケ）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　ケ（コ）　　　　Ｑ　　　　　　　　９ケＭＰＰ
１　　　　ケ（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　クケＭＰＰ
１　　　　ケ（シ）　　　　  Ｑ＆Ｒ　　　　　コサ＆Ｉ
１　　　　　（ス）　～Ｐ→  Ｑ＆Ｒ　　　　　ケシＣＰ
１　　　　　（ソ）    Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　ス含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
③  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
④（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② は、「分配法則（Ⅰ）」であって、
③＝④ は、「分配法則（Ⅱ）」である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１）（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　　Ａ
１（２）　Ｒ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　１交換法則
１（３）（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｑ）　２分配法則（Ⅱ）
１（４）（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）（Ｐ∨Ｒ）　　　　　　　４交換法則
１（６）　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　３＆Ｅ
１（７）　　　　　　（Ｑ∨Ｒ）　５交換法則
１（８）（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）　５７＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
１（２）（Ｐ∨Ｒ）　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　２交換法則
１（４）　　　　　　（Ｑ∨Ｒ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　３交換法則
１（６）（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｑ）　３５＆Ｉ
１（７）　Ｒ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　６分配法則（Ⅱ）
１（８）（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　　７交換法則
従って、
（03）により、
（04）
③（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
③＝④ は、「分配法則（Ⅱ）」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② は、「分配法則（Ⅰ）」であって、
③＝④ は、「分配法則（Ⅱ）」である。
然るに、
（06）
①  偽＆（Ｑ∨Ｒ）
であれば、
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
は、それだけで、「偽」である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ が「真」であることは、
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） が「真」であるための「必要条件」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①  Ｐ＆（Ｑ∨真）
であったとしても、
①  偽＆（Ｑ∨真）
であれば、
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
は、それだけで、「偽」である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ｒ が「真」であることは、
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） が「真」であるための「十分条件」ではない。
然るに、
（10）
③（Ｐ＆Ｑ）∨真
であれば、
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）
は、それだけで、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｒ が「真」であることは、
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ） が「真」であるための「十分条件」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④ Ｐが「真」でなくとも、
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ） は「真」である。
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｒ が「真」であることは、
④（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ） が「真」であるための「必要条件」ではない。
従って、
（05）～（13）により、
（14）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
① Ｐ は、① が「真」であるための「必要条件」であって、
① Ｒ は、① が「真」であるための「十分条件」ではなく、
③ Ｐ は、③ が「真」であるための「必要条件」ではなく、
③ Ｒ は、③ が「真」であるための「十分条件」である。
因みに、
（15）
「命題計算」の際に、「分配法則」を使ったのは、今までに、
　（03）
　（ⅲ）
　１（２）　Ｒ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　１交換法則
　１（３）（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｑ）　２分配法則（Ⅱ）
　（ⅳ）
　１（６）（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｑ）　３５＆Ｉ
　１（７）　Ｒ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　６分配法則（Ⅱ）
の、「二度」だけである。
令和０２年０６月１４日、毛利太。