「ヒルベルト・アッカーマンの公理」の「対偶」。

（01）

（トップエスイー講座「基礎理論」講座第1回の「命題理論」のPart4の映像です）
（02）
（ⅰ）
１　　（１）Ａ∨Ａ　　　仮定
　２　（２）Ａ　　　　　仮定
　　３（３）　　Ａ　　　仮定
１　　（４）Ａ　　　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）Ａ∨Ａ→Ａ　１４ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ａ　　　　　仮定
１（２）Ａ∨Ｂ　　　１∨Ｉ
　（３）Ａ→Ａ∨Ｂ　１２ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）Ａ∨Ｂ　仮定
　２　（２）Ａ　　　仮定
　２　（３）Ｂ∨Ａ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｂ　仮定
　　４（５）Ｂ∨Ａ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｂ∨Ａ　　　　　１２３４５∨Ｉ
　　　（７）Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ　１６ＣＰ
（ⅳ）
１　　　（１）　　　　　　　　　　　　　　Ａ→Ｂ　　　仮定
　２　　（２）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ∨Ａ　　　仮定
　　３　（３）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　仮定
　　３　（４）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ∨Ｂ　　　３∨Ｉ
　　　５（５）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ
１　　５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ　　　１５ＭＰＰ
１　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ∨Ｂ　　　６∨Ｉ
１２　　（８）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ∨Ｂ　　　１３４５７∨Ｅ
１　　　（９）　　　　　　　（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ）　　２８ＣＰ
　　　　（ア）（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））　１９ＣＰ
（ⅴ）
１　　（１）　　　　　　　　　　　　　　Ａ→Ｂ　　　仮定
　２　（２）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ→Ａ　　　仮定
　　３（３）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　仮定
　２３（４）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　２３ＭＰＰ
１２３（５）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ　　　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　　　　　　　　　　　　Ｃ→Ｂ　　　３５ＣＰ
１　　（７）　　　　　　　（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ）　　２６ＣＰ
　　　（８）（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））　１７ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「ヒルベルト・アッカーマンの公理」、すなはち、
①  Ａ∨Ａ→Ａ
②  Ａ→Ａ∨Ａ　
③  Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ　
④（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））
⑤（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））
といふ「公理」は、「自然演繹の規則」によって、「演繹」出来る。
（04）
（ⅰ）
１　（１）　　　　　Ａ∨Ａ→Ａ　仮定
　２（２）　　　　　　　　～Ａ　仮定
１２（３）　　　～（Ａ∨Ａ）　　１２ＭＴＴ
１２（４）　　　～Ａ＆～Ａ　　　３ド・モルガンの法則
１　（５）～Ａ→～Ａ＆～Ａ　　   ２４ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）  　Ａ→Ａ∨Ａ　　仮定
　２（２）　 ～Ａ＆～Ａ   　仮定
　２（３）　　～（Ａ∨Ａ）　２ド・モルガンの法則
１２（４）～Ａ　　　　　　　１３ＭＴＴ
１　（５）～Ａ＆～Ａ→～Ａ　２４ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　　Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ　　　仮定
　２（２）　　　　　～Ｂ＆～Ａ　　仮定
　２（３）　　　　～（Ｂ∨Ａ）　　２ド・モルガンの法則
１２（４）～（Ａ∨Ｂ）　　　　　　１３ＭＴＴ
１２（５）～Ａ＆～Ｂ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
１　（６）～Ｂ＆～Ａ→～Ａ＆～Ｂ　２５ＣＰ
然るに、
（05）
（ⅶ）
１　　　　　　　　（１）～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　　　　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　　４　　　　　（４）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　　３４　　　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５＆Ｉ
　　　４　　　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　　８　　　　（８）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　　３　８　　　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　　８　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ
　２　　　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　　エ　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　オ　　（オ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　エオ　　（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ
　２　　　エオ　　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
　２　　　エ　　　（ク）　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　２　　　エ　　　（ケ）　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
　２　　　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
１２　　　　　　　（サ）～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　　　　（シ）～（～Ｐ∨Ｑ）　　２サＲＡＡ
　　　　　　　ス　（ス）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　　　ス　（セ）　　～Ｐ∨Ｑ　　　ス∨Ｉ
１　　　　　　ス　（ソ）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　シセ＆Ｉ
１　　　　　　　　（タ）　～～Ｐ　　　　　スソＲＡＡ
１　　　　　　　　（チ）　　　Ｐ　　　　　タＲＡＡ
　　　　　　　　ツ（ツ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　　　　　ツ（テ）　　～Ｐ∨Ｑ　　　ツ∨Ｉ
１　　　　　　　ツ（ト）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　シテ＆Ｉ
１　　　　　　　　（ナ）　　　　～Ｑ　　　ツトＲＡＡ
１　　　　　　　　（ニ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　チナ＆Ｉ
（ⅷ）
１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
１　（３）　　Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　２３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　１＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→　Ｑ）　２６ＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
⑦ ～（Ｐ→　Ｑ）　
⑧　　 Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
⑦＝⑧ であるが、この「等式」を、「含意の否定」とする。
然るに、
（07）
（ⅳ）
１　（１）　（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））　仮定
　２（２）　　　　　　　（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）　仮定
　２（３）　　　　　　　（Ｃ∨Ａ）　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　　　　　　　（～Ｃ＆～Ｂ）　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　　　　～（Ｃ∨　Ｂ）　４ド・モルガンの法則
　２（６）　　　　　　　（Ｃ∨Ａ）＆～（Ｃ∨　Ｂ）　３５＆Ｉ
　２（７）　　　　　　～（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））　６含意の否定
１２（８）～（Ａ→Ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　１７ＭＴＴ
１２（９）　Ａ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　８含意の否定
１　（ア）（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）　２９ＣＰ
（ⅶ）
１　（１）　（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））　　仮定
　２（２）　　　　　　　（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）　　仮定
　２（３）　　　　　　　（～Ｃ∨Ａ）　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　　（Ｃ→Ａ）　　　　　　　　　３含意の定義
　２（５）　　　　　　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　Ａ
　２（６）　　　　　　　　　　　　　　～（Ｃ→Ｂ）　　５含意の否定
　２（７）　　　　　　　　（Ｃ→Ａ）＆～（Ｃ→Ｂ）　　４６＆Ｉ
　２（８）　　　　　　　～（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））　７含意の否定
１２（９）～（Ａ→Ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　１８ＭＴＴ
１２（ア）　Ａ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　９含意の否定
１　（イ）（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）　　２ＡＣＰ
従って、
（01）～（07）により、
（08）
①  Ａ∨Ａ→Ａ
②  Ａ→Ａ∨Ａ　
③  Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ　
④（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））
⑤（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））
といふ「ヒルベルト・アッカーマンの公理」は、その「対偶」である所の、
① ～Ａ→～Ａ＆～Ａ　
② ～Ａ＆～Ａ→～Ａ
③ ～Ｂ＆～Ａ→～Ａ＆～Ｂ
④（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
⑤（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
といふ「論理式」に、「等しい」。
（09）
④（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
⑤（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
といふ「式」は、
④（Ｃであるか、またはＡである）が（ＣでなくてＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
⑤（Ｃでないか、またはＡである）が（ＣであってＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（10）
④（Ｃであるか、またはＡである）が（ＣでなくてＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
⑤（Ｃでないか、またはＡである）が（ＣであってＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」である。
令和０２年０６月０８日、毛利太。