（01）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
従って、
（02）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 鼻は象は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。
② 耳は兎は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くない。
③ 顔は馬は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 鼻は象は長く、象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻ではない。
② 耳は兎は長く、兎以外で、ある部分が長いのであれば、耳ではない。
③ 顔は馬は長く、馬以外で、ある部分が長いのであれば、顔ではない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻ではない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｙはｘの鼻ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆長ａ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～長ａ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） ～長ａ∨象ｂ ９交換法則
３６ （イ） 長ａ→象ｂ ア含意の定義
３ （ウ） 鼻ａｂ→（長ａ→象ｂ） ６イＣＰ
エ（エ） 鼻ａｂ＆ 長ａ Ａ
エ（オ） 鼻ａｂ エ＆Ｅ
３ エ（カ） 長ａ→象ｂ ウオＭＰＰ
エ（キ） 長ａ エ＆Ｅ
３ エ（ク） 象ｂ カキＭＰＰ
３ （ケ） 鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ エクＣＰ
３ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ） ４ケ＆Ｉ
３ （サ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ コＥＩ
１ （シ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ ２３サＥＥ
１ （ス）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（鼻ｘｙ＆長ｘ→象ｙ）｝ シＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（鼻ｘｙ＆長ｘ→象ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ｂ Ａ
３６ （７） ～（鼻ａｂ＆長ａ） ５６ＭＴＴ
３６ （８） ～鼻ａｂ∨～長ａ ７ド・モルガンの法則
３６ （９） ～長ａ∨～鼻ａｂ ８交換法則
３６ （ア） 長ａ→～鼻ａｂ ９含意の定義
３ （イ） ～象ｂ→（長ａ→～鼻ａｂ） ６アＣＰ
ウ（ウ） ～象ｂ＆ 長ａ Ａ
ウ（エ） ～象ｂ ウ＆Ｅ
３ ウ（オ） 長ａ→～鼻ａｂ イエＭＰＰ
ウ（カ） 長ａ ウ＆Ｅ
３ ウ（キ） ～鼻ａｂ オカＭＰＰ
３ （ク） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ウキＣＰ
３ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） ４ク＆Ｉ
３ （コ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ ２３コＥＥ
１ （シ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ サＵＩ
（06）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（鼻ｘｙ＆長ｘ→象ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ｂ Ａ
３６ （７） ～（鼻ａｂ＆長ａ） ５６ＭＴＴ
３６ （８） ～鼻ａｂ∨～長ａ ７ド・モルガンの法則
３６ （９） 鼻ａｂ→～長ａ ８含意の定義
３ （ア） ～象ｂ→（鼻ａｂ→～長ａ） ６９ＣＰ
イ（イ） ～象ｂ＆ 鼻ａｂ Ａ
イ（ウ） ～象ｂ イ＆Ｅ
３ イ（エ） 鼻ａｂ→～長ａ アウＭＰＰ
イ（オ） 鼻ａｂ イ＆Ｅ
３ イ（カ） ～長ａ エオＭＰＰ
３ （キ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ イカＣＰ
３ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４キ＆Ｉ
３ （ケ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ クＥＩ
１ （コ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３ケＥＥ
１ （サ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ コＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ｂ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨ＥＥ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
ケ （ケ） 鼻ａｂ Ａ
ケ （コ） ～～鼻ａｂ ケＤＮ
３６ ケ （サ） ～～象ｂ キコＭＴＴ
３６ ケ （シ） 象ｂ サＤＮ
３６ （ス） 鼻ａｂ→象ｂ ケシＣＰ
３ （セ） 長ａ→（鼻ａｂ→象ｂ） ６スＣＰ
ソ（ソ） 鼻ａｂ＆長ｂ Ａ
ソ（タ） 長ｂ ソ＆Ｅ
３ ソ（チ） 鼻ａｂ→象ｂ セタＭＰＰ
ソ（ツ） 鼻ａｂ ソ＆Ｅ
３ ソ（テ） 象ｂ チツＭＰＰ
３ （ト） 鼻ａｂ＆長ｂ→ 象ｂ ソテＣＰ
３ （ナ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ） ４ト＆Ｉ
３ （ニ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ ナＥＩ
１ （ヌ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ ２３ヌＥＥ
１ （ネ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（鼻ｘｙ＆長ｘ→象ｙ）｝ ヌＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（ 鼻ｘｙ＆長ｘ→ 象ｙ）｝
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｙはｘの鼻ではない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、長いならば、ｙは象である｝。
③ すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（ 鼻ｘｙ＆長ｘ→ 象ｙ）｝
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
① 鼻は象は長く、象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻ではない。
② 鼻は象は長く、鼻が長いならば、象である。
③ 鼻は象は長く、象以外の鼻は、長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
ｃｆ.
「対偶（Contraposition）」。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～～鼻ａｂ アＤＮ
３ ７（ウ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４イＭＰＰ
３ ７（エ） ～～象ｂ∨～長ａ ウ、ド・モルガンの法則
３ ７（オ） ～象ｂ→～長ａ エ含意の定義
３ ７（カ） ～長ａ ９オＭＰＰ
７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（ク） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ カキ＆Ｉ
３ ７（ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） クＥＩ
３ ６ （コ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７ケＥＥ
３ ６ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） コＥＩ
３５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６サＥＥ
１ ５ （ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２３シＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」と、
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（鼻ｘｙ＆長ｘ→象ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（鼻ａｙ＆長ａ→象ｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆長ａ→象ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
３ ７（イ） ～（鼻ａｂ＆長ａ） ４９ＭＴＴ
３ ７（ウ） ～鼻ａｂ∨～長ａ イ、ド・モルガンの法則
３ ７（エ） 鼻ａｂ→～長ａ ウ、含意の定義
３ ７（オ） ～長ａ アエＭＰＰ
３ ７（カ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８イ＆Ｉ
３ ７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ オカ＆Ｉ
３ ７（ク） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） キＥＩ
３ ６ （ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７クＥＥ
３ ６ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ケＥＩ
３５ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６コＥＥ
１ ５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２３サＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」と、
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆鼻ｘｂ→～長ｘ） １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９ア＆Ｉ
３ ７（ウ） ～長ａ ４イＭＰＰ
３ ７（エ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（オ） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ ウエ＆Ｉ
３ ７（カ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） オＥＩ
３ ６ （キ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７カＥＥ
３ ６ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） キＥＩ
３５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６クＥＥ
１ ５ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２３ケＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」が、成立する。
然るに、
（10）
② ある兎は、象ではないが鼻が有る。⇔
② ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）⇔
② あるｘとあるｙについて（ｙは兎であって、象ではなく、ｘはｙの鼻である）。
然るに、
（11）
③ ある兎の鼻は長くない。⇔
③ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）⇔
② あるｘとあるｙについて（ｙは兎であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝。然るに、
② ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。 従って、
③ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
② ある兎は、象ではないが鼻が有る。 従って、
③ ある兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（01）（02）（03）（12）により、
（13）
① 鼻は象が長い。 然るに、
② ある兎は、象ではないが鼻が有る。従って、
③ ある兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝。然るに、
② ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。 従って、
③ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふ「等式」が、「妥当（Valid）」であるならば、そのときに限って、
① 鼻は象が長い。 然るに、
② ある兎は、象ではないが鼻が有る。従って、
③ ある兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（15）
① 鼻は象が長い。 然るに、
② ある兎は、象ではないが鼻が有る。従って、
③ ある兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０６月２６日、毛利太。
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