（01）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
に於いて、
ＬＥＴ 鼻＝耳
ＬＥＴ 象＝鼻
ＬＥＴ 耳＝鼻
といふ「置換（Replacement）」を行ふと、
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙはｘの象であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの象でないならば、ｚは長くない｝。
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが鼻であるならば、あるｙはｘの象である。
といふのであれば、
① あるｙは鼻の象である。
といふことになるが、「鼻の象」は、「意味不明」である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）｝
ではなく、
① ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｘｙ＆長ｙ）｝
とした場合も、
① すべてのｘについて、ｘが鼻であるならば、あるｘ（鼻）はｙの象である。
となって、これも「ダメ」である。
然るに、
（04）
③ 鼻は象が長い。⇔
③ 鼻は象は長く、象以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘと、あるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘ（象）の鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘ（象以外）の鼻であるならば、ｙは長くない｝。
となるため、「ＯＫ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
であるため、「論理形式（logical forms）」としては、「同じ」ではないが、
① 象は鼻が長い≡象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 鼻は象が長い≡鼻は象は長く、象以外は長くない。
であるため、「日本語の形式」としては、両方とも、
① ＡはＢがＣである≡ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
③ ＡはＢがＣである≡ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
であるため、「変り」が無い。
然るに、
（06）
① 象は鼻が長い、といふわけではない≡～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 鼻は象が長い、といふわけではない≡～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
を「計算」すると、
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
９ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
９ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
９ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
９ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
９ （カ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） オ∨Ｉ
キ （キ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
キ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ量化子の関係
ケ（ケ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
ケ（コ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） ケ含意の定義
ケ（サ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ コ、ド・モルガンの法則
ケ（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） サＥＩ
キ （ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケシＥＥ
キ （セ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キＥＩ
３ （ソ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３９カキセ∨Ｅ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３ソ＆Ｉ
３ （チ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ２３チＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
５ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
５ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７含意の定義
５ （９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
エ（エ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
エ（オ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） エ、ド・モルガンの法則
エ（カ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） オ含意の定義
エ（キ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＥＩ
ウ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウエキＥＥ
ウ （ケ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
ウ （コ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケ∨Ｉ
２ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４５イウコ∨Ｉ
２ （シ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ サ、ド・モルガンの法則
２ （ス） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３シ＆Ｉ
２ （セ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ス、ド・モルガンの法則
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ含意の定義
２ （タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ～∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３） ∃ｘ∀ｙ～｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ） Ａ
７ （８） ～［～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ）］ ７含意の定義
７ （９） （象ａ＆鼻ｂａ）＆～長ｂ ８ド・モルガンの法則
７ （ア） ［（象ａ＆鼻ｂａ）＆～長ｂ］∨［（～象ａ＆鼻ｂａ）＆～長ｂ］ ９∨Ｉ
イ（イ） ～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
イ（ウ） ～［～（～象ａ＆鼻ｂａ）∨～長ｂ］ ア含意の定義
イ（エ） （～象ａ＆鼻ｂａ）＆長ｂ ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） ［（象ａ＆鼻ｂａ）＆～長ｂ］∨［（～象ａ＆鼻ｂａ）＆長ｂ］ エ∨Ｉ
４ （カ） ［（象ａ＆鼻ｂａ）＆～長ｂ］∨［（～象ａ＆鼻ｂａ）＆長ｂ］ ６７アイオ∨Ｅ
４ （キ） ∀ｙ｛［（象ａ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝ カＵＩ
４ （ク）∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝ キＥＩ
１ （ケ）∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝ ３４クＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛［（象ａ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝ Ａ
２ （３） ［（象ａ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］ ２ＵＥ
４ （４） ［（象ａ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］ Ａ
４ （５） ～［～（象ａ＆鼻ｙｘ）∨ 長ｙ］ ４ド・モルガンの法則
４ （６） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ） ５含意の定義
４ （７） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ６∨Ｉ
８（８） ［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］ Ａ
８（９） ～［～（～象ｘ＆鼻ｙｘ）∨～長ｙ］ ８ド・モルガンの法則
８（ア） ～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ９含意の定義
８（イ） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ア∨Ｉ
２ （ウ） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ２４７８イ∨Ｅ
２ （エ） ～｛（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
２ （オ） ∀ｙ～｛（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）｝ エＵＩ
２ （カ）∃ｘ∀ｙ～｛（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）｝ オＥＩ
１ （キ）∃ｘ∀ｙ～｛（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）｝ １２カＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ～∀ｘ∃ｙ｛ （象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ）＆ （～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝といふわけではない。
② あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長くないか、または、あるｚはｘの鼻ではないが、長いか、または、その両方である｝。
③ すべてのｘと、あるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない｝といふわけではない。
④ あるｘと、すべてのｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くないか、または、ｘは象でなくて、ｙはｘの鼻であって、ｙは長いか、または、その両方である｝。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（09）
② あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長くないか、または、あるｚはｘの鼻ではないが、長いか、または、その両方である｝。
④ あるｘと、すべてのｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くないか、または、ｘは象でなくて、ｙはｘの鼻であって、ｙは長いか、または、その両方である｝。
といふことは、それぞれ、
② 鼻が長くない象か、または、鼻以外が長い象か、または、鼻が長くなくて鼻以外も長い象が、存在する。
④ 鼻が長くない象か、または、象ではないが鼻が長い動物か、または、その両方が、存在する。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）により、
（10）
① ～～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ～～∀ｘ∃ｙ｛ （象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ）＆ （～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ～∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ∃ｙ｛ （象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ）＆ （～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ～∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）（11）により、
（12）
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ～∃ｘ∀ｙ｛［（象ｘ＆鼻ｙｘ）＆～長ｙ］∨［（～象ｘ＆鼻ｙｘ）＆長ｙ］｝
といふ「述語論理式」は、
② 鼻が長くない象か、または、鼻以外が長い象か、または、鼻が長くなくて鼻以外も長い象は、存在しない。
④ 鼻が長くない象か、または、象ではないが鼻が長い動物か、または、その両方とも、存在しない。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
② 鼻が長くない象か、または、鼻以外が長い象か、または、鼻が長くなくて鼻以外も長い象は、存在しない。
④ 鼻が長くない象か、または、象ではないが鼻が長い動物か、または、その両方とも、存在しない。
といふことは、要するに、
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
④ 鼻は、象は長く、象以外は長くない。
といふことである。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い≡象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 鼻は象が長い≡鼻は、象は長く、象以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０６月２３日、毛利太。
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