「パースの法則」の「対偶」。

（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｐ　Ａ
　　３（３）　～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　２７ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① 　Ｐ→　Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｑ→～Ｐ≡Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
１２　（３）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　１２ＭＴＴ
　　４（４）　　　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　　Ａ
　　４（５）　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　４含意の定義（Ⅰ）
１２４（６）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　３４＆Ｉ
１２　（７）　　～～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　　４６ＲＡＡ
１２　（８）　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　７ＤＮ　
１２　（９）　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　８＆Ｅ
１２　（ア）　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　９含意の定義（Ⅱ）
１２　（イ）　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　８＆Ｅ
１２　（ウ）　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　　　アイ＆Ｉ
１　　（エ）～Ｐ→（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）　　　２ウＣＰ
１　　（オ）　Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）　　　エ含意の定義
（ⅱ）
１　　　（１）　　Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）　Ａ
１　　　（２）　～Ｐ→（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）　１含意の定義
　３　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　（４）　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　２３ＭＰＰ
１３　　（５）　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　４＆Ｅ
１３　　（６）　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　５含意の定義
　　７　（７）　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　Ａ
１３７　（８）　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　６７ＭＰＰ
１３　　（９）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　４＆Ｅ
１３７　（ア）　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　８９＆Ｉ
１３　　（イ）　　　　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　７アＲＡＡ
１　　　（ウ）　～Ｐ→～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　３イＲＡＡ
　　　エ（エ）　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　Ａ
　　　エ（オ）　　　～～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　エＤＮ
１　　エ（カ）～～Ｐ　　　　　　　　　　　　　ウオＭＴＴ
１　　エ（キ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　カＤＮ
１　　　（ク）（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　　　エキＣＰ
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① （（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
といふ、
①「パースの法則」と、
②「パースの法則の対偶」に於いても、
①＝② である。
然るに、
（06）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、
② 真∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ） は「真」である。
然るに、
（07）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② Ｐが「偽」であるならば、
② Ｐ∨（（～偽∨Ｑ）＆～偽） は、
② Ｐ∨（（ 真 ∨Ｑ）＆ 真 ） であるが、
② Ｐ∨（（ 真 ∨Ｑ）＆ 真 ） は「真」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② Ｐが「真」であっても、「② は、全体として、真」であり、
② Ｐが「偽」であっても、「② は、全体として、真」である。
然るに、
（08）により、
（09）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② Ｐが「真」であっても、「② は、全体として、真」であり、
② Ｐが「偽」であっても、「② は、全体として、真」である。
といふことは、
② Ｑが「真」であろうと、「偽」であろうと、
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
といふ「命題論理式」は、「恒に真（トートロジー）」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（01）（05）（08）（09）により、
（10）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、実際には、
①（（Ｐであるならば、Ｑであろうと、Ｑでなかろうと）いづれにせよ、Ｐである）ならばＰである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（11）
①（（Ｐであるならば、Ｑであろうと、Ｑでなかろうと）いづれにせよ、Ｐである）ならばＰである。
といふことは、言ふまでもなく、「当然」である。
従って、
（05）～（11）により、
（12）
① （（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　
といふ「パースの法則」が、「恒に真（トートロジー）」であることは、「当然」であるものの、そのことは、
① （（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」そのものよりも、
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
といふ「パースの法則の、対偶」を見た場合の方が、「分り易い」。
（13）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② 真∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
であるならば、そのまま、「真」である。
（14）
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
② Ｐ∨（（～偽∨Ｑ）＆～偽）
であるならば、
② Ｐ∨（（真）＆真）
であり、
② Ｐ∨（（真）＆真）
は、「真」である。
従って、
（05）（13）（14）により、
（15）
① （（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　
② Ｐ∨（（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「恒に真（トートロジー）」であるため、
① も、「恒に真（トートロジー）」である。
令和０２年０６月０３日、毛利太。