―「昨日（令和０２年０６月０８日）の記事」を書き直します。―
（01）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（02）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３（３） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３（４） ～象ａ ２３ＭＴＴ
１ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～象ａ ３４ＣＰ
１ （６）∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝ １ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
３（４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３（５） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４ＭＴＴ
１３（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ＤＮ
１ （７） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＣＰ
１ （８）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ７ＵＩ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
② すべてのｘについて｛ｘの鼻である所の長いｙが存在しないのであれば、ｘは象ではない｝。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（05）
ただ「単に」、
②｛ｘの鼻である所の長いｙが存在しないのであれば、ｘは象ではない｝。
といふのであれば、
②｛ｘの耳である所の長いｙが存在したとしても、ｘは象ではない｝。
とは、言へない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い｝。
といふ風に、「翻訳」した場合は、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「三段論法」は、「妥当（Valid）」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （６） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ５量化子の関係
５ （７） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ６ＵＥ
５ （８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７ド・モルガンの法則
５ （９） 鼻ｂａ→～長ｂ ８含意の定義
５ （ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ９ＵＩ
５ （イ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ウ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ量化子の関係
オ （オ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
カ（カ） 鼻ｃａ∨～長ｃ Ａ
カ（キ） ～鼻ｃａ→～長ｃ カ含意の定義
オカ（ク） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）＆
（～鼻ｃａ→～長ｃ） オキ＆Ｉ
オ （ケ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） カクＲＡＡ
オ （コ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ ケ、ド・モルガンの法則
オ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コＥＩ
ウ （シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウオサＥＥ
ウ （ス） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シ∨Ｉ
３ （セ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３５イウス∨Ｅ
１３ （ソ） ～象ａ ２セＭＴＴ
１ （タ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ セソＣＰ
１ （チ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ タＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
３ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝ ２４ＭＴＴ
１３ （６） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５ド・モルガンの法則
１３ （７） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６＆Ｅ
１３ （８） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） ７量化子の関係
９ （９） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ Ａ
ア （イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
９ア （ウ） ～（鼻ｂａ→～長ｂ）＆（鼻ｂａ→～長ｂ） アイ＆Ｉ
９ （エ） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） アウＲＡＡ
９ （オ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ エ、ド・モルガンの法則
９ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） オＥＩ
１３ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８９カＥＥ
１３ （ケ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６＆Ｅ
１３ （コ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケ量化子の関係
１３ （サ） ～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ） コＵＥ
１３ （シ） 鼻ｃａ∨～長ｃ サ、ド・モルガンの法則
１３ （ス） ～鼻ｃａ→～長ｃ シ、含意の定義
１３ （セ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） スＵＩ
１３ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キセ＆Ｉ
１ （タ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３ソＣＰ
１ （チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） タＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くないか、または、あるｚがｘの鼻以外であって、長いならば、ｘは象ではない｝。
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（09）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くないか、または、あるｚがｘの鼻以外であって、長いならば、ｘは象ではない｝。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻が長くないか、もしくは、鼻以外が長いのであれば、象ではない。
といふことである。
然るに、
（10）
② 鼻以外が長いのであれば、象ではない。
といふことは、
② 耳の長い象はゐない。
といふことである。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ風に、「翻訳」をするのであれば、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「三段論法」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「三段論法」は、「妥当（Valid）」であるならば、そのときに限って、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（13）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「三段論法」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（01）（02）（14）により、
（15）
沢田充茂 先生による、
① 象は鼻が長い。
に対する、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い｝。
といふ「翻訳」は、「誤訳」であると、言はざるを得ない。
令和０２年０６月０９日、毛利太。
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