６本の中の２本が当たりのクジを３本引く。

―「先程の記事」を補足します。―
（01）
［問題１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
然るに、
（02）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の組合せ（6Ｃ3）｝と、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の 順列 （6Ｐ3）｝とは、次のやうになる。
― 6Ｃ3｛（６×５×４）÷３！＝２０｝―
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
―（6Ｐ3＝6Ｃ3×３！＝２０×６＝１２０）―
① ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＢＡＣ　ＢＣＡ　ＣＡＢ　ＣＢＡ
② ＡＢＤ　ＡＤＢ　ＢＡＤ　ＢＤＡ　ＤＡＢ　ＤＢＡ
③ ＡＢＥ　ＡＥＢ　ＢＡＥ　ＢＥＡ　ＥＡＢ　ＥＢＡ
④ ＡＢＦ　ＡＦＢ　ＢＡＦ　ＢＦＡ　ＦＡＢ　ＦＢＡ
⑤ ＡＣＤ　ＡＤＣ　ＣＡＤ　ＣＤＡ　ＤＡＣ　ＤＣＡ
⑥ ＡＣＥ　ＡＥＣ　ＣＡＥ　ＣＥＡ　ＥＡＣ　ＥＣＡ
⑦ ＡＣＦ　ＡＦＣ　ＣＡＦ　ＣＦＡ　ＦＡＣ　ＦＣＡ
⑧ ＡＤＥ　ＡＥＤ　ＤＡＥ　ＤＥＡ　ＥＡＤ　ＥＤＡ
⑨ ＡＤＦ　ＡＦＤ　ＤＡＦ　ＤＦＡ　ＦＡＤ　ＦＤＡ
⑩ ＡＥＦ　ＡＦＥ　ＥＡＦ　ＥＦＡ　ＦＡＥ　ＦＥＡ
⑪ ＢＣＤ　ＢＤＣ　ＣＢＤ　ＣＤＢ　ＤＢＣ　ＤＣＢ
⑫ ＢＣＥ　ＢＥＣ　ＣＢＥ　ＣＥＢ　ＥＢＣ　ＥＣＢ
⑬ ＢＣＦ　ＢＦＣ　ＣＢＦ　ＣＦＢ　ＦＢＣ　ＦＣＢ
⑭ ＢＤＥ　ＢＥＤ　ＤＢＥ　ＤＥＢ　ＥＢＤ　ＥＤＢ
⑮ ＢＤＦ　ＢＦＤ　ＤＢＦ　ＤＦＢ　ＦＢＤ　ＦＤＢ
⑯ ＢＥＦ　ＢＦＥ　ＥＢＦ　ＥＦＢ　ＦＢＥ　ＦＥＢ
⑰ ＣＤＥ　ＣＥＤ　ＤＣＥ　ＤＥＣ　ＥＣＤ　ＥＤＣ
⑱ ＣＤＦ　ＣＦＤ　ＤＣＦ　ＤＦＣ　ＦＣＤ　ＦＤＣ
⑲ ＣＥＦ　ＣＦＥ　ＥＣＦ　ＥＦＣ　ＦＣＥ　ＦＥＣ
⑳ ＤＥＦ　ＤＦＥ　ＥＤＦ　ＥＦＤ　ＦＤＥ　ＦＥＤ
―（6Ｐ3＝４×５×６＝１２０）は「樹形図」の順。―
① ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＡＤＢ　ＡＥＢ　ＡＦＢ
① ＡＢＤ　ＡＣＤ　ＡＤＣ　ＡＥＣ　ＡＦＣ
① ＡＢＥ　ＡＣＥ　ＡＤＣ　ＡＥＤ　ＡＦＤ
① ＡＢＦ　ＡＣＦ　ＡＤＦ　ＡＥＦ　ＡＦＦ
② ＢＡＣ　ＢＣＡ　ＢＤＡ　ＢＥＡ　ＢＦＡ
② ＢＡＤ　ＢＣＤ　ＢＤＣ　ＢＥＣ　ＢＦＣ
② ＢＡＥ　ＢＣＥ　ＢＤＣ　ＢＥＤ　ＢＦＤ
② ＢＡＦ　ＢＣＦ　ＢＤＦ　ＢＥＦ　ＢＦＦ
③ ＣＡＢ　ＣＢＡ　ＣＤＡ　ＣＥＡ　ＣＦＡ
③ ＣＡＤ　ＣＢＤ　ＣＤＢ　ＣＥＢ　ＣＦＢ
③ ＣＡＥ　ＣＢＥ　ＣＤＢ　ＣＥＤ　ＣＦＤ
③ ＣＡＦ　ＣＢＦ　ＣＤＦ　ＣＥＦ　ＣＦＦ
④ ＤＡＢ　ＤＢＡ　ＤＣＡ　ＤＥＡ　ＤＦＡ
④ ＤＡＣ　ＤＢＣ　ＤＣＢ　ＤＥＢ　ＤＦＢ
④ ＤＡＥ　ＤＢＥ　ＤＣＢ　ＤＥＣ　ＤＦＣ
④ ＤＡＦ　ＤＢＦ　ＤＣＦ　ＤＥＦ　ＤＦＦ
⑤ ＥＡＢ　ＥＢＡ　ＥＣＡ　ＥＤＡ　ＥＦＡ
⑤ ＥＡＣ　ＥＢＣ　ＥＣＢ　ＥＤＢ　ＥＦＢ
⑤ ＥＡＤ　ＥＢＤ　ＥＣＢ　ＥＤＣ　ＥＦＣ
⑤ ＥＡＦ　ＥＢＦ　ＥＣＦ　ＥＤＦ　ＥＦＦ
⑥ ＦＡＢ　ＦＢＡ　ＦＣＡ　ＦＤＡ　ＦＥＡ
⑥ ＦＡＣ　ＦＢＣ　ＦＣＢ　ＦＤＢ　ＦＥＢ
⑥ ＦＡＤ　ＦＢＤ　ＦＣＢ　ＦＤＣ　ＦＥＣ
⑥ ＦＡＥ　ＦＢＥ　ＦＣＥ　ＦＤＥ　ＦＥＥ
然るに、
（03）
当たり＝｛Ａ，Ｂ｝
ハズレ＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
とする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
［答へ１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」は、
6Ｃ3＝（６×５×４）÷３！＝１２０÷６＝２０
である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
３本引いて、
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
のやうに、
３本とも「ハズレ（Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）」である「場合の数」は、
4Ｃ3＝（４×３×２）÷３！＝２４÷６＝４
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
［答へ２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときに、
３本が、３本とも「ハズレ」であるわけではない「場合の数」、すなはち、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
３本の内の、２本、あるいは１本が「当たり」である「場合の数」は、
２０—４＝１６
である。
然るに、
（07）
2Ｃ2＝（２×１）÷２！＝２÷２＝１
4Ｃ1＝（４×１）÷１！＝４÷１＝４
従って、
（02）（03）（07）により、
（08）
［答へ３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
のやうに、
２本が「当たり（１本がハズレ）」である「場合の数」は、
１×４＝４
である。
然るに、
（09）
2Ｃ1＝（２×１）÷１！＝　２÷１＝２
4Ｃ2＝（４×３）÷２！＝１２÷２＝６
従って、
（02）（03）（09）により、
（10）
［答へ４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
１本が「当たり（２本がハズレ）」である「場合の数」は、
２×６＝１２
である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
［問題１］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
に対しては、
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］　４通リ。
［答へ４］１２通リ。
といふ［答へ］が「正しい」。
然るに、
（11）により、
（12）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝（４＋１２＝１６）通リ。
であるため、確かに、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（13）
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］　４通リ。
［答へ４］１２通リ。
のそれぞれを、（３！＝６）倍すると、
［答へ１］１２０通リ。
［答へ２］　９６通リ。
［答へ３］　２４通リ。
［答へ４］　７２通リ。
従って、
（12）（13）により、
（14）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝　　　（４＋１２＝１６）通リ。
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝３！×（４＋１２＝１６）通リ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、少なくとも１本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、２本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、１本が当たりである「確率」を求めよ。
といふ「確率の問題」自体は、『組合せ（Ｃ）』で考へても、『順列（Ｐ）』で考へても、「同じ」になる。
従って、
（15）により、
（16）
このやうな「確率の問題」の場合は、
順列と組み合わせで一番よくつまずくのが、問題を見た時に組み合わせなのか順列なのか、つまりＰで計算するのかＣで計算するのかが分からないという時です（家庭教師のあすなろ関西）。
といふことには、ならない。
（17）
Ｐで「計算」しても、
Ｃで「計算」しても、「同じ」であるものを、
Ｐで「計算」すべきか、
Ｃで「計算」すべきか、分からないことは、「当然」である。
令和０４年０５月２５日、毛利太。