「恒真式」としての「パースの法則」。

（01）
　―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひる場合。―
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　２　（３）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　３含意の定義
　２　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　２　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　Ｐ　　　１２５７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（02）
　―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひない場合。―
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（３）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　２＆Ｅ
　　４　　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　５　　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　４５　　　　（６）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４５＆Ｉ
　２４５　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　３６＆Ｉ
　２４　　　　　（８）　　　　　～～Ｑ　　　　　　　５７ＲＡＡ
　２４　　　　　（９）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　８ＤＮ
　２　　　　　　（ア）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　４９ＣＰ
１２　　　　　　（イ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　１アＭＰＰ
　２　　　　　　（ウ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　２＆Ｅ
１２　　　　　　（エ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　イウ＆Ｉ
１　　　　　　　（オ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）　　２エＲＡＡ
　　　カ　　　　（カ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）　　Ａ
　　　　キ　　　（キ）　　　（Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　キ　　　（ク）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　　キ∨Ｉ
　　　カキ　　　（ケ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）　　カク＆Ｉ
　　　カ　　　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　キケＲＡＡ
　　　　　サ　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　サ　　（シ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　　サ∨Ｉ
　　　カ　サ　　（ス）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）　　カシ＆Ｉ
　　　カ　　　　（セ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　サスＲＡＡ
　　　カ　　　　（ソ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　コセ＆Ｉ
１　　カ　　　　（タ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）　　オソ＆Ｉ
１　　　　　　　（チ）～～（（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ）　　カタＲＡＡ
１　　　　　　　（ツ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　　チＤＮ
　　　　　　テ　（テ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　　テ　（ト）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　ト＆Ｉ
　　　　　　　ナ（ナ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　　　（ニ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　ツテトナナ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は「妥当」である。
然るに、
（04）
１　　（１）　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　２　（３）～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　３含意の定義
　２　（５）　　Ｐ＆　　Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　２　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　１２５７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」も「妥当」である。
然るに、
（06）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｐ）→Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｐ）∨Ｐ　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｐ）　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｐ）　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　１３６７７
　　　（９）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
③├（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①├（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├（（Ｐ→　Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は、３つとも「妥当」である。
然るに、
（08）により、
（09）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「仮定の数が０である連式の結論」である。
② は「仮定の数が０である連式の結論」である。
③ は「仮定の数が０である連式の結論」である。
然るに、
（10）
「恒真式（トートロジー）」とは、
「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真」である。
然るに、
（12）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふことは、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことに、他ならならない。
従って、
（09）～（11）により、
（12）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
とふ「４つ」は、「セット」として「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふ「４つのセット」として「恒真式（トートロジー）」である。
といふことを、忘れてはならない。
従って、
（14）により、
（15）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（Ｑｉｉｔａ）。
とはいふものの、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことは、少しも「変」ではなく、それ故、「パースの法則」は、「変」ではない。
（16）
（ⅰ）
　　１（１）Ｐ　　　Ａ
　　　（２）Ｐ→Ｐ　１ＣＰ
（ⅱ）
　　１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　　　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１ＲＡＡ
（ⅲ）
　１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
　１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
　１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
　１　（７）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　６∨Ｉ
　１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）
　１７＆Ｉ
　　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　～Ｐ∨　Ｐ
は、３つとも「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（10）（16）（17）により、
（18）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
（19）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、
①＝③ は、「含意の定義」であって、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（20）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いては、
①＝②＝③ である。
令和０４年０５月２３日、毛利太。