（ⅰ）
―「含意の定義」を用ひる場合。―
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５） Ｐ＆～Ｐ Ａ
５（６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
（ⅱ）
―「含意の定義」を用ひない場合。―
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３８ＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） Ｐ→Ｑ エケＣＰ
（サ）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
シ（シ） Ｐ＆～Ｐ Ａ
シ（ス） ～Ｐ Ａ
シ（セ） Ｐ→Ｑ サスＭＰＰ
シ（ソ） Ｐ シ＆Ｅ
シ（タ） Ｑ セソＭＰＰ
（チ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ シタＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
（〃）（ＰであってＰでない）ならばＱである。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
といふ「命題」は、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ Ａ
２（２） ～Ｑ Ａ
１２（３）～（Ｐ＆～Ｐ） １２ＭＴＴ
１２（４） ～Ｐ∨ Ｐ ３ド・モルガンの法則
１ （５）～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ２４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２（３） ～（～Ｐ∨Ｐ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～～Ｑ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｑ ４ＤＮ
１ （６） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ２５ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
② ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
② ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
といふ「命題」は、両方とも、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
② ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
② はともかく、
① は「変」であると思ふ方が「普通」である。
然るに、
（01）により、
（09）
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
であるものの、このことは、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
② ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
といふことになるのも、結局は、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（実質含意の定義）。
といふ「等式」があるからである。
令和０４年０５月２１日、毛利太。
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