「組合せの問題（南山大学、昭和ｘｘ年）」

（01）
例題 ２８
Ａ高校の生徒会の役員は６名で、その中３名は女子である。また、
Ｂ高校の生徒会の役員は５名で、その中２名は女子である。
各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して、
合計５名の合同委員会を作るとき、次の各場合は何通リあるか。
（１）合同委員会の作り方。
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
〔南山大学〕
（チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁）
（02）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるとする。
（03）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ。
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ。
といふ「２通り」がある。
（04）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「6Ｃ2＝１５通リ」である。
然るに、
（05）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「5Ｃ3＝１０通リ」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「１５通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（06）により、
（07）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）である。
然るに、
（08）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「6Ｃ3＝２０通リ」である。
然るに、
（09）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「5Ｃ2＝１０通リ」である。
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「２０通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（10）により、
（11）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」と、
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）であると、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
（１）合同委員会の作り方。
に関しては、
①（１５×１０＝１５０通リ）
②（２０×１０＝２００通リ）
による、
①＋②＝３５０通リ。
である。
然るに、
（14）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「５人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧＨ
②ＡＢＣＧＩ
③ＡＢＣＨＩ
④ＡＢＧＨＩ
⑤ＡＣＧＨＩ
⑥ＢＣＧＨＩ
による「6Ｃ5＝６通リ」である。
従って、
（01）（13）（14）により、
（15）
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（〃）全員（５人）がすべて男子であるわけではない。
に関しては、
（３５０－６＝３４４通リ）である。
（16）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
による「５人」から「１人」を選んで、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
による「６人」から「４人」を選ぶことにする。
然るに、
（17）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
から「１人」を選ぶ「選び方」は、
①Ｄ
②Ｅ
③Ｆ
④Ｊ
⑤Ｋ
による「5Ｃ1＝５通リ」である。
然るに、
（18）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「４人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧ
②ＡＢＣＨ
③ＡＢＣＩ
④ＡＢＧＨ
⑤ＡＢＧＩ
⑥ＡＢＨＩ
⑦ＡＣＧＨ
⑧ＡＣＧＩ
⑨ＡＣＨＩ
⑩ＡＧＨＩ
⑪ＢＣＧＨ
⑫ＢＣＧＩ
⑬ＢＣＨＩ
⑭ＢＧＨＩ
⑮ＣＧＨＩ
による「6Ｃ4＝１５通リ」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
例へば、
女子１人＝Ｄ（はＡ高校）
であるならば、
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｄ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｄ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｄ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｄ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｄ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｄ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｄ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｄ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｄ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｄ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｄ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｄ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（19）により、
（20）
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
であるとすると、
Ａ高校＝４人 で、
Ｂ高校＝１人 でるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（21）
例へば、
女子１人＝Ｅ（はＢ高校）
であるならば、
①Ｅ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｅ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｅ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｅ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｅ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｅ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｅ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｅ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｅ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｅ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｅ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｅ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（21）により、
（22）
例へば、
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
であるとすると、
Ｂ高校＝４人 で、
Ａ高校＝１人 であるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
従って、
（16）～（22）により、
（23）
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛５×（１５－３）＝６０通リ｝である。
（24）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるため、
①ＤＪ＋男子３人
②ＤＫ＋男子３人
③ＥＪ＋男子３人
④ＥＫ＋男子３人
⑤ＦＪ＋男子３人
⑥ＦＫ＋男子３人。
であれば、
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
といふ「条件」を、満たしてゐる。
然るに、
（01）（02）（24）により、
（25）
その場合は、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるため、例へば、
①ＤＪ＋男子３人（ＡＢＣ）。
②ＤＫ＋男子３人（ＧＨＩ）。
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（26）
｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＨＩ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
（27）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＢＣ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
従って、
（05）（26）（27）により、
（28）
「男子３人」は、
①Ａ＋ＧＨ
②Ａ＋ＧＩ
③Ａ＋ＨＩ
④Ｂ＋ＧＨ
⑤Ｂ＋ＧＩ
⑥Ｂ＋ＨＩ
⑦Ｃ＋ＧＨ
⑧Ｃ＋ＧＩ
⑨Ｃ＋ＨＩ
であるか、または、
①Ｇ＋ＡＢ
②Ｇ＋ＡＣ
③Ｇ＋ＢＣ
④Ｈ＋ＡＢ
⑤Ｈ＋ＡＣ
⑥Ｈ＋ＢＣ
⑦Ｉ＋ＡＢ
⑧Ｉ＋ＡＣ
⑨Ｉ＋ＢＣ
でなければ、ならない。
従って、
（24）（28）により、
（29）
①女子２人（ＤＪ）＋男子３人
②女子２人（ＤＫ）＋男子３人
③女子２人（ＥＪ）＋男子３人
④女子２人（ＥＫ）＋男子３人
⑤女子２人（ＦＪ）＋男子３人
⑥女子２人（ＦＫ）＋男子３人。
といふ「６通リ」の、「その各々」に対して、
①男子３人（Ａ＋ＧＨ）
②男子３人（Ａ＋ＧＩ）
③男子３人（Ａ＋ＨＩ）
④男子３人（Ｂ＋ＧＨ）
⑤男子３人（Ｂ＋ＧＩ）
⑥男子３人（Ｂ＋ＨＩ）
⑦男子３人（Ｃ＋ＧＨ）
⑧男子３人（Ｃ＋ＧＩ）
⑨男子３人（Ｃ＋ＨＩ）
であるか、または、
①男子３人（Ｇ＋ＡＢ）
②男子３人（Ｇ＋ＡＣ）
③男子３人（Ｇ＋ＢＣ）
④男子３人（Ｈ＋ＡＢ）
⑤男子３人（Ｈ＋ＡＣ）
⑥男子３人（Ｈ＋ＢＣ）
⑦男子３人（Ｉ＋ＡＢ）
⑧男子３人（Ｉ＋ＡＣ）
⑨男子３人（Ｉ＋ＢＣ）
でなければ、ならない。
従って、
（24）～（29）により、
（30）
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛６×（９＋９）＝１０８通リ｝である。
従って、
（01）～（30）により、
（31）
果たして、
「チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁、例題２８」
の「答へ」は、四つとも、すべて「正しい」。
令和０４年０５月２６日、毛利太。