「パースの法則」と「含意の定義（Ⅰ・Ⅱ）」

（01）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　Ｐ→　Ｑ　≡Ｐならば、　Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（03）
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅳ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１　　　　　（ウ）　　Ｐ→　Ｑ　　　イ含意の定義（Ⅰ）
従って、
（03）により、
（04）
③   Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、　Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。　　
④ ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡  ～Ｐ∨　Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① は、「含意の定義（Ⅰ）」であって、
② は、「含意の定義（Ⅱ）」である。
ｃｆ.
「上田泰治、論理学、1967年、８６頁」を見ると、「①と②」は、まとめて、「含意の定義」とされてゐる。
然るに、
（06）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡  ～Ｐ∨　Ｑ
であるならば、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡～Ｐ∨Ｑ
であるものの、
③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
「含意の定義（Ⅰ・Ⅱ）」は、「ド・モルガンの法則」を介して、成立する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　　（３）　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　２含意の定義（Ⅰ）
１２　　（４）　　　　　　　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ　２４ＣＰ
１　　　（６）　～～（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　５含意の定義（Ⅱ）
　　７　（７）　～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　　７　（８）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　７ＤＮ
　　７　（９）　　　　Ｐ　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　　（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
　　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
然るに、
（09）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　３　　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　Ａ
　　４　（４）　～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　Ａ
　　４　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　４含意の定義（Ⅰ）
　３４　（６）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）＆
　　　　　　　　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　３５＆Ｉ
　３　　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　４６ＲＡＡ
　３　　（８）　　（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　６ＤＮ
　３　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　８＆Ｅ
　３　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　９含意の定義（Ⅰ）
　３　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　８＆Ｅ
　３　　（ウ）　　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　アイ＆Ｉ
　３　　（エ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　ウ、ド・モルガンの法則
　３　　（オ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　カ（キ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　カ∨Ｉ
１　　　（ク）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１３オカキ∨Ｅ
１　　　（ケ）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　ク含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１　　　（１）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　２　　（３）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　３ド・モルガンの法則
　２　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　４交換法則
　２　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　５＆Ｅ
　２　　（７）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　６含意の定義（Ⅰ）
　２　　（８）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　５＆Ｅ
　２　　（９）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
　　ア　（ア）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　２　　（イ）　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　　９＆Ｅ
　２ア　（ウ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　アイＭＰＰ
　２　　（エ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　９＆Ｅ
　２ア　（オ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　ウエ＆Ｉ
　２　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　アオＲＡＡ
　２　　（キ）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　カ∨Ｉ
　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　ク（ケ）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　ク∨Ｉ
１　　　（コ）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　１２キクケ∨Ｅ
１　　　（サ）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　コ含意の定義（Ⅱ）
従って、
（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「論理式」に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））
といふのであれば、いづれにせよ、
②  Ｐである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「命題」と、「等価」である所の、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「普通の命題」である。
令和０２年０２月０５日、毛利太。