（01）
―「昨日（2020年2月25日）」は、「半分」しか「計算」しなかったものの、「今回」は、「もう半分を、計算」する。―
―「昨日の計算」は、次の通りである。―
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ（半分ゲット）
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ（ＲＡＡを目指す）
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウスＲＡＡ
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ（残りもゲット）
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ（１選言項Ｌ）
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
８ （８） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ（１選言項Ｒ）
９ （９） Ｑ Ａ
８ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
８９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８イＲＡＡ
エ （エ） Ｒ Ａ
８ （オ） ～Ｒ ８＆Ｅ
８ エ （カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ （キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７９ウエキ∨Ｅ
２ ８ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ク＆Ｉ
８ （コ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６８コ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
３ （３） （ Ｐ＆ Ｑ） Ａ（１選言項Ｌ）
２ （４） （～Ｐ∨～Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ Ａ（４選言項Ｌ）
３ （６） Ｐ ３＆Ｅ
３５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｑ Ａ（４選言項Ｒ）
３ （ア） Ｑ ３＆Ｅ
３ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ４５８９ウ∨Ｅ
２３ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３エ＆Ｉ
３ （カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２オＲＡＡ
キ（キ） Ｒ Ａ（１選言項Ｒ）
２ （ク） ～Ｒ ２＆Ｅ
２ キ（ケ） Ｒ＆～Ｒ キク＆Ｉ
キ（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １３カキコ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ Ａ
２ （２） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
３ （３） （ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （４） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
２ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
７８ （ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ イＤＮ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
エ （オ） ～Ｐ∨～Ｑ エ∨Ｉ
７ エ （カ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７オ＆Ｉ
７ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
７ （ク） Ｑ キＤＮ
７ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ウク＆Ｉ
２ ７ （コ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） ６ケ＆Ｉ
２ （サ） ～～（～Ｐ∨～Ｑ） ７コＲＡＡ
２ （シ） （～Ｐ∨～Ｑ） サＤＮ（半分ゲット）
ス（ス） Ｒ Ａ
ス（セ） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ス∨Ｉ
２ ス（ソ） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２セ＆Ｉ
２ （タ） ～Ｒ スソＲＡＡ（残りもゲット）
２ （チ） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ シタ＆Ｉ
１２ （ツ） ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １チ＆Ｉ
１ （テ）～～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２ツＲＡＡ
１ （ト） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ テＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ ｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
（２＋２）＝ （２×２）＝ ４
ならば、
－（２＋２）＝－（２×２）＝－４
であることと、「同じやうな理屈」で、
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
いづれにせよ、
① ～｛ Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（08）
① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝≡～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ∨Ｒ）｝
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ｝≡～｛（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）｝
ｃｆ.
分配法則（Distributive property）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ ではない。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４６７∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） １
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ２∨Ｉ
４（４） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
４（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） ４ド・モルガンの法則
４（６）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ５∨Ｉ
１ （７）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １２３４６∨Ｅ
１ （８）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１（２） （～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（12）により、
（13）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
例へば、
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウス
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
といふ「２９行の計算」は、
（ⅰ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４６７∨Ｅ
といふ「８行の計算」に、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
（15）
「２９行の計算」は、「無駄」であると言へば、「無駄」であるが、
① ～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「式」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（Substitution）」を行った「式」が、
① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
といふ「式」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウス
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
といふ「計算」は、
① ～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「式」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（Substitution）」を行っても、「ド・モルガンの法則」は「有効である」。といふことに対する、「証明（証拠）」になってゐる。
令和０２年０２月２６日、毛利太。
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