「ド・モルガンの法則」：「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合。

（01）
（ａ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ
　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ
１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）
１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ
１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　キＤＮ
（ｂ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
ｃｆ.
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　２イ＆Ｉ
　２　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　１ウＲＡＡ
（ｃ）
１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ｄ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅰ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨～～Ｑ ⇔ Ｐ∨Ｑ
（ⅱ）～（～Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～～Ｐ＆～～Ｑ ⇔ Ｐ＆Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨　～Ｑ ⇔ Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（～Ｐ∨　Ｑ）⇔ ～～Ｐ＆　～Ｑ ⇔ Ｐ＆　Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　～Ｐ∨～～Ｑ ⇔ ～Ｐ∨Ｑ
（ⅱ）～（　Ｐ∨～Ｑ）⇔ 　～Ｐ＆～～Ｑ ⇔ ～Ｐ＆Ｑ
といふ「等式」が成立し、これはすべて、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（02）により、
（04）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｑ∨Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　　（１）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ　　２∨Ｉ
　　４（４）　　　～（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　４（５）　　　～Ｑ＆～Ｒ　　４ド・モルガンの法則
　　４（６）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ　　５∨Ｉ
１　　（７）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ　　１２３４６∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）～Ｐ∨　～Ｑ＆～Ｒ　　Ａ
１　　（２）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　１結合法則
　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　Ａ
　　５（６）　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　５ド・モルガンの法則
　　５（７）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　６∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　２３４５７∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
（ⅲ）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
（ⅱ）＝（ⅲ） である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（07）により、
（08）
（ⅰ）  ～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（02）により、
（10）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　～（Ｑ＆Ｒ）　１＆Ｅ
１（４）　　　～Ｑ∨～Ｒ　　３ド・モルガンの法則
１（５）～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ　　２４＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～Ｐ＆　～Ｑ∨～Ｒ　　Ａ
１（２）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　１結合法則
１（３）～Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　２＆Ｅ
１（５）　　　～（Ｑ＆Ｒ）　　４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）　　３５＆Ｉ
従って、
（11）により、
（12）
（ⅲ）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ　
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）　⇔ ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）
（ⅲ）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
従って、
（13）により、
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（09）（13）により、
（14）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（14）により、
（15）
「二重否定律（ＤＮ）」により、例へば、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～～Ｑ＆～Ｒ ⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ ⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」、すなはち、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（15）により、
（16）
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の＆・∨」に於いて、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ・・・・・・
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来る。
然るに、
（17）
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語―
ドモルガンの法則の日本語による解説
ドモルガンの法則を日本語で表現すると以下のようになります。
1：「Ａ または Ｂ」でない，という状況は
「Ａ でない」かつ「Ｂ でない」という状況と同じ
2：「Ａ かつ Ｂ」でない，という状況は
「Ａ でない」または「Ｂ でない」という状況と同じ
多くの人はよく分からないと思いますが，この日本語を見ただけで納得できる人にとってはこの説明のみで十分でしょう。
メリット
・日本語にただなおすだけで集合の等式が理解できる。理解できると面白い。
デメリット
・みんなが納得できる説明ではない（数学的に厳密でない）。
然るに、
（18）
①「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
然るに、
（19）
① ～（Ａ＆Ｂ）⇔「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
② ～Ａ∨～Ｂ　⇔「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
従って、
（18）（19）により、
（20）
①「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
といふ「日本語」を、「理解できる」のであれば、その人は、すでに、
① ～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ
といふ「ド・モルガンの法則」を、「日本語で、理解」してゐる。
然るに、
（21）
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語―　
ドモルガンの法則のベン図による解説
ドモルガンの法則
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる，分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が３つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
・集合が４つ以上だと通用しない。
然るに、
（22）
「ベン図」の場合、
・集合が４つ以上だと通用しない。
といふのであれば、
・集合が無限個だと通用しない。
従って、
（23）
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の＆・∨」に於いて、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ・・・・・・
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来るとしても、「ベン図」を用ひる限り、「証明」は出来ない。
従って、
（01）～（23）により、
（24）
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
とは言ふものの、
「ド・モルガンの法則」を「理解」する際に、「ベン図」を用ひることは、好ましいとは、言へない、はずである。
因みに、
（24）
「＆、∨」に対して、
「∩、∪」の場合は、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくいし、
「∧、∨」の場合も、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくい。
然るに、
（25）
「∨ｅｌ」は「ＯＲ（ラテン語）」なので、
「＆、∨」と書けば、「ＡＮＤ、ＯＲ」で迷うことはないし、そのため、私は、
「∧、∨」といふ「記号」を、使はない。
令和０２年０２月２３日、毛利太。