「二重否定の除去」と「リカ―ジョン（反復・再帰）」。

（01）
７　実際上、われわれの規則ＤＮはつぎの２つの規則が結合したものである。
（ⅰ）Ａから～～Ａを導出すること、そして、
（ⅱ）～～ＡからＡを導出すること、
（ⅰ）は他の原始的規則から導出されることを示せ（規則ＭＴＴ、すなわち連式５５、対する、これに対応する証明を参照せよ）。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８１頁）
（02）
〔解答〕
１　（１）　  Ｐ　　　　　Ａ
　２（２）　～Ｐ　　　　　Ａ
１２（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　１２＆Ｉ
１　（４）～～Ｐ　　　　　２３ＲＡＡ
　　（５）　　Ｐ→～～Ｐ　１４ＣＰ
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→～～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１　　（１）　  Ｐ　　　　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ　　　　　Ａ
１２　（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　１２＆Ｉ
１　　（４）～～Ｐ　　　　　２３ＲＡＡ
　　　（５）　　Ｐ→～～Ｐ　１４ＣＰ
　　６（６）　　　～～～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ　　　　　５６ＭＴＴ
　　　（８）～～～Ｐ→～Ｐ　６７ＣＰ
従って、
（03）（05）により、
（06）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真　であるか、
Ｐ＝偽　であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～真＝偽　であって、
② ～偽＝真　である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（09）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真　であるか、
Ｐ＝偽　であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふことは、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことである。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」を、「二重否定の除去」といふ。
従って、
（10）（11）により、
（12）
"「Ｐではない」ではないならば、Ｐである"
つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ（@gyu-don）。
といふことには、ならない。
然るに、
（13）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）Ｄが言った。
といふ「再帰表現（recursion）」が「本当」」であるならば、
② Ｄは（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）言ったことになり、
③ Ｃは　（（Ａであると）Ｂが言ったと）言ったことになり、
④ Ｂは　　（Ａであると）言ったことになる。
ｃｆ.
ピダハン　謎の言語を操るアマゾンの民｜地球ドラマチック（ＮＨＫ、2014.08.16）
従って、
（13）により、
（14）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったのウソであると）Ｃが言ったのはウソであると）Ｄが言ったのはウソである。
といふ「再帰表現（recursion）」も、
②（（（Ａである。）はウソである。）はウソである。）はウソである。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（14）により、
（15）
② ～～～Ｐ≡Ｐでない。ではない。ではない。
といふ「命題」も、
② ～（～（～（Ｐ）））≡（（（Ｐ）でない。）ではない。）ではない。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（05）（15）により、
（16）
１　　（１）　  Ｐ　　　　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ　　　　　Ａ
１２　（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　１２＆Ｉ
１　　（４）～～Ｐ　　　　　２３ＲＡＡ
　　　（５）　　Ｐ→～～Ｐ　１４ＣＰ
　　６（６）　　　～～～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ　　　　　５６ＭＴＴ
　　　（８）～～～Ｐ→～Ｐ　６７ＣＰ
といふ「計算」は、
１　　（１）　  　（Ｐ）　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　～（Ｐ）　　　　　　　　　　Ａ
１２　（３）　　　（Ｐ）＆～（Ｐ）　　　　　１２＆Ｉ
１　　（４）～（～（Ｐ））　　　　　　　　　２３ＲＡＡ
　　　（５）　　　（Ｐ）→～（～（Ｐ））　　１４ＣＰ
　　６（６）　　　　　～（～（～（Ｐ）））　Ａ
　　６（７）　　～（Ｐ）　　　　　　　　　　５６ＭＴＴ
　　　（８）～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）　６７ＣＰ
と書くのが、「正しい」。
然るに、
（17）
一々、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
と書くのは、「面倒で、カナハナイ」。
従って、
（18）
実際には、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
としか書かないものの、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
といふ「式」を、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
と書くのであれば、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
といふ風に、書いても良い。
といふ、ことになる。
然るに、
（19）
１ 代入の規則
　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（18）（19）により、
（20）
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
に於いて、
（～Ｐ）＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（二重否定の除去）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）（10）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（ＤＮ）」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０２年０２月０５日、毛利太。