「パースの法則」の「対偶」と「同一律」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　Ａ
１　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　１含意の定義（Ⅱ）
　２　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ
　　３　（４）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　Ａ
　　３　（５）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　４含意の定義（Ⅱ）
　２３　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　３５＆Ｉ
　２　　（７）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　４６ＲＡＡ
　２　　（８）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　７ド・モルガンの法則
　２　　（９）　　　Ｐ　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　　（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　２３９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　１１３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
然るに、
（02）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　３　　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　Ａ
　　４　（４）　～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　Ａ
　　４　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　４含意の定義（Ⅰ）
　３４　（６）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）＆
　　　　　　　　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　３５＆Ｉ
　３　　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　４６ＲＡＡ
　３　　（８）　　（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　６ＤＮ
　３　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　８＆Ｅ
　３　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　９含意の定義（Ⅰ）
　３　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　８＆Ｅ
　３　　（ウ）　　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　アイ＆Ｉ
　３　　（エ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　ウ、ド・モルガンの法則
　３　　（オ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　カ（キ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　カ∨Ｉ
１　　　（ク）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１３オカキ∨Ｅ
１　　　（ケ）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　ク含意の定義（Ⅱ）
１　　　（〃）（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
（ⅱ）
１　　　（１）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　２　　（３）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　３ド・モルガンの法則
　２　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　４交換法則
　２　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　５＆Ｅ
　２　　（７）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　６含意の定義（Ⅰ）
　　８　（８）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　２８　（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　７８ＭＰＰ
　２　　（ア）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　５＆Ｅ
　２８　（イ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　８９＆Ｉ
　２　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　８イＲＡＡ
　２　　（エ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　オ（カ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉ
１　　　（キ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　２３エオカ∨Ｅ
１　　　（ク）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　キ含意の定義（含意の定義Ⅱ）
１　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
従って、
（04）により、
（05）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
（06）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　（Ｐ∨　（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　Ａ
１２　　　　（３）～（Ｐ∨　（Ｐ＆～Ｑ））　　　　１２ＭＴＴ
１２　　　　（４）　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
１２　　　　（５）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１２　　　　（６）　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　４＆Ｅ
１２　　　　（７）　　　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　６ド・モルガンの法則
　　８　　　（８）　　　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１２８　　　（９）　（～Ｐ＆～Ｐ）　　　　　　　　５８＆Ｉ
１２８　　　（ア）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　９∨Ｉ
　　　イ　　（イ）　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
１２　イ　　（ウ）　　　　　　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　５イ＆Ｉ
１２　イ　　（エ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　ウ∨Ｉ
１２　　　　（オ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　７８アイエ∨Ｅ（分配法則を、証明した。）
　　　　カ　（カ）　～Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　カ　（キ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ　（ク）　　　　　～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ）　　キ∨Ｉ
　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　　　　　ケ（コ）　　　　　～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ）　　ケ∨Ｉ
１２　　　　（サ）　　　　　～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ）　　オカクケコ∨Ｅ
１　　　　　（シ）　～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））　１サＣＰ
１　　　　　（ス）Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③ ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ  　　  ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②  （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ 　 ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③  ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「３つ式」は「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
であるとして、
Ｐ＝真　であれば、
②（真∨（真＆～Ｑ））→真
然るに、
（10）
②（真∨（真＆～Ｑ））→真
であれば、
②（真∨（真＆～真））→真
であっても、
②（真∨（真＆～偽））→真
であっても、いづれにせよ、
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
は、「真」である。
（11）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
であるとして、
Ｐ＝偽　であれば、
②（偽∨（偽＆～Ｑ））→偽
然るに、
（12）
②（偽∨（偽＆～Ｑ））→偽
であれば、
②（偽∨（偽＆～真））→偽
であっても、
②（偽∨（偽＆～偽））→偽
であっても、いづれにせよ、
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
は、「真」である。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
②  （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ 　 ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③  ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「２つ式」は、
② Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない。
といふ、「極めて、当然」なことしか、述べてゐない。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ  　　  ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②  （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ 　 ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③  ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「３つ式」は
① Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
② Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない。
といふ、「極めて、当然」なことしか、述べてゐない。
然るに、
（15）
① Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＰである（Ｐ→Ｐ）。
といふことである。
然るに、
（16）
① ＰであるならばＰである（Ｐ→Ｐ）。
といふのは、「同一律（law of identity）」である。
然るに、
（17）
（ⅳ）Ｐ→Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｐ　Ａ
　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｐ　Ａ
　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　　　２（４）　　　　～Ｐ　２＆Ｅ
　　　　１２（５）　　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
　　　　１２（６）　　～Ｐ＆Ｐ　４５＆Ｉ
　　　　１　（７）　　　～～Ｐ　４６ＲＡＡ
　　　　１　（８）　　　　　Ｐ　７ＤＮ
　　　　１　（９）　　～Ｐ∨Ｐ　８∨Ｉ
（ⅴ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｐ　　　ウクＣＰ
従って、
（17）により、
（18）
④   Ｐ→Ｐ（同一律）
⑤ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（19）
「同一律」と「排中律」は「等価」である。
従って、
（20）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「パースの法則」は、「見た目」としては、
①    Ｐ→　　　　　　Ｐ（同一律）に近いが、
①  ～Ｐ∨　　　　　　Ｐ（排中律）とも「等価」である。
然るに、
（21）
パースの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
どうして、ウィキペディアでは、
「（パースの法則は）含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。」であって、
「（パースの法則は）含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における同一律であると考えることもできる。」ではないのか、といふことが、私には、理解できない。
令和０２年０２月０８日、毛利太。