（パースの法則、１８８５）の「証明」（其の参：大きな、疑問）。

（01）
演繹メタ定理は、メタ定理の中でも最も重要である。論理体系のなかには、これを推論規則（"→" の導入規則）として採用したもの（自然演繹）もある（演繹定理：ウィキペディア）。
然るに、
（02）
連式表現がトートロジー的であるか否かを決めるために、それに対応する条件法を標準的な方法でテストしもよいのである。
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
然るに、
（03）
「E.J.レモンの、自然演繹の、１０個の原始的規則（10 primitive rules）」とは、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「規則」をいふ。
然るに、
（04）
そこで演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２.２　ＡとＢは論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一広、論理と意味、1983年、４０頁）。
然るに、
（05）
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
といふのは、
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
に、他ならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
メタ定理１：「（１０個の原始的規則によって）導出可能」な連式は、すべてがトートロジーである。
といふことを、「保証（確約）」してゐるは、他ならぬ、
⑤ 演繹定理（条件法的証明）
である。といふ、ことになる。
従って、
（07）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「規則」のみを用ひて、例へば、
⑪「含意の定義」　　　　が「証明」されたとするならば、その「証明」の「正しさ」を、「保証（確約）」してゐるのは、「⑤ 演繹定理」であり、
⑫「ド・モルガンの法則」が「証明」されたとするならば、その「証明」の「正しさ」を、「保証（確約）」してゐるのは、「⑤ 演繹定理」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（08）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（ｃ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｉ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ｄ）～（～Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ＆～Ｑ
１　　（１）～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　～Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
　　７（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　７（８）　　～Ｐ∨Ｑ　　　７∨Ｉ
１　７（９）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ　
１　　（ア）　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　（イ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
従って、
（02）（03）（07）（08）により、
（09）
⑪ Ｐ→  Ｑ ┤├    ～Ｐ∨ Ｑ
⑫ Ｐ＆～Ｑ ┤├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
すなはち、
⑪「含意の定義」　　　　は、「導出可能（deriable）」であり、
⑫「ド・モルガンの法則」も、「導出可能（deriable）」であるため、
⑪「含意の定義」は、　　　　突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」であって、
⑫「ド・モルガンの法則」も、突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」である。
然るに、
（10）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（11）
（ｃ）
１　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　① Ａ
１　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　⑪ １含意の定義
　３　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　① Ａ
　　４　（４）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　① Ａ
　　４　（５）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　⑪ ３含意の定義
　３４　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　　⑥ ３５＆Ｉ
　３　　（７）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　⑩ ４６ＲＡＡ
　３　　（８）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　⑫ ７ド・モルガンの法則
　３　　（９）　　　Ｐ　　　　　　　　　⑥ ８＆Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　Ｐ　　　① Ａ
１　　　（イ）　　　Ｐ　　　　　　　　　⑨ ２３９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　⑤ １イＣＰ
　　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
（〃）
１　　（１）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　① Ａ
　　　（２）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　⑤１１ＣＰ（同一律）
　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　⑪ ２含意の定義（排中律）
４　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　① Ａ
４　　（５）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　⑧ ４∨Ｉ
４　　（６）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　⑪ ４含意の定義
４　　（７）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　⑥ ４６＆Ｉ
４　　（８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　⑫ ７ド・モルガンの法則
　９　（９）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　① Ａ
　９　（ア）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　⑪ ９含意の定義
４９　（イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　⑥ ８ア＆Ｉ
４　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　⑩ ９イＲＡＡ
４　　（エ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　⑧ ウ∨Ｉ
　　オ（オ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　① Ａ
　　オ（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　⑧ オ∨Ｉ
　　　（キ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　⑨ ３４エオカ∨Ｅ
　　　（ク）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　⑪ キ含意の定義
　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐ。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑬├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「連式」、すなはち、「パースの法則」も、「導出可能（deriable）」であるため、
③「パースの法則」も、突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」である。
（13）
例えば、
（ｄ）
１（１）Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　１＆Ｅ
　（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ　１２ＣＰ
　（〃）ＰであってＱならば、Ｐである。
といふ「証明」をした際に、その「証明」自体が「妥当」であることを、「⑤ 演繹定理」で「証明」したとすれば、
├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ≡ＰであってＱならば、Ｐである。
といふ「連式」が「恒真式（トートロジー）」であることを、最終的に「証明」したのは、「⑤ 演繹定理」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
もう一度、確認すると、
⑬（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「パースの法則」は、「⑤ 演繹定理」だけから、導くことが、出来る。
然るに、
（15）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない。
（パースの法則 - Wikipedia）
従って、
（10）～（15）により、
（16）
（ａ）「E.J.レモン、論理学初歩」
（ｂ）「パースの法則 - Wikipedia」
に於いて、
（ａ）は、「パースの法則」は、「演繹定理だけ」から、　導くことが出来る。　と、言ってゐて、
（ｂ）は、「パースの法則」は、「演繹定理だけ」からでは導くことが出来ない。と、言ってゐる。
令和０２年０２月０２日、毛利太。