「ド・モルガンの法則」：「連言（∩）と選言（∪）」が混在する場合（Ⅱ）。

（01）
―「前回（2020年2月23日）」は、「代入」で求めたものの、「今回」は、「直接、計算」する。―
（ⅰ）
１　　　　　　（１）　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ
　２　　　　　（２）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２３　　　　（４）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　　（５）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　　　（８）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ
　　　８　　　（９）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８∨Ｉ
　２　８　　　（ア）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２９＆Ｉ
　２　　　　　（イ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ＲＡＡ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ
　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　エ　（オ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　エ∨Ｉ
　　　　ウエ　（カ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　イオ＆Ｉ
　　　　ウ　　（キ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ
　　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ク∨Ｉ
　　　　ウ　ク（コ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウケ＆
　　　　ウ　　（サ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　クコＲＡＡ
　　　　ウ　　（シ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　キサ＆Ｉ
　２　　ウ　　（ス）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　イシ＆Ｉ
　２　　　　　（セ）　　　　～～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウスＲＡＡ
　２　　　　　（ソ）　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　セＤＮ
　２　　　　　（タ）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　７ソ＆Ｉ
１２　　　　　（チ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆　　　
　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１タ＆Ｉ
１　　　　　　（ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２チＲＡＡ
１　　　　　　（テ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ツＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ
　２　　　　　（２）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ
　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　　（６）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２５ＲＡＡ
　２　　　　　（７）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　２＆Ｅ
　　　８　　　（８）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　Ａ
　　　　９　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　８　　　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ
　　　８９　　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　　（ウ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８イＲＡＡ
　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　　８　　　（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　８＆Ｅ
　　　８　エ　（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ　（キ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８カＲＡＡ
　２　　　　　（ク）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７９ウエキ∨Ｅ
　２　８　　　（ケ）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ク＆Ｉ
　　　８　　　（コ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２ケＲＡＡ
１　　　　　　（サ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１３６８コ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「演算子」としての「＆」と、
「演算子」としての「∨」の「結合力」は「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ｝　
②     ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　
④   （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ
１（２）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１（６）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ
１（２）　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１（５）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　
②     ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、果たして、
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　
④   （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　
④   （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛　Ｐ＆（　～Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（～～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆　～Ｑ）∨　Ｒ｝　
④   （～Ｐ∨～～Ｑ）＆～Ｒ
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝
④   （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」は、例へば、
① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝
④   （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（11）
「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」（2020年2月23日）。でも書いたものの、
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、
① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝
②     ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝
④   （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒ
のやうに、「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページ目」では、見付けることが出来ません。
令和０２年０２月２５日、毛利太。