「パースの法則」の、「自然演繹」による「３通りの証明」。

（01）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
１　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義 
　３　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　Ａ
　　４　（４）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　３含意の定義
　３４　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　　５＆Ｉ
　３　　（７）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　４６ＲＡＡ
　３　　（８）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　３　　（９）　　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　　Ｐ　　　　　　　　　２３９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
　　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
（ⅱ）
　　　（１）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（排中律）
２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
２　　（３）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
２　　（４）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２含意の定義
２　　（５）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　２４＆Ｉ
２　　（６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　５ド・モルガンの法則
　９　（７）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　９　（８）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　７含意の定義
４９　（９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６８＆Ｉ
４　　（ア）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　７９ＲＡＡ
４　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ア∨Ｉ
　　ウ（ウ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　ウ（エ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉ
　　　（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１２イウエ∨Ｅ
　　　（カ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　オ含意の定義
　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（４）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３４　　　　（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　（７）　　　　～～Ｑ　　　　　　　　４６ＲＡＡ
　２３　　　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　７ＤＮ
　２　　　　　　（９）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　３８ＣＰ
　　　　　　　　（ア）　～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　２９ＣＰ
　　　　イ　　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ
１　　　イ　　　（ウ）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　アイＭＰＰ
１　　　イ　　　（エ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　１ウＭＰＰ
１　　　　　　　（オ）　～（Ｐ＆～Ｑ）→　Ｐ　　　　イエＣＰ
　　　　　カ　　（カ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　カ　　（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　カ＆Ｅ
１　　　　カ　　（ク）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　オキＭＰＰ
　　　　　カ　　（ケ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　　カ＆Ｅ
１　　　　カ　　（コ）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　クケ＆Ｉ
１　　　　　　　（サ）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　カコＤＮ
１　　　　　　　（シ）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　　　サ∨Ｉ
　　　　　　ス　（ス）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ス　（セ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　　　　　　（タ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　シスセソソ∨Ｅ
　　　　　　　　（チ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　　１タＣＰ
　　　　　　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「パースの法則」の「証明」は、
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２６行の「計算」
による、少なくとも、「３通りの証明」が有ることになる。
然るに、
（05）
今の場合は、
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
５ 兎にも角にも、証明せよ。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「出題」であったものの、
５ 原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove by primitive rules alone:
といふことであれば、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
⑪ 含意の定義
⑫ ド・モルガンの法則
から、
⑪ 含意の定義
⑫ ド・モルガンの法則
といふ「定理（Theorems）」が除かれるため、
（ⅰ）１２行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、計３回、使ってゐる。
（ⅱ）１５行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、計４回、使ってゐる。
（ⅲ）２６行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、１度も使ってゐない。
といふことから、
（ⅲ）２６行の「計算」だけが、「正解」である。
従って、
（05）により、
（06）
５ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふことであれば、３つの中では、
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（４）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３４　　　　（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　（７）　　　　～～Ｑ　　　　　　　　４６ＲＡＡ
　２３　　　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　７ＤＮ
　２　　　　　　（９）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　３８ＣＰ
　　　　　　　　（ア）　～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　２９ＣＰ
　　　　イ　　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ
１　　　イ　　　（ウ）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　アイＭＰＰ
１　　　イ　　　（エ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　１ウＭＰＰ
１　　　　　　　（オ）　～（Ｐ＆～Ｑ）→　Ｐ　　　　イエＣＰ
　　　　　カ　　（カ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　カ　　（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　カ＆Ｅ
１　　　　カ　　（ク）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　オキＭＰＰ
　　　　　カ　　（ケ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　　カ＆Ｅ
１　　　　カ　　（コ）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　クケ＆Ｉ
１　　　　　　　（サ）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　カコＤＮ
１　　　　　　　（シ）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　　　サ∨Ｉ
　　　　　　ス　（ス）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ス　（セ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　　　　　　（タ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　シスセソソ∨Ｅ
　　　　　　　　（チ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　　１タＣＰ
　　　　　　　　（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
だけが「正解」であって、「他の２つ」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を「計算」の中で、「証明」する分、どの途、（ⅲ）よりは、「長く」なる。
令和０２年０２月０２日、毛利太。