（01）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（03）
（ｅ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｑ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｑ エＤＮ
カ（カ） ～Ｒ Ａ
カ（キ） ～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｒ カケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ） Ｐ＆ Ｑ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ソＤＮ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
２ （ウ） Ｒ ２＆Ｅ
２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆
イ（オ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２エＲＡＡ
１ （カ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １３６７アイオ∨Ｅ
（ｇ）
１ （１） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
１２ （５） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （キ） ～Ｒ ウカＲＡＡ
１ （ク）～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１ （ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ キク＆Ｉ
（ｈ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ Ａ
１ ８ （９） Ｑ＆～Ｑ Ａ
８ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｒ １＆Ｅ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １エＲＡＡ
２ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １３６８アウオイウ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（02）（04）により、
（05）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（01）（03）により、
（06）
（ａ）～（ｄ）の「計算」と、
（ｅ）～（ｈ）の「計算」は、
（Ｐ，Ｑ） といふ「２つの命題」が、
（Ｐ，Ｑ，Ｒ）といふ「３つの命題」に変はっただけで、「計算」としては、「やってゐること」は、「全く同じ」である。
従って、
（06）により、
（07）
（Ｐ，Ｑ，Ｒ） が、
（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｒ）に変はったとしても、「証明（計算）」は書けるものの、「面倒くさいし、切りがない」ので、ただ単に、「書かない」だけである。
然るに、
（08）
（ａ）であれば、
１ （１） ～（ １＆ ２） Ａ
２ （２） ～（～１∨～２） Ａ
３ （３） ～１ Ａ
３ （４） ～１∨～２ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～１∨～２）＆
２３ （６） （～１∨～２） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～１ ３ＲＡＡ
２ （８） １ ７ＤＮ
９（９） ～２ Ａ
９（ア） ～１∨～２ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～１∨～２）＆
（～１∨～２） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～２ ９イＲＡＡ
２ （エ） ２ ウＤＮ
２ （オ） １＆ ２ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ １＆ ２）＆
（ １＆ ２）
１ （キ）～～（～１∨～２） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～１∨～２ キＤＮ
といふ風に、書くことが出来き、
（ｅ）であれば、
１ （１） ～（ １＆ ２＆ ３） Ａ
２ （２） ～（～１∨～２∨～３） Ａ
３ （３） ～１ Ａ
３ （４） ～１∨～２ ３∨Ｉ
３ （５） ～１∨～２∨～３ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～１ ３ＲＡＡ
２ （８） １ ７ＤＮ
９ （９） ～２ Ａ
９ （ア） ～１∨～２ ９∨Ｉ
９ （イ） ～１∨～２∨～３ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～２ ９ウＲＡＡ
２ （オ） ２ エＤＮ
カ（カ） ～３ Ａ
カ（キ） ～２∨～３ カ∨Ｉ
カ（ク） ～１∨～２∨～３ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～３ カケＤＮ
２ （サ） ３ コＤＮ
２ （シ） １＆ ２ ８オ＆Ｉ
２ （ス） １＆ ２＆ ３ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ １＆ ２＆ ３）＆
（ １＆ ２＆ ３） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～１∨～２∨～３） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～１∨～２∨～３ ソＤＮ
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（09）
数学的帰納法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（WiＫipedia）』
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数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題 Ｐ（n） が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[注 1]。
・Ｐ（1） が成り立つ事を示す。
・任意の自然数 Ｋ に対して、「Ｐ（Ｋ）⇒Ｐ（Ｋ＋１）」が成り立つ事を示す。
・以上の議論から任意の自然数ｎについて Ｐ（ｎ）が成り立つ事を結論づける。
・上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。
（01）～（09）により、
（10）
「数学的帰納法」によって、
「ド・モルガンの法則」は、「(２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。
然るに、
（11）
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる，分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が３つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
・集合が４つ以上だと通用しない。
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）
然るに、
（12）
・集合が４つ以上だと通用しない。
といふことは、
・集合が「自然数と同じ個数（無限個）」の場合も、通用しない。
然るに、
（13）
ドモルガンの法則について
ドモルガンの法則は入試で必要になることは少ないですが，式変形の途中にしれっと登場したりするので覚えておきましょう。
以下ではドモルガンの法則を通じて集合の等式の証明について解説します。日本語による解説，ベン図による解説，真理値表（総当り）による解説。
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）
従って、
（13）により、
（14）
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）に於いては、
（ａ）日本語による解説
（ｂ）ベン図による解説
（ｃ）真理値表（総当り）による解説
は行はれていても、惜しむらくは、
（ｄ）命題計算（今、私が示したそれ）による解説
を行はれゐないし、そのやうな「方法」があることにも、触れてゐない。
（15）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（16）により、
（17）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→～Ｑ（Ｐならば、Ｑでない）。
② ～Ｐ∨～Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」も「含意の定義」である。
然るに、
（01）により、
（18）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（19）により、
（20）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→～～Ｑ
② ～Ｐ∨～～Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（20）により、
（21）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、 Ｑである。
② Ｐでないか、Ｑである。
③ Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０２年０２月２４日、毛利太。
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