「象も動物である」の「述語論理」。

（01）
①｛象、机、車｝であれば、
①｛象が動物であり｝、
②｛象、兎、馬｝であれば、
②｛象も動物である｝。
従って、
（01）により、
（02）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、車）は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、馬）も動物である。
に於いて、①と②は、
① 象以外は動物でない。
② 象以外も動物である。
の「部分」が、「矛盾」する。
然るに、
（03）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
といふ「命題」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物でなければ、ｘは動物ではない）。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
に於いて①と②は、
① 　　～象ｘ→～動物ｘ
② ～（～象ｘ→～動物ｘ）
の「部分論理式」が、「矛盾」する。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆    ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（06）
１０９　∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）┤├ ∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ
（ａ） １（１）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　１ＵＥ
１（３）　　　Ｆａ　　　　　２＆Ｅ
１（４）　∀ｘＦｘ　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　Ｇａ　　２＆Ｅ
１（６）　　　　∀ｘＧｘ　　５ＵＩ
１（７）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ　４６＆Ｉ
（ｂ）
１（１）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ　Ａ
１（２）∀ｘＦｘ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　Ｆａ　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　∀ｘＧｘ　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　Ｇａ　４ＵＥ
１（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＵＩ
１０９の、相互導出可能性の結果は、普遍量記号が連言の仲間であることからすれば、全く予想されることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５１・１５３頁改）。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆    ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「式」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１（２）　　～（～象ａ→～動物ａ）　１ＵＥ
１（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２含意の定義
１（４）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　４ＵＩ
（ⅲ）
１（１）　∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　Ａ
１（２）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　１ＵＥ
１（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　～（象ａ→～動物ａ）　３含意の定義
１（５）　∀ｘ～（象ａ→～動物ａ）　４ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③   ∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（11）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
③ ∀ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「論理式」は、
③ すべてのｘは、象以外の動物である。
といふ「意味」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
といふ「論理式（命題）」は、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふことは、
②｛象、兎、馬｝ではなく、例へば、
③｛犬、兎、馬｝でなければ、ならない。
然るに、
（14）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
ではなく、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③｛象、兎、馬｝であるため、「問題」は無い。
然るに、
（15）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
③｛象、兎、馬｝であれば、
③｛象も動物である｝であるため、
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（17）
（ⅱ）
１　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１　　　（２）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　（４）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ
　５　　（５）　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　Ａ
　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　Ａ
　　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　Ａ
　　６７（８）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　６７＆Ｉ
　５６７（９）　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆　動物ａ）　　５８＆Ｉ
　５６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　７９ＲＡＡ
　５　　（イ）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　６アＣＰ
１５　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　４イ＆Ｉ
１　　　（エ）　　　　　　　　　　～～（～象ａ＆　動物ａ）　　５ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　エＤＮ
１　　　（カ）　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　オＥＩ
１　　　（キ）　　　象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　３カ＆Ｉ
１　　　（ク）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝　キＵＩ
（ⅲ）
１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝　Ａ
１　　　（２）　　　象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　１ＵＲ
１　　　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　２＆Ｅ
　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
　５　　（７）　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　５＆Ｅ
　　６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　５＆Ｅ
　５６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　６７ＭＰＰ
　５６　（ア）　　　　　　　　　　　　　動物ａ＆～動物ａ　　　８９＆Ｉ
　５　　（イ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　６アＲＡＡ
１　　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　４５イＥＥ
１　　　（エ）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３ウ＆Ｉ
１　　　（オ）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　エＵＩ
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆  ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である（？）。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
と言ってゐるにも拘らず、実際には、
②＝③ である。
といふことになってしまい、「お前の言ってゐることは、矛盾である」。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
　１　（１）∃ｘＦｘ　Ａ
　　２（２）　　Ｆａ　Ａ
　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ
　１　（４）∀ｘＦｘ　３ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。なぜならば、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４７頁）
従って、
（17）（20）により、
（21）
（ⅲ）
１　　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　４５イＥＥ
１　　　（エ）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３ウ＆Ｉ
１　　　（オ）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　エＵＩ
といふ「３行」も、「マチガイ」である。
従って、
（17）（18）（21）により、
（22）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆  ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ ではなく、実際には、
②⇒③ である。
従って、
（19）（22）により、
（23）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
といふ「主張」は、「矛盾」しない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 象も動物である。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０２月２１日、毛利太。