（01）
Ｆ＝象
Ｇ＝動物
として、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② 象は動物である。
③ 象について言えば、象は動物である。
④ 象であるならば、それは動物である。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（02）
「象ハ鼻ガ長イ」の「象ハ」は主語ではない。「象について言えば」と話題を提示しているのである。
（三上章『象は鼻が長い』 大澤真幸が読む - 朝日新聞 ．．．）
従って、
（01）（02）により、
（03）
② 象は動物である。
③ 象について言えば、象は動物である。
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② 象は は、「主語」ではない。
然るに、
（04）
Ｆ＝Elephants
Ｇ＝animals
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② Elephants are animals．
③ Speaking of elephants, they are animals．
④ If they are elepahnts, then they are animals．
⑤ For any x, if x is an elephant, then x is an animal．
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
② Elephants are animals．
③ Speaking of elephants, they are animals．
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② Elephants は、「主語」ではない。
然るに、
（06）
『少年少女のための論理学』は、主語と述語について、「日本人は東洋人だ」「太郎は正直者だ」などを例として、
ふつうの言い方では、主語がさすもののはんいのほうがせまく、述語のさすもののほうが広く、主語は述語にふくまれ、述語は主語をふくむ、というようなぐあいに、主語と述語をきめるのです。このような文法上の言い方の規則は、世界のひじょうに多くのことばに、共通な特ちょうで、日本語をはじめ、英語でもフランス語でもロシア語でも中国語でも同じことです。
（三上章、日本語の論理、1963年、１７９頁）
従って、
（06）により、
（07）
Ｆ＝日本人
Ｇ＝東洋人
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② 日本人は東洋人である（日本人者東洋人也）。
③ すべてのｘについて、ｘが日本人であるならば、ｘは東洋人である。
に於いて、
② 日本人 は、「主語」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 象は動物である。 ⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
に於ける、
① 象は は、「三上文法」からすれば、「主語」ではないが、
① 象は は、「論理学的」には、「主語」である。
然るに、
（09）
「逆は必ずしも真ではない」といことは、
「逆には、真である場合と、真ではない場合がある」といふことに、他ならない。
従って、
（06）（09）により、
（10）
「ふつうの言い方では、主語がさすものの範囲の方が狭く、述語のさすもの方が広く、主語は述語に含まれ、述語は主語を含む、というようなぐあいに、主語と述語を決めるのです。」
とするならば、
① 東京は日本の首都である（日本の首都は東京である）。
のやうな、
① ＡはＢである（ＢはＡである）。
に於ける、
① Ａは は、「主語」ではない。
といふことになる。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ｛（Ａｘ→Ｂｘ）＆（Ｂｘ→Ａｘ）｝ Ａ
１（２） （Ａａ→Ｂａ）＆（Ｂａ→Ａａ） １ＵＥ
１（３） （Ａａ→Ｂａ） ２＆Ｅ
１（４） （Ｂａ→Ａａ） ２＆Ｅ
１（５） ～Ｂａ∨Ａａ ４含意の定義
１（６） Ａａ∨～Ｂａ ５交換法則
１（７） ～（～Ａａ＆Ｂａ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ∀ｘ～（～Ａｘ＆Ｂｘ） ７ＵＩ
１（９） ～∃ｘ（～Ａｘ＆Ｂｘ） ８量化子の関係
１（ア）∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ） ３ＵＩ
１（イ）∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ）＆～∃ｘ（～Ａｘ＆Ｂｘ） ８９＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ）＆～∃ｘ（～Ａｘ＆Ｂｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ） １＆Ｅ
１（３） Ａａ→Ｂａ ２ＥＩ
１（４） ～∃ｘ（～Ａｘ＆Ｂｘ） １＆Ｅ
１（５） ∀ｘ～（～Ａｘ＆Ｂｘ） ４量化子の関係
１（６） ～（～Ａａ＆Ｂａ） ５ＵＥ
１（７） Ａａ∨～Ｂａ ６ド・モルガンの法則
１（８） ～Ｂａ∨Ａａ ７交換法則
１（９） Ｂａ→Ａａ ８含意の定義
１（ア） （Ａａ→Ｂａ）＆（Ｂａ→Ａａ） ３９＆Ｉ
１（イ）∀ｘ｛（Ａｘ→Ｂｘ）＆（Ｂｘ→Ａｘ）｝ アＵＩ
従って、
（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛（Ａｘ→Ｂｘ）＆（Ｂｘ→Ａｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ）＆～∃ｘ（～Ａｘ＆Ｂｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがＡであるならば、ｘはＢであり、ｘがＢであるならば、ｘはＡである。
② すべてのｘについて、ｘがＡであるならば、ｘはＢであり、Ａ以外のｘで、Ｂであるｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① ＡはＢであり（、ＢはＡである）。
② ＡはＢであり（、Ａ以外はＢでない）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（14）により、
（15）
① 私は理事長であり（、理事長は私である）。
② 私は理事長であり（、私以外は理事長でない）。
③ 私が理事長である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ＡはＢであり（、ＢはＡである）。
② ＡはＢであり（、Ａ以外はＢでない）。
② ＡがＢである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（17）
① ＡはＢであり（、ＢはＡである）。
② ＡはＢであり（、Ａ以外はＢでない）。
といふ場合をも含めて、「主語」といふものを考へるのであれば、
③ ＡがＢである。
に於ける、
③ Ａが もまた、「主語」である。
といふ風に、しなければならない。
従って、
（10）（17）により、
（18）
① 東京は日本の首都である（日本の首都は東京である）。
② 東京は日本の首都である（東京以外は日本の首都ではない）。
③ 東京が日本の首都である。
に於ける、
③ 東京が を、「主語」ではないと、するならば、
① 東京は も、「主語」ではないと、せざるを得ない。
然るに、
（19）
① 東京は都市である。
③ 東京が日本の首都である。
に対しては、
① 東京 ｉｓ ａ 都市．
③ 東京 ｉｓ ｔｈｅ 首都 ｏｆ 日本．
である。
従って、
（02）（18）（19）により、
（20）
「～は」は「主語」ではないとした上で、
① 東京は都市である。
③ 東京が日本の首都である。
といふ「日本語」と「比較」する限り、
① Ｔｏｋｙｏ ｉｓ ａ ｃｉｔｙ．
③ Ｔｏｋｙｏ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｐｉｔａｌ ｏｆ Ｊａｐａｎ．
に於ける、
① Ｔｏｋｙｏ
③ Ｔｏｋｙｏ
は、両方とも、「主語」ではない。
然るに、
（21）
① Ｔｏｋｙｏ ｉｓ ａ ｃｉｔｙ．
③ Ｔｏｋｙｏ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｐｉｔａｌ ｏｆ Ｊａｐａｎ．
に於ける、
① Ｔｏｋｙｏ
③ Ｔｏｋｙｏ
は、両方とも、「普通」は、「主語」といふ。
令和０４年０５月３１日、毛利太。
2022年5月31日火曜日
2022年5月29日日曜日
「象は鼻が長い」といふ「日本語」は「論理的」である。
（01）
然るに、
（02）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。（ウィキペディア）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
日本語＜英語＜述語論理
といふ「順番」で「論理的」である（？）。
然るに、
（04）
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻である。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（09）
② 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。⇔
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの耳であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘ耳であるならば、ｚはｘの鼻でない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
２ ６ （イ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
２ ６ （オ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
１ ６ （カ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （キ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ オＵＥ
ウ（ク） 耳ｂａ ウ＆Ｅ
２ ６ウ（ケ） ～鼻ｂａ キクＭＰＰ
１２ ６ウ（コ） ～長ｂ カケＭＰＰ
ウ（サ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウ（シ） 長ｂ＆～長ｂ コサ＆Ｉ
１２ ６ （ス） 長ｂ＆～長ｂ イウシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３６スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３６セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの耳であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘ耳であるならば、ｚはｘの鼻でない）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、すなはち、
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（04）～（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が「正しい」のであれば、そのときに限って、
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３＆Ｉ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３ （７） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
８ （８） 長ｂ Ａ
９（９） ～鼻ｂａ Ａ
１３ ９（ア） ～長ｂ ７９ＭＰＰ
１３８９（イ） 長ｂ＆～長ｂ ８ア＆Ｉ
１３８ （ウ） ～～鼻ｂａ ９イＲＡＡ
１３８ （エ） 鼻ｂａ ウＤＮ
１３ （オ） 長ｂ→ 鼻ｂａ ８エＣＰ
１３ （カ） ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） オＵＩ
１３ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ５カ＆Ｉ
１ （ク） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ３キＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝ クＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ３４ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ４＆Ｅ
１３ （７） 長ｂ→ 鼻ｂａ ６ＵＥ
８ （８） ～鼻ｂａ Ａ
９（９） 長ｂ Ａ
１３ ９（ア） 鼻ｂａ ７９＆Ｉ
１３８９（イ） ～鼻ｂａ＆鼻ｂａ ８ア＆Ｉ
１３８ （ウ） ～長ｂ ９イＲＡＡ
１３ （エ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ８ウＣＰ
１３ （オ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エＵＩ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５オ＆Ｉ
１ （キ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ キＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚが長いのであれば、ｘはｘの鼻である）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長いが、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
① ＡはＢがＣである。
② ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
③ ＡはＢはＣであり、ＣはＢである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
① Ｔ記念会は、私が理事長です。
② Ｔ記念会は、私以外は理事長ではない。
③ Ｔ記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ でなければ、ならない。
然るに、
（19）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（18）（16）により、
（20）
果たして、
① Ｔ記念会は、私が理事長です。
② Ｔ記念会は、私以外は理事長ではない。
③ Ｔ記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）～（20）により、
（21）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長いが、長いのは鼻である。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（22）
一、總主トハ如何ナル者ゾ
動詞、形容詞ニ對シテ其主語アルト同ジク、主語ト説語（動詞或ハ形容詞）トヨリ成レル一ノ説話（即チ文）ニ對シテモ更ニソノ主語アルコト國語ニハ屡々アリ。例ヘバ「象は體大なり」ノ「象」、「熊は力強し」ノ「熊」、「鳥獸蟲魚皆性あり」ノ「鳥獸蟲魚」、「仁者は命長し」ノ「仁者」、「賣藥は效能薄し」ノ「賣藥」、「慾は限無し」ノ「慾」、「酒は養生に害あり」ノ「酒」、「支那は人口多し」ノ「支那」ノ如キハ、皆、「體大なり」「力強し」等ノ一説話ニ對シテ更ニソノ主語タル性格ヲ有ス。何トナレバ「象は體大なり」「熊は力強し」等ヨリ「象」「熊」等ノ再度ノ主語ヲ取去ル時ハ、殘餘ハ「體大なり」「力強し」等トナリテ、文法上ノ文ノ形ハ完全ニ之ヲ具フルニモ拘ラズ、意義ニ不足ヲ生ジ、其事ノ主トアルベキ「象」「熊」等ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ意義ノ完全ナル一圓ノ説話ヲ成サントスル傾アルコト、ナホ普通ノ動詞、形容詞ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ一ノ完全ナル説話ヲ成サントスル傾アルト同趣味ノモノアレバナリ。殊ニ「性有り」「限無し」等ノ一種ノ説話ニ對シテハ、實用ノ際ニ再度ノ主語ノ必要アル事ハ頗ル顯著ナルニアラズヤ。コレハ「うら（心）やまし（疚）」「て（質）がたし（堅）」ナドノ一説話ノ轉シテ一ノ形容詞トナリ、然ル上ハ實用ノ際ニ更ニソノ主語ヲ取ルト一般ナリ。サレバ「富貴は羨し」ノ「うらやまし」ニ對シテ「富貴」ヲ主語トイフヲ至當トセバ、「體大なり」「力強し」ニ對シテ「象」「熊」ヲソノ主語トイフモ亦不當ニハアラジ。斯カレバコノ類ノ再度ノ主ヲ予ハ別ニ「總主」ト名ヅケントス。
總主ハ斯ク頗ル簡單ニ説明セラルベク、亦容易ニ會得セラルベキ者ナリ。學者ノ潛思苦慮ヲモ要セズ、考古引證ヲモ須タズシテ、小學ノ兒童モ、口頭ニ、文章ニ、此語法ヲ用ヰ、歌人文士モ之ヲ用ヰテ毫モ疑フ事ナシ。コノ語法ハ本ヨリ我國ニ有リシナランガ、漢學ノ流行ニ連レテ益廣ク行ハレ、今日トナリテハ最早之ヲ目シテ國語ノ法則ニ非ズトイフヲ得ザルニ至レリ。然ルニ國語ノ法則トシテ日本ノ文法ニ之ヲ編入スル者ナキハ何故ゾ。西洋ノ言語ニ類似ノ語法ナク、西洋ノ文典ニ類似ノ記載ナキガ故ニハ非ザルカ。 （草野淸民、國語の特有セル語法 ― 總主、『帝國文學』五卷五號、明治三十二年：大修館書店、日本の言語学 第３巻 文法Ⅰ、1978年、５３３頁）
従って、
（22）により、
（23）
英語のやうな、
西洋ノ言語ニハ、
象は鼻が長い （象は鼻長し）。
象は体が大きい（象は體大なり）。
に類似する「語法」はない。
従って、
（21）（22）により、
（24）
「日本語」には、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に相当する「語法」として、
① 象は鼻が長い。
といふ「語法」が有るが、
「英語」には、そのやうな「語法」はない。
（03）（24）により、
（25）
日本語＜英語＜述語論理
といふ「順番」で「論理的」であるにも拘らず、
英語には、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理式」に相当する「語法」が無くて、
日本語には、それが有る。
といふ、ことになる。
（26）
① 象は動物である。
② 象であるならば、それは動物である。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
とする。
然るに、
（27）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（28）により、
（29）
① 象は
② ∀ｘ（象ｘ→
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（29）により、
① 象は の、
② は は、「述語論理的」である。
令和０４年０５月２９日、毛利太。
（02）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。（ウィキペディア）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
日本語＜英語＜述語論理
といふ「順番」で「論理的」である（？）。
然るに、
（04）
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻である。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（09）
② 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。⇔
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの耳であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘ耳であるならば、ｚはｘの鼻でない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
２ ６ （イ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
２ ６ （オ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
１ ６ （カ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （キ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ オＵＥ
ウ（ク） 耳ｂａ ウ＆Ｅ
２ ６ウ（ケ） ～鼻ｂａ キクＭＰＰ
１２ ６ウ（コ） ～長ｂ カケＭＰＰ
ウ（サ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウ（シ） 長ｂ＆～長ｂ コサ＆Ｉ
１２ ６ （ス） 長ｂ＆～長ｂ イウシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３６スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３６セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの耳であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘ耳であるならば、ｚはｘの鼻でない）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、すなはち、
（ⅰ）象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（04）～（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が「正しい」のであれば、そのときに限って、
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３＆Ｉ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３ （７） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
８ （８） 長ｂ Ａ
９（９） ～鼻ｂａ Ａ
１３ ９（ア） ～長ｂ ７９ＭＰＰ
１３８９（イ） 長ｂ＆～長ｂ ８ア＆Ｉ
１３８ （ウ） ～～鼻ｂａ ９イＲＡＡ
１３８ （エ） 鼻ｂａ ウＤＮ
１３ （オ） 長ｂ→ 鼻ｂａ ８エＣＰ
１３ （カ） ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） オＵＩ
１３ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ５カ＆Ｉ
１ （ク） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ３キＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝ クＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ３４ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚａ） ４＆Ｅ
１３ （７） 長ｂ→ 鼻ｂａ ６ＵＥ
８ （８） ～鼻ｂａ Ａ
９（９） 長ｂ Ａ
１３ ９（ア） 鼻ｂａ ７９＆Ｉ
１３８９（イ） ～鼻ｂａ＆鼻ｂａ ８ア＆Ｉ
１３８ （ウ） ～長ｂ ９イＲＡＡ
１３ （エ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ８ウＣＰ
１３ （オ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エＵＩ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５オ＆Ｉ
１ （キ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ キＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長く）、すべてのｚについて（ｚが長いのであれば、ｘはｘの鼻である）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長いが、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
① ＡはＢがＣである。
② ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
③ ＡはＢはＣであり、ＣはＢである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
① Ｔ記念会は、私が理事長です。
② Ｔ記念会は、私以外は理事長ではない。
③ Ｔ記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ でなければ、ならない。
然るに、
（19）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（18）（16）により、
（20）
果たして、
① Ｔ記念会は、私が理事長です。
② Ｔ記念会は、私以外は理事長ではない。
③ Ｔ記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）～（20）により、
（21）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長いが、長いのは鼻である。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（22）
一、總主トハ如何ナル者ゾ
動詞、形容詞ニ對シテ其主語アルト同ジク、主語ト説語（動詞或ハ形容詞）トヨリ成レル一ノ説話（即チ文）ニ對シテモ更ニソノ主語アルコト國語ニハ屡々アリ。例ヘバ「象は體大なり」ノ「象」、「熊は力強し」ノ「熊」、「鳥獸蟲魚皆性あり」ノ「鳥獸蟲魚」、「仁者は命長し」ノ「仁者」、「賣藥は效能薄し」ノ「賣藥」、「慾は限無し」ノ「慾」、「酒は養生に害あり」ノ「酒」、「支那は人口多し」ノ「支那」ノ如キハ、皆、「體大なり」「力強し」等ノ一説話ニ對シテ更ニソノ主語タル性格ヲ有ス。何トナレバ「象は體大なり」「熊は力強し」等ヨリ「象」「熊」等ノ再度ノ主語ヲ取去ル時ハ、殘餘ハ「體大なり」「力強し」等トナリテ、文法上ノ文ノ形ハ完全ニ之ヲ具フルニモ拘ラズ、意義ニ不足ヲ生ジ、其事ノ主トアルベキ「象」「熊」等ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ意義ノ完全ナル一圓ノ説話ヲ成サントスル傾アルコト、ナホ普通ノ動詞、形容詞ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ一ノ完全ナル説話ヲ成サントスル傾アルト同趣味ノモノアレバナリ。殊ニ「性有り」「限無し」等ノ一種ノ説話ニ對シテハ、實用ノ際ニ再度ノ主語ノ必要アル事ハ頗ル顯著ナルニアラズヤ。コレハ「うら（心）やまし（疚）」「て（質）がたし（堅）」ナドノ一説話ノ轉シテ一ノ形容詞トナリ、然ル上ハ實用ノ際ニ更ニソノ主語ヲ取ルト一般ナリ。サレバ「富貴は羨し」ノ「うらやまし」ニ對シテ「富貴」ヲ主語トイフヲ至當トセバ、「體大なり」「力強し」ニ對シテ「象」「熊」ヲソノ主語トイフモ亦不當ニハアラジ。斯カレバコノ類ノ再度ノ主ヲ予ハ別ニ「總主」ト名ヅケントス。
總主ハ斯ク頗ル簡單ニ説明セラルベク、亦容易ニ會得セラルベキ者ナリ。學者ノ潛思苦慮ヲモ要セズ、考古引證ヲモ須タズシテ、小學ノ兒童モ、口頭ニ、文章ニ、此語法ヲ用ヰ、歌人文士モ之ヲ用ヰテ毫モ疑フ事ナシ。コノ語法ハ本ヨリ我國ニ有リシナランガ、漢學ノ流行ニ連レテ益廣ク行ハレ、今日トナリテハ最早之ヲ目シテ國語ノ法則ニ非ズトイフヲ得ザルニ至レリ。然ルニ國語ノ法則トシテ日本ノ文法ニ之ヲ編入スル者ナキハ何故ゾ。西洋ノ言語ニ類似ノ語法ナク、西洋ノ文典ニ類似ノ記載ナキガ故ニハ非ザルカ。 （草野淸民、國語の特有セル語法 ― 總主、『帝國文學』五卷五號、明治三十二年：大修館書店、日本の言語学 第３巻 文法Ⅰ、1978年、５３３頁）
従って、
（22）により、
（23）
英語のやうな、
西洋ノ言語ニハ、
象は鼻が長い （象は鼻長し）。
象は体が大きい（象は體大なり）。
に類似する「語法」はない。
従って、
（21）（22）により、
（24）
「日本語」には、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に相当する「語法」として、
① 象は鼻が長い。
といふ「語法」が有るが、
「英語」には、そのやうな「語法」はない。
（03）（24）により、
（25）
日本語＜英語＜述語論理
といふ「順番」で「論理的」であるにも拘らず、
英語には、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理式」に相当する「語法」が無くて、
日本語には、それが有る。
といふ、ことになる。
（26）
① 象は動物である。
② 象であるならば、それは動物である。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
とする。
然るに、
（27）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（28）により、
（29）
① 象は
② ∀ｘ（象ｘ→
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（29）により、
① 象は の、
② は は、「述語論理的」である。
令和０４年０５月２９日、毛利太。
2022年5月28日土曜日
「順列（の樹形図）」のやうに「機械的」に「組合せ」を書く「方法」。
（01）
「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ風に、
といふ画像の彼が質問したところ、
ヨビノリたくみ曰く、
組合せは、まぁ。樹形図で書いた後に、「数え過ぎ」の部分を「割り算」するということになります。
（ユーチューブ、中学数学からはじめる確率統計、１：１２：５１頃）
然るに、
（02）
① １２＝１と２。
② １３＝１と３。
③ １４＝１と４。
④ １５＝１と５。
⑤ １６＝１と６。
⑥ ２３＝２と３。
⑦ ２４＝２と４。
⑧ ２５＝２と５。
⑨ ２６＝２と６。
⑩ ３４＝３と４。
⑪ ３５＝３と５。
⑫ ３６＝３と６。
⑬ ４５＝４と５。
⑭ ４６＝４と６。
⑮ ５６＝５と６。
とするならば、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
である。
然るに、
（03）
① １２＝twelve
② １３＝thirteen
③ １４＝fourteen
④ １５＝fifteen
⑤ １６＝sixteen
⑥ ２３＝twenty three
⑦ ２４＝twenty four
⑧ ２５＝twenty five
⑨ ２６＝twenty six
⑩ ３４＝thirty four
⑪ ３５＝thirty five
⑫ ３６＝thirty six
⑬ ４５＝forty five
⑭ ４６＝forty six
⑮ ５６＝fifty six
であるため、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」は、「便宜的」に、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
といふ風に、「見做す」ことが出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」を得ることになる。
従って、
（05）により、
（06）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」を得ることになる。
然るに、
（07）
① １２３
からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
といふ「３！（６）通リ」を得ることが出来る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
② １２４ １４２ ２１４ ２４１ ４１２ ４２１
③ １２５ １５２ ２１５ ２５１ ５１２ ５２１
④ １２６ １６２ ２１６ ２６１ ６１２ ６２１
⑤ １３４ １４３ ３１４ ３４１ ４１３ ４３１
⑥ １３５ １５３ ３１５ ３５１ ５１３ ５３１
⑦ １３６ １６３ ３１６ ３６１ ６１３ ６３１
⑧ １４５ １５４ ４１５ ４５１ ５１４ ５４１
⑨ １４６ １６４ ４１６ ４６１ ６１４ ６４１
⑩ １５６ １６５ ５１６ ５６１ ６１５ ６５１
⑪ ２３４ ２４３ ３２４ ３４２ ４２３ ４３２
⑫ ２３５ ２５３ ３２５ ３５２ ５２３ ５３２
⑬ ２３６ ２６３ ３２６ ３６２ ６２３ ６３２
⑭ ２４５ ２５４ ４２５ ４５２ ５２４ ５４２
⑮ ２４６ ２６４ ４２６ ４６２ ６２４ ６４２
⑯ ２５６ ２６５ ５２６ ５６２ ６２５ ６５２
⑰ ３４５ ３５４ ４３５ ４５３ ５３４ ５４３
⑱ ３４６ ３６４ ４３６ ４６３ ６３４ ６４３
⑲ ３５６ ３６５ ５３６ ５６３ ６３５ ６５３
⑳ ４５６ ４６５ ５４６ ５６４ ６４５ ６５４
といふ「２０×３！＝１２０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（09）
① １２３ １３２ １４２ １５２ １６２
① １２４ １３４ １４３ １５３ １６３
① １２５ １３５ １４５ １５４ １６４
① １２６ １３６ １４６ １５６ １６５
② ２１３ ２３１ ２４１ ２５１ ２６１
② ２１４ ２３４ ２４３ ２５３ ２６３
② ２１５ ２３５ ２４５ ２５４ ２６４
② ２１６ ２３６ ２４６ ２５６ ２６５
③ ３１２ ３２１ ３４１ ３５１ ３６１
③ ３１４ ３２４ ３４２ ３５２ ３６２
③ ３１５ ３２５ ３４５ ３５４ ３６４
③ ３１６ ３２６ ３４６ ３５６ ３６５
④ ４１２ ４２１ ４３１ ４５１ ４６１
④ ４１３ ４２３ ４３２ ４５２ ４６２
④ ４１５ ４２５ ４３５ ４５３ ４６３
④ ４１６ ４２６ ４３６ ４５６ ４６５
⑤ ５１２ ５２１ ５３１ ５４１ ５６１
⑤ ５１３ ５２３ ５３２ ５４２ ５６２
⑤ ５１４ ５２４ ５３４ ５４３ ５６３
⑤ ５１６ ５２６ ５３６ ５４６ ５６４
⑥ ６１２ ６２１ ６３１ ６４１ ６５１
⑥ ６１３ ６２３ ６３２ ６４２ ６５２
⑥ ６１４ ６２４ ６３４ ６４３ ６５３
⑥ ６１５ ６２５ ６３５ ６４５ ６５４
は、「6Ｐ3＝４×５×６＝１２０通リ」は、『樹形図の順番』である。
然るに、
（10）
「公式」として、
6Ｃ3×３！＝6Ｐ3
である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」は、「6Ｃ3」である。
従って、
（06）（10）（11）により、
（12）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、得ることが出来た、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
は、「２０通リ」は、「6Ｃ3×３！＝6Ｐ3」でいふ、「6Ｃ3」である。
従って、
（12）により、
（13）
① １＜２＜３＜４
② １＜２＜３＜５
③ １＜２＜３＜６
④ １＜２＜４＜５
⑤ １＜２＜４＜６
⑥ １＜２＜５＜６
⑦ １＜３＜４＜５
⑧ １＜３＜４＜６
⑨ １＜３＜５＜６
⑩ １＜４＜５＜６
⑪ ２＜３＜４＜５
⑫ ２＜３＜４＜６
⑬ ２＜３＜５＜６
⑭ ２＜４＜５＜６
⑮ ３＜４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃，＃｝を選ぶならば、
① １２３４
② １２３５
③ １２３６
④ １２４５
⑤ １２４６
⑥ １２５６
⑦ １３４５
⑧ １３４６
⑨ １３５６
⑩ １４５６
⑪ ２３４５
⑫ ２３４６
⑬ ２３５６
⑭ ２４５６
⑮ ３４５６
は、「6Ｃ4」であって、それ故、
① １２３４ １２４３ １３２４ １３４２ １４２３ １４３２
① ２１３４ ２１４３ ２３１４ ２３４１ ２４１３ ２４３１
① ３１２４ ３１４２ ３２１４ ３２４１ ３４１２ ３４２１
① ４１２３ ４１３２ ４２１３ ４２３１ ４３１２ ４３２１
② １２３５ １２５３ １３２５ １３５２ １５２３ １５３２
② ２１３５ ２１５３ ２３１５ ２３５１ ２５１３ ２５３１
② ３１２５ ３１５２ ３２１５ ３２５１ ３５１２ ３５２１
② ５１２３ ５１３２ ５２１３ ５２３１ ５３１２ ５３２１
③ １２３６ １２６３ １３２６ １３６２ １６２３ １６３２
③ ２１３６ ２１６３ ２３１６ ２３６１ ２６１３ ２６３１
③ ３１２６ ３１６２ ３２１６ ３２６１ ３６１２ ３６２１
③ ６１２３ ６１３２ ６２１３ ６２３１ ６３１２ ６３２１
④ １２４５ １２５４ １４２５ １４５２ １５２４ １５４２
④ ２１４５ ２１５４ ２４１５ ２４５１ ２５１４ ２５４１
④ ４１２５ ４１５２ ４２１５ ４２５１ ４５１２ ４５２１
④ ５１２４ ５１４２ ５２１４ ５２４１ ５４１２ ５４２１
⑤ １２４６ １２６４ １４２６ １４６２ １６２４ １６４２
⑤ ２１４６ ２１６４ ２４１６ ２４６１ ２６１４ ２６４１
⑤ ４１２６ ４１６２ ４２１６ ４２６１ ４６１２ ４６２１
⑤ ６１２４ ６１４２ ６２１４ ６２４１ ６４１２ ６４２１
⑥ １２５６ １２６５ １５２６ １５６２ １６２５ １６５２
⑥ ２１５６ ２１６５ ２５１６ ２５６１ ２６１５ ２６５１
⑥ ５１２６ ５１６２ ５２１６ ５２６１ ５６１２ ５６２１
⑥ ６１２５ ６１５２ ６２１５ ６２５１ ６５１２ ６５２１
⑦ １３４５ １３５４ １４３５ １４５３ １５３４ １５４３
⑦ ３１４５ ３１５４ ３４１５ ３４５１ ３５１４ ３５４１
⑦ ４１３５ ４１５３ ４３１５ ４３５１ ４５１３ ４５３１
⑦ ５１３４ ５１４３ ５３１４ ５３４１ ５４１３ ５４３１
⑧ １３４６ １３６４ １４３６ １４６３ １６３４ １６４３
⑧ ３１４６ ３１６４ ３４１６ ３４６１ ３６１４ ３６４１
⑧ ４１３６ ４１６３ ４３１６ ４３６１ ４６１３ ４６３１
⑧ ６１３４ ６１４３ ６３１４ ６３４１ ６４１３ ６４３１
⑨ １３５６ １３６５ １５３６ １５６３ １６３５ １６５３
⑨ ３１５６ ３１６５ ３５１６ ３５６１ ３６１５ ３６５１
⑨ ５１３６ ５１６３ ５３１６ ５３６１ ５６１３ ５６３１
⑨ ６１３５ ６１５３ ６３１５ ６３５１ ６５１３ ６５３１
⑩ １４５６ １４６５ １５４６ １５６４ １６４５ １６５４
⑩ ４１５６ ４１６５ ４５１６ ４５６１ ４６１５ ４６５１
⑩ ５１４６ ５１６４ ５４１６ ５４６１ ５６１４ ５６４１
⑩ ６１４５ ６１５４ ６４１５ ６４５１ ６５１４ ６５４１
⑪ ２３４５ ２３５４ ２４３５ ２４５３ ２５３４ ２５４３
⑪ ３２４５ ３２５４ ３４２５ ３４５２ ３５２４ ３５４２
⑪ ４２３５ ４２５３ ４３２５ ４３５２ ４５２３ ４５３２
⑪ ５２３４ ５２４３ ５３２４ ５３４２ ５４２３ ５４３２
⑫ ２３４６ ２３６４ ２４３６ ２４６３ ２６３４ ２６４３
⑫ ３２４６ ３２６４ ３４２６ ３４６２ ３６２４ ３６４２
⑫ ４２３６ ４２６３ ４３２６ ４３６２ ４６２３ ４６３２
⑫ ６２３４ ６２４３ ６３２４ ６３４２ ６４２３ ６４３２
⑬ ２３５６ ２３６５ ２５３６ ２５６３ ２６３５ ２６５３
⑬ ３２５６ ３２６５ ３５２６ ３５６２ ３６２５ ３６５２
⑬ ５２３６ ５２６３ ５３２６ ５３６２ ５６２３ ５６３２
⑬ ６２３５ ６２５３ ６３２５ ６３５２ ６５２３ ６５３２
⑭ ２４５６ ２４６５ ２５４６ ２５６４ ２６４５ ２６５４
⑭ ４２５６ ４２６５ ４５２６ ４５６２ ４６２５ ４６５２
⑭ ５２４６ ５２６４ ５４２６ ５４６２ ５６２４ ５６４２
⑭ ６２４５ ６２５４ ６４２５ ６４５２ ６５２４ ６５４２
⑮ ３４５６ ３４６５ ３５４６ ３５６４ ３６４５ ３６５４
⑮ ４３５６ ４３６５ ４５３６ ４５６３ ４６３５ ４６５３
⑮ ５３４６ ５３６４ ５４３６ ５４６３ ５６３４ ５６４３
⑮ ６３４５ ６３５４ ６４３５ ６４５３ ６５３４ ６５４３
であれば、
6Ｐ4＝（6Ｃ4＝６×５×４×３÷４！）×４！＝３６０
である。
従って、
（01）（12）（13）により、
（14）
Ｑ：「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ「質問」が、
Ｑ：「組合せ」は「順列」のように、「機械的」に書けないのですか？
といふ「質問」であるならば、
Ａ：ありません。
ではなく、
Ａ：あるけれど、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
を書くことは、「（順列の）樹形図」を書くよりは、少しだけ難しいが、馴れれば、簡単である。
といふ、ことになる。
令和０４年０５月２８日、毛利太。
「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ風に、
といふ画像の彼が質問したところ、
ヨビノリたくみ曰く、
組合せは、まぁ。樹形図で書いた後に、「数え過ぎ」の部分を「割り算」するということになります。
（ユーチューブ、中学数学からはじめる確率統計、１：１２：５１頃）
然るに、
（02）
① １２＝１と２。
② １３＝１と３。
③ １４＝１と４。
④ １５＝１と５。
⑤ １６＝１と６。
⑥ ２３＝２と３。
⑦ ２４＝２と４。
⑧ ２５＝２と５。
⑨ ２６＝２と６。
⑩ ３４＝３と４。
⑪ ３５＝３と５。
⑫ ３６＝３と６。
⑬ ４５＝４と５。
⑭ ４６＝４と６。
⑮ ５６＝５と６。
とするならば、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
である。
然るに、
（03）
① １２＝twelve
② １３＝thirteen
③ １４＝fourteen
④ １５＝fifteen
⑤ １６＝sixteen
⑥ ２３＝twenty three
⑦ ２４＝twenty four
⑧ ２５＝twenty five
⑨ ２６＝twenty six
⑩ ３４＝thirty four
⑪ ３５＝thirty five
⑫ ３６＝thirty six
⑬ ４５＝forty five
⑭ ４６＝forty six
⑮ ５６＝fifty six
であるため、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」は、「便宜的」に、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
といふ風に、「見做す」ことが出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」を得ることになる。
従って、
（05）により、
（06）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」を得ることになる。
然るに、
（07）
① １２３
からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
といふ「３！（６）通リ」を得ることが出来る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
② １２４ １４２ ２１４ ２４１ ４１２ ４２１
③ １２５ １５２ ２１５ ２５１ ５１２ ５２１
④ １２６ １６２ ２１６ ２６１ ６１２ ６２１
⑤ １３４ １４３ ３１４ ３４１ ４１３ ４３１
⑥ １３５ １５３ ３１５ ３５１ ５１３ ５３１
⑦ １３６ １６３ ３１６ ３６１ ６１３ ６３１
⑧ １４５ １５４ ４１５ ４５１ ５１４ ５４１
⑨ １４６ １６４ ４１６ ４６１ ６１４ ６４１
⑩ １５６ １６５ ５１６ ５６１ ６１５ ６５１
⑪ ２３４ ２４３ ３２４ ３４２ ４２３ ４３２
⑫ ２３５ ２５３ ３２５ ３５２ ５２３ ５３２
⑬ ２３６ ２６３ ３２６ ３６２ ６２３ ６３２
⑭ ２４５ ２５４ ４２５ ４５２ ５２４ ５４２
⑮ ２４６ ２６４ ４２６ ４６２ ６２４ ６４２
⑯ ２５６ ２６５ ５２６ ５６２ ６２５ ６５２
⑰ ３４５ ３５４ ４３５ ４５３ ５３４ ５４３
⑱ ３４６ ３６４ ４３６ ４６３ ６３４ ６４３
⑲ ３５６ ３６５ ５３６ ５６３ ６３５ ６５３
⑳ ４５６ ４６５ ５４６ ５６４ ６４５ ６５４
といふ「２０×３！＝１２０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（09）
① １２３ １３２ １４２ １５２ １６２
① １２４ １３４ １４３ １５３ １６３
① １２５ １３５ １４５ １５４ １６４
① １２６ １３６ １４６ １５６ １６５
② ２１３ ２３１ ２４１ ２５１ ２６１
② ２１４ ２３４ ２４３ ２５３ ２６３
② ２１５ ２３５ ２４５ ２５４ ２６４
② ２１６ ２３６ ２４６ ２５６ ２６５
③ ３１２ ３２１ ３４１ ３５１ ３６１
③ ３１４ ３２４ ３４２ ３５２ ３６２
③ ３１５ ３２５ ３４５ ３５４ ３６４
③ ３１６ ３２６ ３４６ ３５６ ３６５
④ ４１２ ４２１ ４３１ ４５１ ４６１
④ ４１３ ４２３ ４３２ ４５２ ４６２
④ ４１５ ４２５ ４３５ ４５３ ４６３
④ ４１６ ４２６ ４３６ ４５６ ４６５
⑤ ５１２ ５２１ ５３１ ５４１ ５６１
⑤ ５１３ ５２３ ５３２ ５４２ ５６２
⑤ ５１４ ５２４ ５３４ ５４３ ５６３
⑤ ５１６ ５２６ ５３６ ５４６ ５６４
⑥ ６１２ ６２１ ６３１ ６４１ ６５１
⑥ ６１３ ６２３ ６３２ ６４２ ６５２
⑥ ６１４ ６２４ ６３４ ６４３ ６５３
⑥ ６１５ ６２５ ６３５ ６４５ ６５４
は、「6Ｐ3＝４×５×６＝１２０通リ」は、『樹形図の順番』である。
然るに、
（10）
「公式」として、
6Ｃ3×３！＝6Ｐ3
である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」は、「6Ｃ3」である。
従って、
（06）（10）（11）により、
（12）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、得ることが出来た、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
は、「２０通リ」は、「6Ｃ3×３！＝6Ｐ3」でいふ、「6Ｃ3」である。
従って、
（12）により、
（13）
① １＜２＜３＜４
② １＜２＜３＜５
③ １＜２＜３＜６
④ １＜２＜４＜５
⑤ １＜２＜４＜６
⑥ １＜２＜５＜６
⑦ １＜３＜４＜５
⑧ １＜３＜４＜６
⑨ １＜３＜５＜６
⑩ １＜４＜５＜６
⑪ ２＜３＜４＜５
⑫ ２＜３＜４＜６
⑬ ２＜３＜５＜６
⑭ ２＜４＜５＜６
⑮ ３＜４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃，＃｝を選ぶならば、
① １２３４
② １２３５
③ １２３６
④ １２４５
⑤ １２４６
⑥ １２５６
⑦ １３４５
⑧ １３４６
⑨ １３５６
⑩ １４５６
⑪ ２３４５
⑫ ２３４６
⑬ ２３５６
⑭ ２４５６
⑮ ３４５６
は、「6Ｃ4」であって、それ故、
① １２３４ １２４３ １３２４ １３４２ １４２３ １４３２
① ２１３４ ２１４３ ２３１４ ２３４１ ２４１３ ２４３１
① ３１２４ ３１４２ ３２１４ ３２４１ ３４１２ ３４２１
① ４１２３ ４１３２ ４２１３ ４２３１ ４３１２ ４３２１
② １２３５ １２５３ １３２５ １３５２ １５２３ １５３２
② ２１３５ ２１５３ ２３１５ ２３５１ ２５１３ ２５３１
② ３１２５ ３１５２ ３２１５ ３２５１ ３５１２ ３５２１
② ５１２３ ５１３２ ５２１３ ５２３１ ５３１２ ５３２１
③ １２３６ １２６３ １３２６ １３６２ １６２３ １６３２
③ ２１３６ ２１６３ ２３１６ ２３６１ ２６１３ ２６３１
③ ３１２６ ３１６２ ３２１６ ３２６１ ３６１２ ３６２１
③ ６１２３ ６１３２ ６２１３ ６２３１ ６３１２ ６３２１
④ １２４５ １２５４ １４２５ １４５２ １５２４ １５４２
④ ２１４５ ２１５４ ２４１５ ２４５１ ２５１４ ２５４１
④ ４１２５ ４１５２ ４２１５ ４２５１ ４５１２ ４５２１
④ ５１２４ ５１４２ ５２１４ ５２４１ ５４１２ ５４２１
⑤ １２４６ １２６４ １４２６ １４６２ １６２４ １６４２
⑤ ２１４６ ２１６４ ２４１６ ２４６１ ２６１４ ２６４１
⑤ ４１２６ ４１６２ ４２１６ ４２６１ ４６１２ ４６２１
⑤ ６１２４ ６１４２ ６２１４ ６２４１ ６４１２ ６４２１
⑥ １２５６ １２６５ １５２６ １５６２ １６２５ １６５２
⑥ ２１５６ ２１６５ ２５１６ ２５６１ ２６１５ ２６５１
⑥ ５１２６ ５１６２ ５２１６ ５２６１ ５６１２ ５６２１
⑥ ６１２５ ６１５２ ６２１５ ６２５１ ６５１２ ６５２１
⑦ １３４５ １３５４ １４３５ １４５３ １５３４ １５４３
⑦ ３１４５ ３１５４ ３４１５ ３４５１ ３５１４ ３５４１
⑦ ４１３５ ４１５３ ４３１５ ４３５１ ４５１３ ４５３１
⑦ ５１３４ ５１４３ ５３１４ ５３４１ ５４１３ ５４３１
⑧ １３４６ １３６４ １４３６ １４６３ １６３４ １６４３
⑧ ３１４６ ３１６４ ３４１６ ３４６１ ３６１４ ３６４１
⑧ ４１３６ ４１６３ ４３１６ ４３６１ ４６１３ ４６３１
⑧ ６１３４ ６１４３ ６３１４ ６３４１ ６４１３ ６４３１
⑨ １３５６ １３６５ １５３６ １５６３ １６３５ １６５３
⑨ ３１５６ ３１６５ ３５１６ ３５６１ ３６１５ ３６５１
⑨ ５１３６ ５１６３ ５３１６ ５３６１ ５６１３ ５６３１
⑨ ６１３５ ６１５３ ６３１５ ６３５１ ６５１３ ６５３１
⑩ １４５６ １４６５ １５４６ １５６４ １６４５ １６５４
⑩ ４１５６ ４１６５ ４５１６ ４５６１ ４６１５ ４６５１
⑩ ５１４６ ５１６４ ５４１６ ５４６１ ５６１４ ５６４１
⑩ ６１４５ ６１５４ ６４１５ ６４５１ ６５１４ ６５４１
⑪ ２３４５ ２３５４ ２４３５ ２４５３ ２５３４ ２５４３
⑪ ３２４５ ３２５４ ３４２５ ３４５２ ３５２４ ３５４２
⑪ ４２３５ ４２５３ ４３２５ ４３５２ ４５２３ ４５３２
⑪ ５２３４ ５２４３ ５３２４ ５３４２ ５４２３ ５４３２
⑫ ２３４６ ２３６４ ２４３６ ２４６３ ２６３４ ２６４３
⑫ ３２４６ ３２６４ ３４２６ ３４６２ ３６２４ ３６４２
⑫ ４２３６ ４２６３ ４３２６ ４３６２ ４６２３ ４６３２
⑫ ６２３４ ６２４３ ６３２４ ６３４２ ６４２３ ６４３２
⑬ ２３５６ ２３６５ ２５３６ ２５６３ ２６３５ ２６５３
⑬ ３２５６ ３２６５ ３５２６ ３５６２ ３６２５ ３６５２
⑬ ５２３６ ５２６３ ５３２６ ５３６２ ５６２３ ５６３２
⑬ ６２３５ ６２５３ ６３２５ ６３５２ ６５２３ ６５３２
⑭ ２４５６ ２４６５ ２５４６ ２５６４ ２６４５ ２６５４
⑭ ４２５６ ４２６５ ４５２６ ４５６２ ４６２５ ４６５２
⑭ ５２４６ ５２６４ ５４２６ ５４６２ ５６２４ ５６４２
⑭ ６２４５ ６２５４ ６４２５ ６４５２ ６５２４ ６５４２
⑮ ３４５６ ３４６５ ３５４６ ３５６４ ３６４５ ３６５４
⑮ ４３５６ ４３６５ ４５３６ ４５６３ ４６３５ ４６５３
⑮ ５３４６ ５３６４ ５４３６ ５４６３ ５６３４ ５６４３
⑮ ６３４５ ６３５４ ６４３５ ６４５３ ６５３４ ６５４３
であれば、
6Ｐ4＝（6Ｃ4＝６×５×４×３÷４！）×４！＝３６０
である。
従って、
（01）（12）（13）により、
（14）
Ｑ：「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ「質問」が、
Ｑ：「組合せ」は「順列」のように、「機械的」に書けないのですか？
といふ「質問」であるならば、
Ａ：ありません。
ではなく、
Ａ：あるけれど、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
を書くことは、「（順列の）樹形図」を書くよりは、少しだけ難しいが、馴れれば、簡単である。
といふ、ことになる。
令和０４年０５月２８日、毛利太。
2022年5月26日木曜日
「組合せの問題（南山大学、昭和ｘｘ年）」
（01）
例題 ２８
Ａ高校の生徒会の役員は６名で、その中３名は女子である。また、
Ｂ高校の生徒会の役員は５名で、その中２名は女子である。
各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して、
合計５名の合同委員会を作るとき、次の各場合は何通リあるか。
（１）合同委員会の作り方。
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
〔南山大学〕
（チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁）
（02）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるとする。
（03）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ。
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ。
といふ「２通り」がある。
（04）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「6Ｃ2＝１５通リ」である。
然るに、
（05）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「5Ｃ3＝１０通リ」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「１５通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（06）により、
（07）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）である。
然るに、
（08）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「6Ｃ3＝２０通リ」である。
然るに、
（09）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「5Ｃ2＝１０通リ」である。
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「２０通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（10）により、
（11）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」と、
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）であると、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
（１）合同委員会の作り方。
に関しては、
①（１５×１０＝１５０通リ）
②（２０×１０＝２００通リ）
による、
①＋②＝３５０通リ。
である。
然るに、
（14）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「５人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧＨ
②ＡＢＣＧＩ
③ＡＢＣＨＩ
④ＡＢＧＨＩ
⑤ＡＣＧＨＩ
⑥ＢＣＧＨＩ
による「6Ｃ5＝６通リ」である。
従って、
（01）（13）（14）により、
（15）
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（〃）全員（５人）がすべて男子であるわけではない。
に関しては、
（３５０－６＝３４４通リ）である。
（16）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
による「５人」から「１人」を選んで、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
による「６人」から「４人」を選ぶことにする。
然るに、
（17）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
から「１人」を選ぶ「選び方」は、
①Ｄ
②Ｅ
③Ｆ
④Ｊ
⑤Ｋ
による「5Ｃ1＝５通リ」である。
然るに、
（18）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「４人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧ
②ＡＢＣＨ
③ＡＢＣＩ
④ＡＢＧＨ
⑤ＡＢＧＩ
⑥ＡＢＨＩ
⑦ＡＣＧＨ
⑧ＡＣＧＩ
⑨ＡＣＨＩ
⑩ＡＧＨＩ
⑪ＢＣＧＨ
⑫ＢＣＧＩ
⑬ＢＣＨＩ
⑭ＢＧＨＩ
⑮ＣＧＨＩ
による「6Ｃ4＝１５通リ」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
例へば、
女子１人＝Ｄ（はＡ高校）
であるならば、
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｄ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｄ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｄ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｄ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｄ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｄ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｄ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｄ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｄ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｄ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｄ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｄ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（19）により、
（20）
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
であるとすると、
Ａ高校＝４人 で、
Ｂ高校＝１人 でるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（21）
例へば、
女子１人＝Ｅ（はＢ高校）
であるならば、
①Ｅ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｅ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｅ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｅ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｅ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｅ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｅ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｅ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｅ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｅ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｅ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｅ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（21）により、
（22）
例へば、
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
であるとすると、
Ｂ高校＝４人 で、
Ａ高校＝１人 であるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
従って、
（16）～（22）により、
（23）
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛５×（１５－３）＝６０通リ｝である。
（24）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるため、
①ＤＪ＋男子３人
②ＤＫ＋男子３人
③ＥＪ＋男子３人
④ＥＫ＋男子３人
⑤ＦＪ＋男子３人
⑥ＦＫ＋男子３人。
であれば、
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
といふ「条件」を、満たしてゐる。
然るに、
（01）（02）（24）により、
（25）
その場合は、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるため、例へば、
①ＤＪ＋男子３人（ＡＢＣ）。
②ＤＫ＋男子３人（ＧＨＩ）。
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（26）
｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＨＩ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
（27）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＢＣ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
従って、
（05）（26）（27）により、
（28）
「男子３人」は、
①Ａ＋ＧＨ
②Ａ＋ＧＩ
③Ａ＋ＨＩ
④Ｂ＋ＧＨ
⑤Ｂ＋ＧＩ
⑥Ｂ＋ＨＩ
⑦Ｃ＋ＧＨ
⑧Ｃ＋ＧＩ
⑨Ｃ＋ＨＩ
であるか、または、
①Ｇ＋ＡＢ
②Ｇ＋ＡＣ
③Ｇ＋ＢＣ
④Ｈ＋ＡＢ
⑤Ｈ＋ＡＣ
⑥Ｈ＋ＢＣ
⑦Ｉ＋ＡＢ
⑧Ｉ＋ＡＣ
⑨Ｉ＋ＢＣ
でなければ、ならない。
従って、
（24）（28）により、
（29）
①女子２人（ＤＪ）＋男子３人
②女子２人（ＤＫ）＋男子３人
③女子２人（ＥＪ）＋男子３人
④女子２人（ＥＫ）＋男子３人
⑤女子２人（ＦＪ）＋男子３人
⑥女子２人（ＦＫ）＋男子３人。
といふ「６通リ」の、「その各々」に対して、
①男子３人（Ａ＋ＧＨ）
②男子３人（Ａ＋ＧＩ）
③男子３人（Ａ＋ＨＩ）
④男子３人（Ｂ＋ＧＨ）
⑤男子３人（Ｂ＋ＧＩ）
⑥男子３人（Ｂ＋ＨＩ）
⑦男子３人（Ｃ＋ＧＨ）
⑧男子３人（Ｃ＋ＧＩ）
⑨男子３人（Ｃ＋ＨＩ）
であるか、または、
①男子３人（Ｇ＋ＡＢ）
②男子３人（Ｇ＋ＡＣ）
③男子３人（Ｇ＋ＢＣ）
④男子３人（Ｈ＋ＡＢ）
⑤男子３人（Ｈ＋ＡＣ）
⑥男子３人（Ｈ＋ＢＣ）
⑦男子３人（Ｉ＋ＡＢ）
⑧男子３人（Ｉ＋ＡＣ）
⑨男子３人（Ｉ＋ＢＣ）
でなければ、ならない。
従って、
（24）～（29）により、
（30）
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛６×（９＋９）＝１０８通リ｝である。
従って、
（01）～（30）により、
（31）
果たして、
「チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁、例題２８」
の「答へ」は、四つとも、すべて「正しい」。
令和０４年０５月２６日、毛利太。
例題 ２８
Ａ高校の生徒会の役員は６名で、その中３名は女子である。また、
Ｂ高校の生徒会の役員は５名で、その中２名は女子である。
各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して、
合計５名の合同委員会を作るとき、次の各場合は何通リあるか。
（１）合同委員会の作り方。
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
〔南山大学〕
（チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁）
（02）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるとする。
（03）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ。
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ。
といふ「２通り」がある。
（04）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「6Ｃ2＝１５通リ」である。
然るに、
（05）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「5Ｃ3＝１０通リ」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「１５通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（06）により、
（07）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）である。
然るに、
（08）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「6Ｃ3＝２０通リ」である。
然るに、
（09）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「5Ｃ2＝１０通リ」である。
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「２０通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（10）により、
（11）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」と、
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）であると、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
（１）合同委員会の作り方。
に関しては、
①（１５×１０＝１５０通リ）
②（２０×１０＝２００通リ）
による、
①＋②＝３５０通リ。
である。
然るに、
（14）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「５人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧＨ
②ＡＢＣＧＩ
③ＡＢＣＨＩ
④ＡＢＧＨＩ
⑤ＡＣＧＨＩ
⑥ＢＣＧＨＩ
による「6Ｃ5＝６通リ」である。
従って、
（01）（13）（14）により、
（15）
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（〃）全員（５人）がすべて男子であるわけではない。
に関しては、
（３５０－６＝３４４通リ）である。
（16）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
による「５人」から「１人」を選んで、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
による「６人」から「４人」を選ぶことにする。
然るに、
（17）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
から「１人」を選ぶ「選び方」は、
①Ｄ
②Ｅ
③Ｆ
④Ｊ
⑤Ｋ
による「5Ｃ1＝５通リ」である。
然るに、
（18）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「４人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧ
②ＡＢＣＨ
③ＡＢＣＩ
④ＡＢＧＨ
⑤ＡＢＧＩ
⑥ＡＢＨＩ
⑦ＡＣＧＨ
⑧ＡＣＧＩ
⑨ＡＣＨＩ
⑩ＡＧＨＩ
⑪ＢＣＧＨ
⑫ＢＣＧＩ
⑬ＢＣＨＩ
⑭ＢＧＨＩ
⑮ＣＧＨＩ
による「6Ｃ4＝１５通リ」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
例へば、
女子１人＝Ｄ（はＡ高校）
であるならば、
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｄ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｄ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｄ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｄ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｄ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｄ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｄ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｄ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｄ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｄ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｄ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｄ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（19）により、
（20）
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
であるとすると、
Ａ高校＝４人 で、
Ｂ高校＝１人 でるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（21）
例へば、
女子１人＝Ｅ（はＢ高校）
であるならば、
①Ｅ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｅ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｅ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｅ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｅ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｅ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｅ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｅ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｅ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｅ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｅ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｅ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（21）により、
（22）
例へば、
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
であるとすると、
Ｂ高校＝４人 で、
Ａ高校＝１人 であるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
従って、
（16）～（22）により、
（23）
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛５×（１５－３）＝６０通リ｝である。
（24）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるため、
①ＤＪ＋男子３人
②ＤＫ＋男子３人
③ＥＪ＋男子３人
④ＥＫ＋男子３人
⑤ＦＪ＋男子３人
⑥ＦＫ＋男子３人。
であれば、
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
といふ「条件」を、満たしてゐる。
然るに、
（01）（02）（24）により、
（25）
その場合は、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるため、例へば、
①ＤＪ＋男子３人（ＡＢＣ）。
②ＤＫ＋男子３人（ＧＨＩ）。
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（26）
｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＨＩ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
（27）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＢＣ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
従って、
（05）（26）（27）により、
（28）
「男子３人」は、
①Ａ＋ＧＨ
②Ａ＋ＧＩ
③Ａ＋ＨＩ
④Ｂ＋ＧＨ
⑤Ｂ＋ＧＩ
⑥Ｂ＋ＨＩ
⑦Ｃ＋ＧＨ
⑧Ｃ＋ＧＩ
⑨Ｃ＋ＨＩ
であるか、または、
①Ｇ＋ＡＢ
②Ｇ＋ＡＣ
③Ｇ＋ＢＣ
④Ｈ＋ＡＢ
⑤Ｈ＋ＡＣ
⑥Ｈ＋ＢＣ
⑦Ｉ＋ＡＢ
⑧Ｉ＋ＡＣ
⑨Ｉ＋ＢＣ
でなければ、ならない。
従って、
（24）（28）により、
（29）
①女子２人（ＤＪ）＋男子３人
②女子２人（ＤＫ）＋男子３人
③女子２人（ＥＪ）＋男子３人
④女子２人（ＥＫ）＋男子３人
⑤女子２人（ＦＪ）＋男子３人
⑥女子２人（ＦＫ）＋男子３人。
といふ「６通リ」の、「その各々」に対して、
①男子３人（Ａ＋ＧＨ）
②男子３人（Ａ＋ＧＩ）
③男子３人（Ａ＋ＨＩ）
④男子３人（Ｂ＋ＧＨ）
⑤男子３人（Ｂ＋ＧＩ）
⑥男子３人（Ｂ＋ＨＩ）
⑦男子３人（Ｃ＋ＧＨ）
⑧男子３人（Ｃ＋ＧＩ）
⑨男子３人（Ｃ＋ＨＩ）
であるか、または、
①男子３人（Ｇ＋ＡＢ）
②男子３人（Ｇ＋ＡＣ）
③男子３人（Ｇ＋ＢＣ）
④男子３人（Ｈ＋ＡＢ）
⑤男子３人（Ｈ＋ＡＣ）
⑥男子３人（Ｈ＋ＢＣ）
⑦男子３人（Ｉ＋ＡＢ）
⑧男子３人（Ｉ＋ＡＣ）
⑨男子３人（Ｉ＋ＢＣ）
でなければ、ならない。
従って、
（24）～（29）により、
（30）
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛６×（９＋９）＝１０８通リ｝である。
従って、
（01）～（30）により、
（31）
果たして、
「チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁、例題２８」
の「答へ」は、四つとも、すべて「正しい」。
令和０４年０５月２６日、毛利太。
「5Ｃ3×３！」＝「5Ｐ3」。
（01）
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
であるとする。
従って、
（02）により、
（03）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
に関しては、
ＡＢＣＤ ＡＢＤＣ ＡＣＢＤ ＡＣＤＢ ＡＤＢＣ ＡＤＣＢ
ＢＡＣＤ ＢＡＤＣ ＢＣＡＤ ＢＣＤＡ ＢＤＡＣ ＢＤＣＡ
ＣＡＢＤ ＣＡＤＢ ＣＢＡＤ ＣＢＤＡ ＣＤＡＢ ＣＤＢＡ
ＤＡＢＣ ＤＡＣＢ ＤＢＡＣ ＤＢＣＡ ＤＣＡＢ ＤＣＢＡ
による、「４！＝２４通リ」がある。
然るに、
（04）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入るものとする。
然るに、
（05）
①，②，③，④，⑤
の「位置」に関しては、
（ⅰ）①，②，③
（ⅱ）①，②，④
（ⅲ）①，②，⑤
（ⅳ）①，③，④
（ⅴ）①，③，⑤
（ⅵ）①，④，⑤
（ⅶ）②，③，④
（ⅷ）②，③，⑤
（ⅸ）②，④，⑤
（ⅹ）③，④，⑤
といふ、「5Ｃ3＝１０通リ」がある。
然るに、
（06）
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
に関しては、
ＤＥＦ ＤＦＥ ＥＤＦ ＥＦＤ ＦＤＥ ＦＥＤ
による、「３！＝６通リ」がある。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入る場合の、「場合の数」は、
5Ｃ3×３！＝１０×６＝６０通リ。
である。
従って、
（01）（03）（07）により、
（08）
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
４！×5Ｃ3×３！＝２４×１０×６
といふ「計算」による、
１４４０通リ。
が、［正解］である。
然るに、
（09）
① 5Ｃ3×３！
② 5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であるため、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
といふことであれば、
何らの疑問も無い。
従って、
（12）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であることを、示さないまま、いきなり、
といふ具合に、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
であると、言はれても、「何故そうなのか」といふ「理由」を、「説明したことにはならない」。
令和０４年０５月２６日、毛利太。
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
であるとする。
従って、
（02）により、
（03）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
に関しては、
ＡＢＣＤ ＡＢＤＣ ＡＣＢＤ ＡＣＤＢ ＡＤＢＣ ＡＤＣＢ
ＢＡＣＤ ＢＡＤＣ ＢＣＡＤ ＢＣＤＡ ＢＤＡＣ ＢＤＣＡ
ＣＡＢＤ ＣＡＤＢ ＣＢＡＤ ＣＢＤＡ ＣＤＡＢ ＣＤＢＡ
ＤＡＢＣ ＤＡＣＢ ＤＢＡＣ ＤＢＣＡ ＤＣＡＢ ＤＣＢＡ
による、「４！＝２４通リ」がある。
然るに、
（04）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入るものとする。
然るに、
（05）
①，②，③，④，⑤
の「位置」に関しては、
（ⅰ）①，②，③
（ⅱ）①，②，④
（ⅲ）①，②，⑤
（ⅳ）①，③，④
（ⅴ）①，③，⑤
（ⅵ）①，④，⑤
（ⅶ）②，③，④
（ⅷ）②，③，⑤
（ⅸ）②，④，⑤
（ⅹ）③，④，⑤
といふ、「5Ｃ3＝１０通リ」がある。
然るに、
（06）
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
に関しては、
ＤＥＦ ＤＦＥ ＥＤＦ ＥＦＤ ＦＤＥ ＦＥＤ
による、「３！＝６通リ」がある。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入る場合の、「場合の数」は、
5Ｃ3×３！＝１０×６＝６０通リ。
である。
従って、
（01）（03）（07）により、
（08）
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
４！×5Ｃ3×３！＝２４×１０×６
といふ「計算」による、
１４４０通リ。
が、［正解］である。
然るに、
（09）
① 5Ｃ3×３！
② 5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であるため、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
といふことであれば、
何らの疑問も無い。
従って、
（12）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であることを、示さないまま、いきなり、
といふ具合に、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
であると、言はれても、「何故そうなのか」といふ「理由」を、「説明したことにはならない」。
令和０４年０５月２６日、毛利太。
2022年5月25日水曜日
６本の中の２本が当たりのクジを３本引く。
―「先程の記事」を補足します。―
（01）
［問題１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
然るに、
（02）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の組合せ（6Ｃ3）｝と、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の 順列 （6Ｐ3）｝とは、次のやうになる。
― 6Ｃ3｛（６×５×４）÷３！＝２０｝―
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
―（6Ｐ3＝6Ｃ3×３！＝２０×６＝１２０）―
① ＡＢＣ ＡＣＢ ＢＡＣ ＢＣＡ ＣＡＢ ＣＢＡ
② ＡＢＤ ＡＤＢ ＢＡＤ ＢＤＡ ＤＡＢ ＤＢＡ
③ ＡＢＥ ＡＥＢ ＢＡＥ ＢＥＡ ＥＡＢ ＥＢＡ
④ ＡＢＦ ＡＦＢ ＢＡＦ ＢＦＡ ＦＡＢ ＦＢＡ
⑤ ＡＣＤ ＡＤＣ ＣＡＤ ＣＤＡ ＤＡＣ ＤＣＡ
⑥ ＡＣＥ ＡＥＣ ＣＡＥ ＣＥＡ ＥＡＣ ＥＣＡ
⑦ ＡＣＦ ＡＦＣ ＣＡＦ ＣＦＡ ＦＡＣ ＦＣＡ
⑧ ＡＤＥ ＡＥＤ ＤＡＥ ＤＥＡ ＥＡＤ ＥＤＡ
⑨ ＡＤＦ ＡＦＤ ＤＡＦ ＤＦＡ ＦＡＤ ＦＤＡ
⑩ ＡＥＦ ＡＦＥ ＥＡＦ ＥＦＡ ＦＡＥ ＦＥＡ
⑪ ＢＣＤ ＢＤＣ ＣＢＤ ＣＤＢ ＤＢＣ ＤＣＢ
⑫ ＢＣＥ ＢＥＣ ＣＢＥ ＣＥＢ ＥＢＣ ＥＣＢ
⑬ ＢＣＦ ＢＦＣ ＣＢＦ ＣＦＢ ＦＢＣ ＦＣＢ
⑭ ＢＤＥ ＢＥＤ ＤＢＥ ＤＥＢ ＥＢＤ ＥＤＢ
⑮ ＢＤＦ ＢＦＤ ＤＢＦ ＤＦＢ ＦＢＤ ＦＤＢ
⑯ ＢＥＦ ＢＦＥ ＥＢＦ ＥＦＢ ＦＢＥ ＦＥＢ
⑰ ＣＤＥ ＣＥＤ ＤＣＥ ＤＥＣ ＥＣＤ ＥＤＣ
⑱ ＣＤＦ ＣＦＤ ＤＣＦ ＤＦＣ ＦＣＤ ＦＤＣ
⑲ ＣＥＦ ＣＦＥ ＥＣＦ ＥＦＣ ＦＣＥ ＦＥＣ
⑳ ＤＥＦ ＤＦＥ ＥＤＦ ＥＦＤ ＦＤＥ ＦＥＤ
―（6Ｐ3＝４×５×６＝１２０）は「樹形図」の順。―
① ＡＢＣ ＡＣＢ ＡＤＢ ＡＥＢ ＡＦＢ
① ＡＢＤ ＡＣＤ ＡＤＣ ＡＥＣ ＡＦＣ
① ＡＢＥ ＡＣＥ ＡＤＣ ＡＥＤ ＡＦＤ
① ＡＢＦ ＡＣＦ ＡＤＦ ＡＥＦ ＡＦＦ
② ＢＡＣ ＢＣＡ ＢＤＡ ＢＥＡ ＢＦＡ
② ＢＡＤ ＢＣＤ ＢＤＣ ＢＥＣ ＢＦＣ
② ＢＡＥ ＢＣＥ ＢＤＣ ＢＥＤ ＢＦＤ
② ＢＡＦ ＢＣＦ ＢＤＦ ＢＥＦ ＢＦＦ
③ ＣＡＢ ＣＢＡ ＣＤＡ ＣＥＡ ＣＦＡ
③ ＣＡＤ ＣＢＤ ＣＤＢ ＣＥＢ ＣＦＢ
③ ＣＡＥ ＣＢＥ ＣＤＢ ＣＥＤ ＣＦＤ
③ ＣＡＦ ＣＢＦ ＣＤＦ ＣＥＦ ＣＦＦ
④ ＤＡＢ ＤＢＡ ＤＣＡ ＤＥＡ ＤＦＡ
④ ＤＡＣ ＤＢＣ ＤＣＢ ＤＥＢ ＤＦＢ
④ ＤＡＥ ＤＢＥ ＤＣＢ ＤＥＣ ＤＦＣ
④ ＤＡＦ ＤＢＦ ＤＣＦ ＤＥＦ ＤＦＦ
⑤ ＥＡＢ ＥＢＡ ＥＣＡ ＥＤＡ ＥＦＡ
⑤ ＥＡＣ ＥＢＣ ＥＣＢ ＥＤＢ ＥＦＢ
⑤ ＥＡＤ ＥＢＤ ＥＣＢ ＥＤＣ ＥＦＣ
⑤ ＥＡＦ ＥＢＦ ＥＣＦ ＥＤＦ ＥＦＦ
⑥ ＦＡＢ ＦＢＡ ＦＣＡ ＦＤＡ ＦＥＡ
⑥ ＦＡＣ ＦＢＣ ＦＣＢ ＦＤＢ ＦＥＢ
⑥ ＦＡＤ ＦＢＤ ＦＣＢ ＦＤＣ ＦＥＣ
⑥ ＦＡＥ ＦＢＥ ＦＣＥ ＦＤＥ ＦＥＥ
然るに、
（03）
当たり＝｛Ａ，Ｂ｝
ハズレ＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
とする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
［答へ１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」は、
6Ｃ3＝（６×５×４）÷３！＝１２０÷６＝２０
である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
３本引いて、
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
のやうに、
３本とも「ハズレ（Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）」である「場合の数」は、
4Ｃ3＝（４×３×２）÷３！＝２４÷６＝４
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
［答へ２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときに、
３本が、３本とも「ハズレ」であるわけではない「場合の数」、すなはち、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
３本の内の、２本、あるいは１本が「当たり」である「場合の数」は、
２０—４＝１６
である。
然るに、
（07）
2Ｃ2＝（２×１）÷２！＝２÷２＝１
4Ｃ1＝（４×１）÷１！＝４÷１＝４
従って、
（02）（03）（07）により、
（08）
［答へ３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
のやうに、
２本が「当たり（１本がハズレ）」である「場合の数」は、
１×４＝４
である。
然るに、
（09）
2Ｃ1＝（２×１）÷１！＝ ２÷１＝２
4Ｃ2＝（４×３）÷２！＝１２÷２＝６
従って、
（02）（03）（09）により、
（10）
［答へ４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
１本が「当たり（２本がハズレ）」である「場合の数」は、
２×６＝１２
である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
［問題１］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
に対しては、
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］ ４通リ。
［答へ４］１２通リ。
といふ［答へ］が「正しい」。
然るに、
（11）により、
（12）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝（４＋１２＝１６）通リ。
であるため、確かに、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（13）
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］ ４通リ。
［答へ４］１２通リ。
のそれぞれを、（３！＝６）倍すると、
［答へ１］１２０通リ。
［答へ２］ ９６通リ。
［答へ３］ ２４通リ。
［答へ４］ ７２通リ。
従って、
（12）（13）により、
（14）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝ （４＋１２＝１６）通リ。
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝３！×（４＋１２＝１６）通リ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、少なくとも１本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、２本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、１本が当たりである「確率」を求めよ。
といふ「確率の問題」自体は、『組合せ（Ｃ）』で考へても、『順列（Ｐ）』で考へても、「同じ」になる。
従って、
（15）により、
（16）
このやうな「確率の問題」の場合は、
順列と組み合わせで一番よくつまずくのが、問題を見た時に組み合わせなのか順列なのか、つまりＰで計算するのかＣで計算するのかが分からないという時です（家庭教師のあすなろ関西）。
といふことには、ならない。
（17）
Ｐで「計算」しても、
Ｃで「計算」しても、「同じ」であるものを、
Ｐで「計算」すべきか、
Ｃで「計算」すべきか、分からないことは、「当然」である。
令和０４年０５月２５日、毛利太。
（01）
［問題１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
然るに、
（02）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の組合せ（6Ｃ3）｝と、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の 順列 （6Ｐ3）｝とは、次のやうになる。
― 6Ｃ3｛（６×５×４）÷３！＝２０｝―
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
―（6Ｐ3＝6Ｃ3×３！＝２０×６＝１２０）―
① ＡＢＣ ＡＣＢ ＢＡＣ ＢＣＡ ＣＡＢ ＣＢＡ
② ＡＢＤ ＡＤＢ ＢＡＤ ＢＤＡ ＤＡＢ ＤＢＡ
③ ＡＢＥ ＡＥＢ ＢＡＥ ＢＥＡ ＥＡＢ ＥＢＡ
④ ＡＢＦ ＡＦＢ ＢＡＦ ＢＦＡ ＦＡＢ ＦＢＡ
⑤ ＡＣＤ ＡＤＣ ＣＡＤ ＣＤＡ ＤＡＣ ＤＣＡ
⑥ ＡＣＥ ＡＥＣ ＣＡＥ ＣＥＡ ＥＡＣ ＥＣＡ
⑦ ＡＣＦ ＡＦＣ ＣＡＦ ＣＦＡ ＦＡＣ ＦＣＡ
⑧ ＡＤＥ ＡＥＤ ＤＡＥ ＤＥＡ ＥＡＤ ＥＤＡ
⑨ ＡＤＦ ＡＦＤ ＤＡＦ ＤＦＡ ＦＡＤ ＦＤＡ
⑩ ＡＥＦ ＡＦＥ ＥＡＦ ＥＦＡ ＦＡＥ ＦＥＡ
⑪ ＢＣＤ ＢＤＣ ＣＢＤ ＣＤＢ ＤＢＣ ＤＣＢ
⑫ ＢＣＥ ＢＥＣ ＣＢＥ ＣＥＢ ＥＢＣ ＥＣＢ
⑬ ＢＣＦ ＢＦＣ ＣＢＦ ＣＦＢ ＦＢＣ ＦＣＢ
⑭ ＢＤＥ ＢＥＤ ＤＢＥ ＤＥＢ ＥＢＤ ＥＤＢ
⑮ ＢＤＦ ＢＦＤ ＤＢＦ ＤＦＢ ＦＢＤ ＦＤＢ
⑯ ＢＥＦ ＢＦＥ ＥＢＦ ＥＦＢ ＦＢＥ ＦＥＢ
⑰ ＣＤＥ ＣＥＤ ＤＣＥ ＤＥＣ ＥＣＤ ＥＤＣ
⑱ ＣＤＦ ＣＦＤ ＤＣＦ ＤＦＣ ＦＣＤ ＦＤＣ
⑲ ＣＥＦ ＣＦＥ ＥＣＦ ＥＦＣ ＦＣＥ ＦＥＣ
⑳ ＤＥＦ ＤＦＥ ＥＤＦ ＥＦＤ ＦＤＥ ＦＥＤ
―（6Ｐ3＝４×５×６＝１２０）は「樹形図」の順。―
① ＡＢＣ ＡＣＢ ＡＤＢ ＡＥＢ ＡＦＢ
① ＡＢＤ ＡＣＤ ＡＤＣ ＡＥＣ ＡＦＣ
① ＡＢＥ ＡＣＥ ＡＤＣ ＡＥＤ ＡＦＤ
① ＡＢＦ ＡＣＦ ＡＤＦ ＡＥＦ ＡＦＦ
② ＢＡＣ ＢＣＡ ＢＤＡ ＢＥＡ ＢＦＡ
② ＢＡＤ ＢＣＤ ＢＤＣ ＢＥＣ ＢＦＣ
② ＢＡＥ ＢＣＥ ＢＤＣ ＢＥＤ ＢＦＤ
② ＢＡＦ ＢＣＦ ＢＤＦ ＢＥＦ ＢＦＦ
③ ＣＡＢ ＣＢＡ ＣＤＡ ＣＥＡ ＣＦＡ
③ ＣＡＤ ＣＢＤ ＣＤＢ ＣＥＢ ＣＦＢ
③ ＣＡＥ ＣＢＥ ＣＤＢ ＣＥＤ ＣＦＤ
③ ＣＡＦ ＣＢＦ ＣＤＦ ＣＥＦ ＣＦＦ
④ ＤＡＢ ＤＢＡ ＤＣＡ ＤＥＡ ＤＦＡ
④ ＤＡＣ ＤＢＣ ＤＣＢ ＤＥＢ ＤＦＢ
④ ＤＡＥ ＤＢＥ ＤＣＢ ＤＥＣ ＤＦＣ
④ ＤＡＦ ＤＢＦ ＤＣＦ ＤＥＦ ＤＦＦ
⑤ ＥＡＢ ＥＢＡ ＥＣＡ ＥＤＡ ＥＦＡ
⑤ ＥＡＣ ＥＢＣ ＥＣＢ ＥＤＢ ＥＦＢ
⑤ ＥＡＤ ＥＢＤ ＥＣＢ ＥＤＣ ＥＦＣ
⑤ ＥＡＦ ＥＢＦ ＥＣＦ ＥＤＦ ＥＦＦ
⑥ ＦＡＢ ＦＢＡ ＦＣＡ ＦＤＡ ＦＥＡ
⑥ ＦＡＣ ＦＢＣ ＦＣＢ ＦＤＢ ＦＥＢ
⑥ ＦＡＤ ＦＢＤ ＦＣＢ ＦＤＣ ＦＥＣ
⑥ ＦＡＥ ＦＢＥ ＦＣＥ ＦＤＥ ＦＥＥ
然るに、
（03）
当たり＝｛Ａ，Ｂ｝
ハズレ＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
とする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
［答へ１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」は、
6Ｃ3＝（６×５×４）÷３！＝１２０÷６＝２０
である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
３本引いて、
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
のやうに、
３本とも「ハズレ（Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）」である「場合の数」は、
4Ｃ3＝（４×３×２）÷３！＝２４÷６＝４
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
［答へ２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときに、
３本が、３本とも「ハズレ」であるわけではない「場合の数」、すなはち、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
３本の内の、２本、あるいは１本が「当たり」である「場合の数」は、
２０—４＝１６
である。
然るに、
（07）
2Ｃ2＝（２×１）÷２！＝２÷２＝１
4Ｃ1＝（４×１）÷１！＝４÷１＝４
従って、
（02）（03）（07）により、
（08）
［答へ３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
のやうに、
２本が「当たり（１本がハズレ）」である「場合の数」は、
１×４＝４
である。
然るに、
（09）
2Ｃ1＝（２×１）÷１！＝ ２÷１＝２
4Ｃ2＝（４×３）÷２！＝１２÷２＝６
従って、
（02）（03）（09）により、
（10）
［答へ４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
１本が「当たり（２本がハズレ）」である「場合の数」は、
２×６＝１２
である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
［問題１］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
に対しては、
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］ ４通リ。
［答へ４］１２通リ。
といふ［答へ］が「正しい」。
然るに、
（11）により、
（12）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝（４＋１２＝１６）通リ。
であるため、確かに、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（13）
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］ ４通リ。
［答へ４］１２通リ。
のそれぞれを、（３！＝６）倍すると、
［答へ１］１２０通リ。
［答へ２］ ９６通リ。
［答へ３］ ２４通リ。
［答へ４］ ７２通リ。
従って、
（12）（13）により、
（14）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝ （４＋１２＝１６）通リ。
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝３！×（４＋１２＝１６）通リ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、少なくとも１本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、２本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、１本が当たりである「確率」を求めよ。
といふ「確率の問題」自体は、『組合せ（Ｃ）』で考へても、『順列（Ｐ）』で考へても、「同じ」になる。
従って、
（15）により、
（16）
このやうな「確率の問題」の場合は、
順列と組み合わせで一番よくつまずくのが、問題を見た時に組み合わせなのか順列なのか、つまりＰで計算するのかＣで計算するのかが分からないという時です（家庭教師のあすなろ関西）。
といふことには、ならない。
（17）
Ｐで「計算」しても、
Ｃで「計算」しても、「同じ」であるものを、
Ｐで「計算」すべきか、
Ｃで「計算」すべきか、分からないことは、「当然」である。
令和０４年０５月２５日、毛利太。
2022年5月24日火曜日
「同一律」と「ド・モルガンの法則」と「排中律」と「対偶」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ８イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア
従って、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は「同一律」であって、
② は「矛盾律」であって、
③ は「排中律」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ＰならばＰである。
といふ「同一律」が、「恒真式（トートロジー）」であって、
その上、「ド・モルガンの法則」が「成り立つ」が故に、
③ Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 Ｐ に対し"Ｐ ∨ ～Ｐ"（Ｐ であるか、または Ｐ でない）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）[1][2]（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「直観論理」の場合は、
① ＰならばＰである（同一律）。
③ Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことになる。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＤＮ
１２ （７） Ｑ ９ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｑ→～Ｐ（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② は、「対偶」である。
従って、
（10）
① Ｐ→ Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｑ→～Ｐ（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
② ～Ｐ→～Ｐ（Ｐでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② は、「対偶」である。
従って、
（05）（10）により、
（11）
① Ｐ→ Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
といふ「同一律」が「真」であるといふことは、
② ～Ｐ→～Ｐ（Ｐでないならば、Ｐでない）。
といふ「 命題 」といふ「命題」も「真」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（12）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
③ Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
に於いて、
① が「真」であって、
② も「真」であるならば、
③ も「真」であると、言はざるを得ない。
従って、
（13）
（07）（12）により、
（13）
「直観論理」が、「正しい」とするならば、
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
は、「真」ではなく、「偽」である。
然るに、
（14）
「直観論理」であっても、
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
は、「真」であると、認めてゐると、思はれる。
（15）
③ Ｐでないか、または、Ｐである（同一律）。
に於いて、
Ｐ＝直観論理は正しい。
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふ「命題」になる。
然るに、
（16）
「直観論理」からすれば、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふ「命題」は、「偽」であるに、違ひない。
然るに、
（17）
ブラウワーは「ＡであるかＡでないかが分からない場合もある」を説明する例として、「円周率の無限小数の中に0が100個続く部分があるかどうか分からない」というものをあげていた。
あるとき、ブラウワーがこの話をしたとき、「しかし神なら１００個続く部分があるかどうか分かるのでは？」という質問を受けたが、 ブラウワーはそれに対し「残念ながら我々は神と交信する方法を知りません」と答えた（ウィキペディア）。
従って、
（16）（17）により、
（18）
「排中律」を認めない、ブラウワーが、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふことを論じてゐたとするならば、そのことは、『矛盾』であると、言はざるを得ない（？）。
令和０４年０５月２４日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ８イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア
従って、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は「同一律」であって、
② は「矛盾律」であって、
③ は「排中律」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ＰならばＰである。
といふ「同一律」が、「恒真式（トートロジー）」であって、
その上、「ド・モルガンの法則」が「成り立つ」が故に、
③ Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 Ｐ に対し"Ｐ ∨ ～Ｐ"（Ｐ であるか、または Ｐ でない）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）[1][2]（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「直観論理」の場合は、
① ＰならばＰである（同一律）。
③ Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことになる。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＤＮ
１２ （７） Ｑ ９ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｑ→～Ｐ（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② は、「対偶」である。
従って、
（10）
① Ｐ→ Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｑ→～Ｐ（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
② ～Ｐ→～Ｐ（Ｐでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② は、「対偶」である。
従って、
（05）（10）により、
（11）
① Ｐ→ Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
といふ「同一律」が「真」であるといふことは、
② ～Ｐ→～Ｐ（Ｐでないならば、Ｐでない）。
といふ「 命題 」といふ「命題」も「真」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（12）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
③ Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
に於いて、
① が「真」であって、
② も「真」であるならば、
③ も「真」であると、言はざるを得ない。
従って、
（13）
（07）（12）により、
（13）
「直観論理」が、「正しい」とするならば、
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
は、「真」ではなく、「偽」である。
然るに、
（14）
「直観論理」であっても、
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないならば、Ｐでない（同一律の対偶）。
は、「真」であると、認めてゐると、思はれる。
（15）
③ Ｐでないか、または、Ｐである（同一律）。
に於いて、
Ｐ＝直観論理は正しい。
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふ「命題」になる。
然るに、
（16）
「直観論理」からすれば、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふ「命題」は、「偽」であるに、違ひない。
然るに、
（17）
ブラウワーは「ＡであるかＡでないかが分からない場合もある」を説明する例として、「円周率の無限小数の中に0が100個続く部分があるかどうか分からない」というものをあげていた。
あるとき、ブラウワーがこの話をしたとき、「しかし神なら１００個続く部分があるかどうか分かるのでは？」という質問を受けたが、 ブラウワーはそれに対し「残念ながら我々は神と交信する方法を知りません」と答えた（ウィキペディア）。
従って、
（16）（17）により、
（18）
「排中律」を認めない、ブラウワーが、
③ 直観論理は正しくないか、または、直観論理は正しい。
といふことを論じてゐたとするならば、そのことは、『矛盾』であると、言はざるを得ない（？）。
令和０４年０５月２４日、毛利太。
2022年5月23日月曜日
「恒真式」としての「パースの法則」。
（01）
―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひる場合。―
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
２ （３）～（Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
２ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
２ （６） Ｐ ２＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １２５７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（02）
―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひない場合。―
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ Ａ
２ （３） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
５ （５） ～Ｑ Ａ
４５ （６） Ｐ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
２４５ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ３６＆Ｉ
２４ （８） ～～Ｑ ５７ＲＡＡ
２４ （９） Ｑ ８ＤＮ
２ （ア） Ｐ→ Ｑ ４９ＣＰ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
２ （ウ） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （エ） Ｐ＆～Ｐ イウ＆Ｉ
１ （オ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ） ２エＲＡＡ
カ （カ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） Ａ
キ （キ） （Ｐ＆～Ｑ Ａ
キ （ク） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ キ∨Ｉ
カキ （ケ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）＆
（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ） キケＲＡＡ
サ （サ） Ｐ Ａ
サ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ サ∨Ｉ
カ サ （ス） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）＆
（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カシ＆Ｉ
カ （セ） ～Ｐ サスＲＡＡ
カ （ソ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ コセ＆Ｉ
１ カ （タ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）＆
（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ） オソ＆Ｉ
１ （チ）～～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カタＲＡＡ
１ （ツ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ チＤＮ
テ （テ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
テ （ト） Ｐ ト＆Ｉ
ナ（ナ） Ｐ Ａ
１ （ニ） Ｐ ツテトナナ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
２ （３）～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） ３含意の定義
２ （５） Ｐ＆ Ｑ ４ド・モルガンの法則
２ （６） Ｐ ２＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １２５７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」も「妥当」である。
然るに、
（06）
１ （１） （Ｐ→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｐ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｐ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｐ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７
（９）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
③├（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①├（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は、３つとも「妥当」である。
然るに、
（08）により、
（09）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「仮定の数が０である連式の結論」である。
② は「仮定の数が０である連式の結論」である。
③ は「仮定の数が０である連式の結論」である。
然るに、
（10）
「恒真式（トートロジー）」とは、
「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真」である。
然るに、
（12）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふことは、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことに、他ならならない。
従って、
（09）～（11）により、
（12）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
とふ「４つ」は、「セット」として「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふ「４つのセット」として「恒真式（トートロジー）」である。
といふことを、忘れてはならない。
従って、
（14）により、
（15）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（Ｑｉｉｔａ）。
とはいふものの、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことは、少しも「変」ではなく、それ故、「パースの法則」は、「変」ではない。
（16）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ）
１７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
は、３つとも「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（10）（16）（17）により、
（18）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
（19）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝③ は、「含意の定義」であって、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（20）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いては、
①＝②＝③ である。
令和０４年０５月２３日、毛利太。
―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひる場合。―
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
２ （３）～（Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
２ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
２ （６） Ｐ ２＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １２５７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（02）
―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ひない場合。―
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ Ａ
２ （３） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
５ （５） ～Ｑ Ａ
４５ （６） Ｐ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
２４５ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ３６＆Ｉ
２４ （８） ～～Ｑ ５７ＲＡＡ
２４ （９） Ｑ ８ＤＮ
２ （ア） Ｐ→ Ｑ ４９ＣＰ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
２ （ウ） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （エ） Ｐ＆～Ｐ イウ＆Ｉ
１ （オ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ） ２エＲＡＡ
カ （カ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） Ａ
キ （キ） （Ｐ＆～Ｑ Ａ
キ （ク） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ キ∨Ｉ
カキ （ケ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）＆
（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ） キケＲＡＡ
サ （サ） Ｐ Ａ
サ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ サ∨Ｉ
カ サ （ス） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）＆
（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カシ＆Ｉ
カ （セ） ～Ｐ サスＲＡＡ
カ （ソ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ コセ＆Ｉ
１ カ （タ）～（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）＆
（～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ） オソ＆Ｉ
１ （チ）～～（（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ） カタＲＡＡ
１ （ツ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ チＤＮ
テ （テ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
テ （ト） Ｐ ト＆Ｉ
ナ（ナ） Ｐ Ａ
１ （ニ） Ｐ ツテトナナ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
２ （３）～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） ３含意の定義
２ （５） Ｐ＆ Ｑ ４ド・モルガンの法則
２ （６） Ｐ ２＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １２５７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」も「妥当」である。
然るに、
（06）
１ （１） （Ｐ→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｐ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｐ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｐ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７
（９）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
③├（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①├（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「連式」は、３つとも「妥当」である。
然るに、
（08）により、
（09）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「仮定の数が０である連式の結論」である。
② は「仮定の数が０である連式の結論」である。
③ は「仮定の数が０である連式の結論」である。
然るに、
（10）
「恒真式（トートロジー）」とは、
「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真」である。
然るに、
（12）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③（（ＰならばＰである）ならばＰ）ならばＰである。
といふことは、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことに、他ならならない。
従って、
（09）～（11）により、
（12）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
とふ「４つ」は、「セット」として「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふ「４つのセット」として「恒真式（トートロジー）」である。
といふことを、忘れてはならない。
従って、
（14）により、
（15）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（Ｑｉｉｔａ）。
とはいふものの、
④（（ＰならばＱであらうとＱでなからうと）Ｐ）ならばＰである。
といふことは、少しも「変」ではなく、それ故、「パースの法則」は、「変」ではない。
（16）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ）
１７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
は、３つとも「仮定の数が０である連式の結論」である。
従って、
（10）（16）（17）により、
（18）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
（19）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝③ は、「含意の定義」であって、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（20）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであって、Ｐでない。といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いては、
①＝②＝③ である。
令和０４年０５月２３日、毛利太。
2022年5月22日日曜日
「同じもの」を含む「順列」（Ⅱ）。
―「今日（令和０４年０５月２２日）の記事」の続きを書きます。―
然るに、
（09）
｛1，２，３，４，５｝
からは、
①１２３
②１２４
③１２５
④１３４
⑤１３５
⑥１４５
⑦２３４
⑧２３５
⑨２４５
⑩３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）により、
①１２３ＤＥ
②１２Ｄ４Ｅ
③１２ＤＥ５
④１Ｄ３４Ｅ
⑤１Ｄ３Ｅ５
⑥１ＤＥ４５
⑦Ｄ２３４Ｅ
⑧Ｄ２３Ｅ５
⑨Ｄ２Ｅ４５
⑩ＤＥ３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（10）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
からは、
①ＡＢＣ
②ＡＣＢ
③ＢＡＣ
④ＢＣＡ
⑤ＣＡＢ
⑥ＣＢＡ
といふ「６通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＢＤＣＥ
③ＡＢＤＥＣ
④ＡＤＢＣＥ
⑤ＡＤＢＥＣ
⑥ＡＤＥＢＣ
⑦ＤＡＢＣＥ
⑧ＤＡＢＥＣ
⑨ＤＡＥＢＣ
⑩ＤＥＡＢＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＣＢＤＥ
②ＡＣＤＢＥ
③ＡＣＤＥＢ
④ＡＤＣＢＥ
⑤ＡＤＣＥＢ
⑥ＡＤＥＣＢ
⑦ＤＡＣＢＥ
⑧ＤＡＣＥＢ
⑨ＤＡＥＣＢ
⑩ＤＥＡＣＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＡＣＤＥ
②ＢＡＤＣＥ
③ＢＡＤＥＣ
④ＢＤＡＣＥ
⑤ＢＤＡＥＣ
⑥ＢＤＥＡＣ
⑦ＤＢＡＣＥ
⑧ＤＢＡＥＣ
⑨ＤＢＥＡＣ
⑩ＤＥＢＡＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＣＡＤＥ
②ＢＣＤＡＥ
③ＢＣＤＥＡ
④ＢＤＣＡＥ
⑤ＢＤＣＥＡ
⑥ＢＤＥＣＡ
⑦ＤＢＣＡＥ
⑧ＤＢＣＥＡ
⑨ＤＢＥＣＡ
⑩ＤＥＢＣＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＡＢＤＥ
②ＣＡＤＢＥ
③ＣＡＤＥＢ
④ＣＤＡＢＥ
⑤ＣＤＡＥＢ
⑥ＣＤＥＡＢ
⑦ＤＣＡＢＥ
⑧ＤＣＡＥＢ
⑨ＤＣＥＡＢ
⑩ＤＥＣＡＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＢＡＤＥ
②ＣＢＤＡＥ
③ＣＢＤＥＡ
④ＣＤＢＡＥ
⑤ＣＤＢＥＡ
⑥ＣＤＥＢＡ
⑦ＤＣＢＡＥ
⑧ＤＣＢＥＡ
⑨ＤＣＥＢＡ
⑩ＤＥＣＢＡ
といふ「１０通リ」による、「計６０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（12）
｛Ｄ，Ｅ｝
からは、
①ＤＥ
②ＥＤ
といふ「２通リ」を得ることが出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、
①ＤＥ
の「順」による、
①ＡＢＣＤＥ ①ＡＣＢＤＥ ①ＢＡＣＤＥ ①ＢＣＡＤＥ ①ＣＡＢＤＥ ①ＣＢＡＤＥ
②ＡＢＤＣＥ ②ＡＣＤＢＥ ②ＢＡＤＣＥ ②ＢＣＤＡＥ ②ＣＡＤＢＥ ②ＣＢＤＡＥ
③ＡＢＤＥＣ ③ＡＣＤＥＢ ③ＢＡＤＥＣ ③ＢＣＤＥＡ ③ＣＡＤＥＢ ③ＣＢＤＥＡ
④ＡＤＢＣＥ ④ＡＤＣＢＥ ④ＢＤＡＣＥ ④ＢＤＣＡＥ ④ＣＤＡＢＥ ④ＣＤＢＡＥ
⑤ＡＤＢＥＣ ⑤ＡＤＣＥＢ ⑤ＢＤＡＥＣ ⑤ＢＤＣＥＡ ⑤ＣＤＡＥＢ ⑤ＣＤＢＥＡ
⑥ＡＤＥＢＣ ⑥ＡＤＥＣＢ ⑥ＢＤＥＡＣ ⑥ＢＤＥＣＡ ⑥ＣＤＥＡＢ ⑥ＣＤＥＢＡ
⑦ＤＡＢＣＥ ⑦ＤＡＣＢＥ ⑦ＤＢＡＣＥ ⑦ＤＢＣＡＥ ⑦ＤＣＡＢＥ ⑦ＤＣＢＡＥ
⑧ＤＡＢＥＣ ⑧ＤＡＣＥＢ ⑧ＤＢＡＥＣ ⑧ＤＢＣＥＡ ⑧ＤＣＡＥＢ ⑧ＤＣＢＥＡ
⑨ＤＡＥＢＣ ⑨ＤＡＥＣＢ ⑨ＤＢＥＡＣ ⑨ＤＢＥＣＡ ⑨ＤＣＥＡＢ ⑨ＤＣＥＢＡ
⑩ＤＥＡＢＣ ⑩ＤＥＡＣＢ ⑩ＤＥＢＡＣ ⑩ＤＥＢＣＡ ⑩ＤＥＣＡＢ ⑩ＤＥＣＢＡ
といふ「６０通リ」と、
②ＥＤ
の「順」による、
①ＡＢＣＥＤ ①ＡＣＢＥＤ ①ＢＡＣＥＤ ①ＢＣＡＥＤ ①ＣＡＢＥＤ ①ＣＢＡＥＤ
②ＡＢＥＣＤ ②ＡＣＥＢＤ ②ＢＡＥＣＤ ②ＢＣＥＡＤ ②ＣＡＥＢＤ ②ＣＢＥＡＤ
③ＡＢＥＤＣ ③ＡＣＥＤＢ ③ＢＡＥＤＣ ③ＢＣＥＤＡ ③ＣＡＥＤＢ ③ＣＢＥＤＡ
④ＡＥＢＣＤ ④ＡＥＣＢＤ ④ＢＥＡＣＤ ④ＢＥＣＡＤ ④ＣＥＡＢＤ ④ＣＥＢＡＤ
⑤ＡＥＢＤＣ ⑤ＡＥＣＤＢ ⑤ＢＥＡＤＣ ⑤ＢＥＣＤＡ ⑤ＣＥＡＤＢ ⑤ＣＥＢＤＡ
⑥ＡＥＤＢＣ ⑥ＡＥＤＣＢ ⑥ＢＥＤＡＣ ⑥ＢＥＤＣＡ ⑥ＣＥＤＡＢ ⑥ＣＥＤＢＡ
⑦ＥＡＢＣＤ ⑦ＥＡＣＢＤ ⑦ＥＢＡＣＤ ⑦ＥＢＣＡＤ ⑦ＥＣＡＢＤ ⑦ＥＣＢＡＤ
⑧ＥＡＢＤＣ ⑧ＥＡＣＤＢ ⑧ＥＢＡＤＣ ⑧ＥＢＣＤＡ ⑧ＥＣＡＤＢ ⑧ＥＣＢＤＡ
⑨ＥＡＤＢＣ ⑨ＥＡＤＣＢ ⑨ＥＢＤＡＣ ⑨ＥＢＤＣＡ ⑨ＥＣＤＡＢ ⑨ＥＣＤＢＡ
⑩ＥＤＡＢＣ ⑩ＥＤＡＣＢ ⑩ＥＤＢＡＣ ⑩ＥＤＢＣＡ ⑩ＥＤＣＡＢ ⑩ＥＤＣＢＡ
といふ「６０×２＝１２０通リ」がある。
然るに、
（11）（13）により、
（14）
Ａ＝Ｂ＝Ｃ
とするならば、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」に於いて、「区別」が付かない。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」が「１２０通り」であるのに対して、
｛Ａ，Ａ，Ａ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、その「１/３！」の、「２０通リ」である。
（16）
「ユーチューブ」の『映像授業』で、「場合の数・確率」を学んだものの、惜しむらくは、
『映像授業』は、概ね、「解法」だけを示して、「何故、そうなるのか」を説明しようとせず、
そのため、「何故、そうなのか」といふ点については、「自分自身」で考へる「必要」があった。
然るに、
（17）
もちろん、「何故、そうなのか」といふことは、考へずとも、「解法」を覚えれば、「どんな問題」も解けるため、「数学は暗記科目」であるといふ「言ひ方」は、明らかに、「正しい」。
令和０４年０５月２２日、毛利太。
然るに、
（09）
｛1，２，３，４，５｝
からは、
①１２３
②１２４
③１２５
④１３４
⑤１３５
⑥１４５
⑦２３４
⑧２３５
⑨２４５
⑩３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）により、
①１２３ＤＥ
②１２Ｄ４Ｅ
③１２ＤＥ５
④１Ｄ３４Ｅ
⑤１Ｄ３Ｅ５
⑥１ＤＥ４５
⑦Ｄ２３４Ｅ
⑧Ｄ２３Ｅ５
⑨Ｄ２Ｅ４５
⑩ＤＥ３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（10）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
からは、
①ＡＢＣ
②ＡＣＢ
③ＢＡＣ
④ＢＣＡ
⑤ＣＡＢ
⑥ＣＢＡ
といふ「６通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＢＤＣＥ
③ＡＢＤＥＣ
④ＡＤＢＣＥ
⑤ＡＤＢＥＣ
⑥ＡＤＥＢＣ
⑦ＤＡＢＣＥ
⑧ＤＡＢＥＣ
⑨ＤＡＥＢＣ
⑩ＤＥＡＢＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＣＢＤＥ
②ＡＣＤＢＥ
③ＡＣＤＥＢ
④ＡＤＣＢＥ
⑤ＡＤＣＥＢ
⑥ＡＤＥＣＢ
⑦ＤＡＣＢＥ
⑧ＤＡＣＥＢ
⑨ＤＡＥＣＢ
⑩ＤＥＡＣＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＡＣＤＥ
②ＢＡＤＣＥ
③ＢＡＤＥＣ
④ＢＤＡＣＥ
⑤ＢＤＡＥＣ
⑥ＢＤＥＡＣ
⑦ＤＢＡＣＥ
⑧ＤＢＡＥＣ
⑨ＤＢＥＡＣ
⑩ＤＥＢＡＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＣＡＤＥ
②ＢＣＤＡＥ
③ＢＣＤＥＡ
④ＢＤＣＡＥ
⑤ＢＤＣＥＡ
⑥ＢＤＥＣＡ
⑦ＤＢＣＡＥ
⑧ＤＢＣＥＡ
⑨ＤＢＥＣＡ
⑩ＤＥＢＣＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＡＢＤＥ
②ＣＡＤＢＥ
③ＣＡＤＥＢ
④ＣＤＡＢＥ
⑤ＣＤＡＥＢ
⑥ＣＤＥＡＢ
⑦ＤＣＡＢＥ
⑧ＤＣＡＥＢ
⑨ＤＣＥＡＢ
⑩ＤＥＣＡＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＢＡＤＥ
②ＣＢＤＡＥ
③ＣＢＤＥＡ
④ＣＤＢＡＥ
⑤ＣＤＢＥＡ
⑥ＣＤＥＢＡ
⑦ＤＣＢＡＥ
⑧ＤＣＢＥＡ
⑨ＤＣＥＢＡ
⑩ＤＥＣＢＡ
といふ「１０通リ」による、「計６０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（12）
｛Ｄ，Ｅ｝
からは、
①ＤＥ
②ＥＤ
といふ「２通リ」を得ることが出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、
①ＤＥ
の「順」による、
①ＡＢＣＤＥ ①ＡＣＢＤＥ ①ＢＡＣＤＥ ①ＢＣＡＤＥ ①ＣＡＢＤＥ ①ＣＢＡＤＥ
②ＡＢＤＣＥ ②ＡＣＤＢＥ ②ＢＡＤＣＥ ②ＢＣＤＡＥ ②ＣＡＤＢＥ ②ＣＢＤＡＥ
③ＡＢＤＥＣ ③ＡＣＤＥＢ ③ＢＡＤＥＣ ③ＢＣＤＥＡ ③ＣＡＤＥＢ ③ＣＢＤＥＡ
④ＡＤＢＣＥ ④ＡＤＣＢＥ ④ＢＤＡＣＥ ④ＢＤＣＡＥ ④ＣＤＡＢＥ ④ＣＤＢＡＥ
⑤ＡＤＢＥＣ ⑤ＡＤＣＥＢ ⑤ＢＤＡＥＣ ⑤ＢＤＣＥＡ ⑤ＣＤＡＥＢ ⑤ＣＤＢＥＡ
⑥ＡＤＥＢＣ ⑥ＡＤＥＣＢ ⑥ＢＤＥＡＣ ⑥ＢＤＥＣＡ ⑥ＣＤＥＡＢ ⑥ＣＤＥＢＡ
⑦ＤＡＢＣＥ ⑦ＤＡＣＢＥ ⑦ＤＢＡＣＥ ⑦ＤＢＣＡＥ ⑦ＤＣＡＢＥ ⑦ＤＣＢＡＥ
⑧ＤＡＢＥＣ ⑧ＤＡＣＥＢ ⑧ＤＢＡＥＣ ⑧ＤＢＣＥＡ ⑧ＤＣＡＥＢ ⑧ＤＣＢＥＡ
⑨ＤＡＥＢＣ ⑨ＤＡＥＣＢ ⑨ＤＢＥＡＣ ⑨ＤＢＥＣＡ ⑨ＤＣＥＡＢ ⑨ＤＣＥＢＡ
⑩ＤＥＡＢＣ ⑩ＤＥＡＣＢ ⑩ＤＥＢＡＣ ⑩ＤＥＢＣＡ ⑩ＤＥＣＡＢ ⑩ＤＥＣＢＡ
といふ「６０通リ」と、
②ＥＤ
の「順」による、
①ＡＢＣＥＤ ①ＡＣＢＥＤ ①ＢＡＣＥＤ ①ＢＣＡＥＤ ①ＣＡＢＥＤ ①ＣＢＡＥＤ
②ＡＢＥＣＤ ②ＡＣＥＢＤ ②ＢＡＥＣＤ ②ＢＣＥＡＤ ②ＣＡＥＢＤ ②ＣＢＥＡＤ
③ＡＢＥＤＣ ③ＡＣＥＤＢ ③ＢＡＥＤＣ ③ＢＣＥＤＡ ③ＣＡＥＤＢ ③ＣＢＥＤＡ
④ＡＥＢＣＤ ④ＡＥＣＢＤ ④ＢＥＡＣＤ ④ＢＥＣＡＤ ④ＣＥＡＢＤ ④ＣＥＢＡＤ
⑤ＡＥＢＤＣ ⑤ＡＥＣＤＢ ⑤ＢＥＡＤＣ ⑤ＢＥＣＤＡ ⑤ＣＥＡＤＢ ⑤ＣＥＢＤＡ
⑥ＡＥＤＢＣ ⑥ＡＥＤＣＢ ⑥ＢＥＤＡＣ ⑥ＢＥＤＣＡ ⑥ＣＥＤＡＢ ⑥ＣＥＤＢＡ
⑦ＥＡＢＣＤ ⑦ＥＡＣＢＤ ⑦ＥＢＡＣＤ ⑦ＥＢＣＡＤ ⑦ＥＣＡＢＤ ⑦ＥＣＢＡＤ
⑧ＥＡＢＤＣ ⑧ＥＡＣＤＢ ⑧ＥＢＡＤＣ ⑧ＥＢＣＤＡ ⑧ＥＣＡＤＢ ⑧ＥＣＢＤＡ
⑨ＥＡＤＢＣ ⑨ＥＡＤＣＢ ⑨ＥＢＤＡＣ ⑨ＥＢＤＣＡ ⑨ＥＣＤＡＢ ⑨ＥＣＤＢＡ
⑩ＥＤＡＢＣ ⑩ＥＤＡＣＢ ⑩ＥＤＢＡＣ ⑩ＥＤＢＣＡ ⑩ＥＤＣＡＢ ⑩ＥＤＣＢＡ
といふ「６０×２＝１２０通リ」がある。
然るに、
（11）（13）により、
（14）
Ａ＝Ｂ＝Ｃ
とするならば、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」に於いて、「区別」が付かない。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」が「１２０通り」であるのに対して、
｛Ａ，Ａ，Ａ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、その「１/３！」の、「２０通リ」である。
（16）
「ユーチューブ」の『映像授業』で、「場合の数・確率」を学んだものの、惜しむらくは、
『映像授業』は、概ね、「解法」だけを示して、「何故、そうなるのか」を説明しようとせず、
そのため、「何故、そうなのか」といふ点については、「自分自身」で考へる「必要」があった。
然るに、
（17）
もちろん、「何故、そうなのか」といふことは、考へずとも、「解法」を覚えれば、「どんな問題」も解けるため、「数学は暗記科目」であるといふ「言ひ方」は、明らかに、「正しい」。
令和０４年０５月２２日、毛利太。
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