「象は鼻が、鼻も、鼻は、長い。」の「述語論理」。

（01）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　１ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　２　６　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　６　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
１　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　カＵＥ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
　　　　オ　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６オ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　ケコＭＰＰ
１２　６オ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　キサコＭＰＰ
　　　　オ　（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６オ　（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ウオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）兎は象ではない。
然るに、
（02）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ｄ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
といふ「述語論理」は、それぞれ、
（ａ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ｄ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く。すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
（ａ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ｄ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
といふことは、すなはち、
（ａ）象は鼻以外は長くない。
（ｄ）兎の耳は長いものの、兎の耳は鼻ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（１）象は鼻以外は長くない。　　　　　　　　　然るに、
（２）兎の耳は長いものの、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は鼻以外（耳）も長い。　　　　　　　　従って、
（４）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ｃ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理」は、
（ｃ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ｃ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふのあれば、
（ｃ）象は、鼻以外も、長い。　　のか、
（ｃ）象は、鼻以外は、長くない。のかが、分からない。
然るに、
（07）
（ｃ）象は鼻は長い。
といふのあれば、
（ｃ）象は、鼻以外も、長い。　　のか、
（ｃ）象は、鼻以外は、長くない。のかが、分からない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
（ｃ）象は鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（ｃ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝
（ｃ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふ「述語論理」に相当する。
然るに、
（09）
（ａ）象は鼻が長い。
といふのあれば、
（ａ）象は鼻以外は長くない。
従って、
（02）（03）（09）により、
（10）
（ａ）象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
（ａ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
といふ「述語論理」に相当する。
然るに、
（11）
（ａ）
１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→　～長ｚ）｝　Ａ
１　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→　～長ｚ）　　１ＵＥ
１　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→　～長ｚ）　　２＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→　～長ｚ）　　４量化子の関係
　６（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→　～長ｃ）　　Ａ
　６（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨　～長ｃ）　　含意の定義
　６（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨　～長ｃ）　　７ＤＮ
　６（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｃａ＆～～長ｃ）　　８ド・モルガンの法則
　６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｃａ＆　　長ｃ）　　９ＤＮ
　６（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　アＥＩ
１　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　５６イＥＥ
１　（エ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　３エ＆Ｉ
１　（オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　　長ｚ）｝　エＵＩ
（ｂ）
１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　　長ｚ）｝　Ａ
１　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　１ＵＥ
１　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　２＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　～～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　４ＤＮ
１　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｘ～（～鼻ｚａ＆　　長ｚ）　　５量化子の関係
１　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（～鼻ｃａ＆　　長ｃ）　　６ＵＥ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨　　長ｃ）　　７ド・モルガンの法則
１　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→　　長ｃ）　　８含意の定義
１　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→　　長ｚ）　　９ＥＩ
１　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→　　長ｚ）　　ア量化子の関係　
１　（ウ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→　　長ｚ）　　３イ＆Ｉ
１　（エ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→　～長ｚ）｝　ウＵＩ
従って、
（11）により、
（12）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
（ａ）ならば、（ｂ）であり、
（ｂ）ならば、（ａ）である。
従って、
（12）により、
（13）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（14）
「＆」と「∨」は、「→」よりも「より強く結合する」。
（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、５９頁）
従って、
（13）（14）により、
（15）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）］｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（15）により、
（16）
（ａ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば［あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない］。｝
（ｂ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば［あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの鼻ではなく、ｚは長い］。｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（17）
（ｂ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば［あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの鼻ではなく、ｚは長い］。｝
といふことは、
（ｂ）すべての｛象は［長い鼻と、長い鼻以外を、持ってゐる］。｝
といふことに、他ならない。
然るに、
（18）
（ｂ）すべての｛象は［長い鼻と、長い鼻以外を、持ってゐる］。｝
といふことは、
（ｃ）象は鼻も長い。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）～（18）により、
（19）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
（ｃ）象は鼻も長い。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） である。
従って、
（11）～（19）により、
（20）
（ｂ）象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
（ｂ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば［あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない］。｝
といふ「述語論理」に相当する。
従って、
（08）（10）（20）により、
（21）
（ⅰ）象は鼻は長い。
（ⅱ）象は鼻が長い。
（ⅲ）象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」に「翻訳」される。
平成３１年０４月０５日、毛利太。