「今両虎共闘、其勢不倶生。」の「述語論理」。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
今両虎共闘、其勢不倶生。
今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
いま、二頭の虎（e.g.藺相如と廉頗）が戦ひ合へば、両方とも死なないで済む。といふわけにいかない。
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　Ａ
１　　　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）｝　　１ＵＩ
１　　　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　２ＵＩ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ＆生ｂ　　　　Ａ
　４　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　～～（生ａ＆生ｂ）　　　４ＤＮ
１４　　　　（６）　　　～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）　　　　　　　　　　　３４ＭＴＴ
１４　　　　（７）　　　～虎ａ∨～虎ｂ∨～闘ａｂ　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１４　　　　（８）　　（～虎ａ∨～虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　　　８結合法則
　　　９　　（９）　　（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　　　　　　～闘ａｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　イ∨Ｉ
１４　　　　（エ）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　８９アイウ∨Ｅ
１４　　　　（オ）　　　闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　エ含意の定義
１　　　　　（カ）　　　生ａ＆生ｂ→闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　４オＣＰ
　　　　　キ（キ）　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ（ク）　　　闘ａｂ＆（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　　キ結合法則
　　　　　キ（ケ）　　　　　　　　生ａ＆生ｂ　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　　キ（コ）　　　　　　　　　闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　カケＭＰＰ
　　　　　キ（サ）　　　　　闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　　キ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　（～虎ａ∨～虎ｂ）　　コサＭＰＰ
１　　　　　（ス）　　　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　キシＣＰ
１　　　　　（セ）　　∀ｙ｛闘ａｙ＆生ａ＆生ｙ→（～虎ａ∨～虎ｙ）｝　スＵＩ
１　　　　　（ソ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝　セＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∀ｙ｛闘ａｙ＆生ａ＆生ｙ→（～虎ａ∨～虎ｙ）｝　１ＵＥ
１　　　　　（３）　　　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　２ＵＥ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　虎ａ＆　虎ｂ　　　Ａ
　４　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　～～（虎ａ＆　虎ｂ）　　４ＤＮ
　４　　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　～（～虎ａ∨～虎ｂ）　　５ド・モルガンの法則
１４　　　　（７）　　　～（闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　３６ＭＴＴ
１４　　　　（８）　　　　～闘ａｂ∨～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　　　　（９）　　　　～闘ａｂ∨（～生ａ∨～生ｂ）　　　　　　　　８結合法則
１４　　　　（ア）　　　　　闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　　　　　　　９含意の定義
１　　　　　（イ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ→闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　４アＣＰ
　　ウ　　　（ウ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ウ　　　（エ）　　　　（虎ａ＆虎ｂ）＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　ウ結合法則
　　ウ　　　（オ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　ウ　　　（カ）　　　　　　　　　　　闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　イオＭＰＰ
　　ウ　　　（キ）　　　　　　　　　　　闘ａｂ　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　ウ　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　（～生ａ∨～生ｂ）　　カキＭＰＰ
１　　　　　（ケ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　ウクＣＰ
１　　　　　（コ）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（～生ａ∨～生ｙ）｝　ケＵＩ
１　　　　　（サ）∀ｘ∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（～生ａ∨～生ｙ）｝　コＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　　　　  　　　　Ａ
１　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　４　　（４）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　Ａ
１４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
１４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ→～生ｂ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　８　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　ア∨Ｉ
１４　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　６８９アイＥＥ
１４　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　生ｂ→～生ａ　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
１４　　（オ）　　　　　　　　　　（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　（カ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　４オＣＰ
１　　　（キ）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝　カＵＩ
１　　　（ク）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝　キＵＩ
（ⅲ）
１　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝　Ａ
１　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　２ＵＥ
　４　　（４）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　Ａ
１４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　３４ＭＰＰ
１４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ→～生ｂ　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１４　　（８）　　　　　　　　　　　　　　～（生ａ＆～生ｂ）　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１　　　（９）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　４８ＣＰ
１　　　（ア）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）　　　　　　　　　　　９ＵＩ
１　　　（イ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　　　　  　　　　アＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅲ）であり、
（ⅲ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） であって、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生き、ｙも生きる。といふことはない。
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
（ⅲ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（11）
「ＰまたはＱ」に対する真理値の割り当てを「排他的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つだけが真のときに限って、「ＰまたはＱ」が真になるに対し、「包含的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つか、あるいは、二つが真のときに「ＰまたはＱ」が真になる。― 中略 ―、命題論理は、「包含的または」の方を採用しており、「真理表」にもそれが反映されている（早川書房、「不可能、不確定、不完全、」、2011年、２０７頁改）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
に於いて、
（ⅱ）～虎ｘ∨～虎ｙ
（ⅱ）ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
である。といふことは、
① 両方とも、虎でない。
② どちらか一方が、虎でない。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（13）
① ｘとｙの両方が、非力ではあるが、丈夫であるとすれば、ｘとｙ同士が闘ったとしても、ｘとｙは、両方とも、死なない。
然るに、
（14）
有衆逐虎。虎負嵎。莫之敢攖。望見馮婦、趨而迎之。
有（衆）逐（虎）。虎負（嵎）。莫（之敢攖。望‐見（馮婦）、趨而迎（之）。
（衆）有り（虎を）逐ふ、虎（嵎を）負ふ。（之に敢へて攖る）莫し。（馮婦を）望‐見し、趨りて（之を）迎ふ。
人々が虎を追いかけてゐた。虎は山を背にして構へた。誰にも虎に近づく勇気が無かった。馮婦が遠くに見えたので、人々は走って行き、彼を迎へた（孟子、盡心章句下）。
でいふ、馮婦といふ男は、虎と素手で闘って、虎を生け捕りにすることが、出来る。
従って、
（14）により、
（15）
② ｘが馮婦であり、ｙが虎であるならば、ｘとｙが闘っても、ｘは、虎を生け捕りできるため、ｘとｙは、両方とも生きてゐる。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① ｘとｙの両方が、非力ではあるが、丈夫であるとすれば、ｘとｙ同士が闘ったとしても、ｘとｙは、両方とも、死なない。
② ｘが馮婦であり、ｙが虎であるならば、ｘとｙが闘っても、ｘは、虎を生け捕りできるため、ｘとｙは、両方とも生きてゐる。
従って、
（12）（16）により、
（17）
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
に於いて、「不都合」は無い。
然るに、
（18）
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
（ⅲ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
（ⅲ）（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）
（ⅲ）ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
といふのであれば、
（ⅲ）ｘとｙの、どちらか一方だけが生きる（どちらか一方だけが死ぬ）。
といふ風に、思はれるかも、知れない。
しかしながら、
（19）
③（生ｘ→～生ｙ）＝ｘが生きるならば、ｙは生きず。
④（生ｙ→～生ｘ）＝が生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
③ の「対偶」が ④ であり、
④ の「対偶」が ③ であるため、
③ とは、④ であって、
④ とは、③ である。
然るに、
（20）
「含意の定義」により、
③（生ｘ→～生ｙ）＝（～生ｘ∨～生ｙ）
である。
然るに、
（11）により、
（21）
③（～生ｘ∨～生ｙ）＝（ｘは生きないか、またはｙは生きない。）
④（～生ｘ＆～生ｙ）＝（ｘは生きず、ｙも生きない。）
に於いて、
③ と ④ は、「矛盾」しない。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
（ⅲ）（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）
（ⅲ）ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
といふのであれば、
（ⅲ）ｘとｙの、どちらか一方だけが生きる（どちらか一方だけが死ぬ）。
といふ風に、思はれるかも、知れないが、「論理学的」には、さうではない。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
① 今両虎共闘、其勢不倶生。
① 今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
① いま、二頭の虎（e.g.藺相如と廉頗）が戦ひ合へば、両方とも死なないで済む。といふわけにいかない。
といふ「漢文訓読」は、
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
といふ「三通リの述語論理」に、対応する。
平成３１年０４月２３日、毛利太。