トートロジー（恒真式）Ⅱ。

―「先ほどの記事」を「続き」を書きます。―
―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（34）
（ⅶ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
１　３（６）　～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ
（ⅷ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｐ　Ａ
１２　（４）　　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　４７ＣＰ
従って、
（34）により、
（35）
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
（ⅶ）＝（ⅷ） である。
然るに、
（36）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の基本的規則」だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定　（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆導入　　（＆Ｉ）
７.＆除去　　（＆Ｅ）　
８.∨導入　　（＆Ｉ）
９.∨除去　　（＆Ｅ）
10.背理法　　（ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（35）（36）により、
（37）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、ＲＡＡ」によって、
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（38）
（ⅸ）
１（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
１（２）　～Ｐ∨　Ｑ　１含意の定義
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２交換法則
１（４）～～Ｑ∨～Ｐ　３ＤＮ
１（５）　～Ｑ→～Ｐ　４含意の定義
（ⅹ）
１（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
１（２）～～Ｑ∨～Ｐ　１含意の定義α
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２ＤＮ
１（４）　～Ｐ∨　Ｑ　３交換法則
１（５）　　Ｐ→　Ｑ　４含意の定義α
従って、
（36）（38）により、
（39）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＤＮ」と「含意の定義α、交換法則」によっても、
（ⅸ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅹ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（40）
（ⅺ）
１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨～Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨～Ｐ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨～Ｐ　１２３４５ＥＥ
（ⅻ）
１　　（１）Ｑ∨～Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　～Ｐ　Ａ
　　４（５）～Ｐ∨Ｑ　４∨Ｉ
１　　（６）～Ｐ∨Ｑ　１２３４５ＥＥ
従って、
（41）
（01）（02）（36）（40）により、
（41）
「含意の定義α、交換法則」自体も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
加へて、
（16）により、
（42）
「ド・モルガンの法則」も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
従って、
（36）～（42）により、
（43）
「自然演繹の体系Ｌの、１０個の基本規則」は、「公理」のやうな「働き」をする。
然るに、
（44）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
　 Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（45）
（α）
　　１　（１）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　Ａ
　　　２（２）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　　　２（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（４）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　２（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（６）　　　　　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　　１２（７）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ
　　１２（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　５７ＭＰＰ
　　１２（９）　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　６８＆Ｉ
　　１　（ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　２９ＲＡＡ
（β）
１　　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　２３　（４）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　３４＆Ｉ
１２３　（５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆　
　　　　　　　　｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　１４＆Ｉ
１２　　（６）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　　３５ＲＡＡ
　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　８（８）　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　７８（９）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
１２７８（ア）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　６９＆Ｉ
１２７　（イ）　　　　　　～～Ｐ　　　　８アＲＡＡ
１２７　（ウ）　　　　　　　　Ｐ　　　　イＤＮ
１２　　（エ）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　７ウＣＰ
１　　　（オ）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　２エＣＰ
従って、
（45）により、
（46）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） である。
然るに、
（47）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　矛盾　）＆Ｑ｝ である。
従って、
（47）により、
（48）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　偽　　）＆真｝ であっても、
（β）～｛（　偽　　）＆偽｝ であっても、
（β）～｛　　　　　　偽　｝ は、「真」である。
従って、
（47）（48）により、
（49）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） であって、尚且つ、
　　　　（β） は、「恒真」である。
従って、
（44）（49）により、
（50）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は「恒真」である。
従って、
（36）（44）（50）により、
（51）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は、「ジョン・レモンが開発した自然演繹の体系Ｌ」に於いても、「恒真」である。
平成３１年０４月３０日、毛利太。