「民無二王。」の「述語論理」。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。
（01）
孔子曰天無二日、民無二王。
孔子曰く、天に二つの太陽は無く、民に二人の王は無い（孟子、萬章章句上）。
（02）
（ⅰ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ）　　　　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　７ＵＥ
　３７（９）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３８＆Ｉ
１３７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６９ＭＰＰ
１３　（イ）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　８アＣＰ
１３　（ウ）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　イＵＩ
１３　（エ）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　３ウ＆Ｉ
１３　（オ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　エＥＩ
１　　（カ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　１３オＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）　∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛Ｆｘ＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）である。
然るに、
（04）
任意の名前が、結論Ｃの中に現れてはならないという理由を知るためには、そうでなければ、
あるものがＦをもつという仮定から、すべてのものがＦをもつということが証明されるであろうということを考えれば十分である。
　１　（１）∃ｘＦｘ　Ａ
　　２（２）　　Ｆａ　Ａ
　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ
　１　（４）∀ｘＦｘ　２ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。　　なぜならば、１はａを含んでいないからである。しかし、
ＥＥの適用は正しくない。なぜならば、問題になる結論、ここでは、
　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ
において、　　　　ａ　をふくんでいるからである。
あるものがＦをもっていることから、任意に選ばれた対象がＦをもつということは帰結しない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英雄 訳、1973年、１４７頁改）
然るに、
（05）
（ⅱ）
　１　　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　Ａ
　　２　（２）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　Ａ
　　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　２　（４）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　１　　（５）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　１２４ＥＥ
　１　　（６）　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　　　５ＵＩ
　　２　（７）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
　１　　（８）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１２７ＥＥ
　１　　（９）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　６８＆Ｉ
ＵＩの適用は正しい。　　なぜならば、１はａを含んでいないからである。しかし、
ＥＥの適用は正しくない。なぜならば、問題になる結論、ここでは、
　１　　（５）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　１２４ＥＥ
において、　　　　　　　　　　　　　　ａ　をふくんでいるからである。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅱ）
　１　　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　Ａ
　　２　（２）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　Ａ
　　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　２　（４）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　１　　（５）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　１２４ＥＥ
　１　　（６）　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　　　５ＵＩ
　　２　（７）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
　１　　（８）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１２７ＥＥ
　１　　（９）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　６８＆Ｉ
といふ「述語計算」は、「正しくない」。
（02）～（06）により、
（07）
（ⅰ）　∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛Ｆｘ＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であるが、
（ⅱ）ならば（ⅰ）ではない。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　　　（１）　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ<br>
　２　　（３）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ<br>
　２　　（４）　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ<br>
　２　　（５）　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　２　　（６）　　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　５含意の定義
　２　　（７）　　　　　　　～～（～Ｆｂ∨ａ＝ｂ）　　６ＤＮ
　２　　（８）　　　　　　　～（～～Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　７ド・モルガンの法則
　２　　（９）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　８ＤＮ
　　ア　（ア）　　　　　　　　∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　　Ａ
　　　イ（イ）　　　　　　　　　　（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　Ａ
　２　イ（ウ）～（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）＆（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　９イ＆Ｉ　　
　２ア　（エ）～（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）＆（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　アイウＥＥ
　２　　（オ）　　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　　アエＲＡＡ
　２　　（カ）　　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　　３オ＆Ｉ
　２　　（キ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）｝　カＥＩ
１　　　（ク）　∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）｝　１２キＥＥ
（ⅲ）
１　　　（１）　∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　　Ａ
　２　　（３）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　　２＆Ｅ　　
　　５　（５）　　　　　　　　　　　Ｆｂ＆ａ<>ｂ　　　Ａ
　　５　（６）　　　　　　　　∃ｙ（Ｆｂ＆ａ<>ｙ）　　５ＥＩ
　２５　（７）　　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ<>ｙ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（Ｆｂ＆ａ<>ｙ）　　４６＆Ｉ
　２　　（８）　　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　　５７ＲＡＡ
　２　　（９）　　　　　　　　　～Ｆｂ＆∨ａ＝ｂ　　　８ド・モルガンの法則
　２　　（ア）　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　９含意の定義
　２　　（イ）　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　アＵＩ
　２　　（ウ）　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３イ＆Ｉ
　２　　（エ）　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　２ＥＩ
１　　　（オ）　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１２ＥＥ
ｃｆ.
「≠」を「<>」と書くこととし、それ故、「<>ではない」が「＝」であって、「＝ではない」が「<>」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅱ）∃ｘ｛Ｆｘ＆　∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（Ⅲ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば、（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば、（ⅰ）である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅱ）∃ｘ｛Ｆｘ＆　∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ⅲ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅰ）ならば（ⅲ）である。
従って、
（12）
（ⅰ）∃ｘ王ｘ＆∀ｘ∀ｙ（王ｘ＆王ｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（Ⅲ）∃ｘ｛王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅰ）ならば（ⅲ）である。
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）あるｘは王であり、すべてのｘとｙについて、ｘが王でありｙも王であるならば、ｘはｙと「同一人物」である。
（ⅱ）あるｘは王であり、すべてのｙについて、　　ｙが王であるならば、　　　　　　ｘとｙは「同一人物」である。
（ⅲ）あるｘは王であり、ｘと「同一人物」ではない、あるｙが、王である。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅰ）ならば（ⅲ）である。
然るに、
（13）により、
（14）
（ⅱ）∃ｘ｛王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ⅲ）∃ｘ｛王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
といふこと、すなはち、
（ⅱ）あるｘは王であり、すべてのｙについて、ｙが王であるならば、ｘとｙは「同一人物」である。
（ⅲ）あるｘは王であり、ｘと「同一人物」ではない、あるｙが、王である。といふことはない。
といふことは、要するに、
（ⅱ）王は、一人しかゐない。
（ⅲ）王は、一人しかゐない。
といふことである。
従って、
（14）
（ⅱ）∃ｘ｛舜ｘ＆王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ⅲ）∃ｘ｛舜ｘ＆王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
といふこと、すなはち、
（ⅱ）あるｘは舜といふ王であり、すべてのｙについて、ｙが王であるならば、ｘとｙは「同一人物」である。
（ⅲ）あるｘは舜といふ王であり、ｘと「同一人物」ではない、あるｙが、王である。といふことはない。
といふことは、要するに、
（ⅱ）王は、舜の一人だけある。
（ⅲ）王は、舜の一人だけある。
といふことである。
従って、
（14）により、
（15）
獨舜爲王矣。⇔
獨り舜のみ王たり。
といふ「漢文訓読」は、
（ⅰ）∃ｘ｛舜ｘ＆王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛舜ｘ＆王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
因みに、
（16）
（ⅰ）あるｘは王であり、すべてのｘとｙについて、ｘが王でありｙも王であるならば、ｘはｙと「同一人物」である。
（ⅱ）あるｘは王であり、すべてのｙについて、　　ｙが王であるならば、　　　　　　ｘとｙは「同一人物」である。
に於いても、
（ⅰ）＝（ⅱ） であるやうに、思へない、こともない。
然るに、
（17）
因みに言ふと、
E.J.レモン自身は、「E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英雄 訳、1973年、２１１・２１２頁」に於いて、
（ⅰ）∃ｘ王ｘ＆∀ｘ∀ｙ（王ｘ＆王ｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（Ⅲ）∃ｘ｛王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
と、書いてゐる。
然るに、
（18）
「E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英雄 訳、1973年、２１１・２１２頁」の中には、「結論」だけが書かれてゐて、
（ⅰ）∃ｘ王ｘ＆∀ｘ∀ｙ（王ｘ＆王ｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（Ⅲ）∃ｘ｛王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
といふことに関する、「計算」が示されてゐない。
従って、
（02）～（12）、（18）により、
（19）
私自身は、
（ⅰ）∃ｘ王ｘ＆∀ｘ∀ｙ（王ｘ＆王ｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅱ）∃ｘ｛王ｘ＆　∀ｙ（王ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（Ⅲ）∃ｘ｛王ｘ＆～∃ｙ（王ｙ＆ｘ<>ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）⇒｛（ⅱ）＝（ⅲ）｝
であらうと、思ってゐるものの、
E.J.レモンは、
（ⅰ）＝｛（ⅱ）＝（ⅲ）｝
である。いふ風に、書いてゐる。
平成３１年０４月１７日、毛利太。