「象は鼻が長く、象の鼻が長い。」の「述語論理式」。

（01）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　１ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　２　６　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　６　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
１　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　カＵＥ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
　　　　オ　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６オ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　ケコＭＰＰ
１２　６オ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　キサコＭＰＰ
　　　　オ　（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６オ　（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ウオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）兎は象ではない。
従って、
（01）により、
（02）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
に於いて、
（１）であって、尚且つ、
（２）であるならば、
（３）ではない。
といふ「命題」は、「述語論理」として、「真」である。
従って、
（02）により、
（03）
（１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
（２）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く。すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。
（３）あるｘは兎であって象である。
に於いて、
（１）であって、尚且つ、
（２）であるならば、
（３）ではない。
といふ「命題」は、「述語論理」として、「真」である。
従って、
（03）により、
（04）
（１）象は鼻以外は長くない。　　　　　　　　　然るに、
（２）兎の耳は長いものの、兎の耳は鼻ではない。従って、
（〃）兎は鼻以外（耳）も長い。　　　　　　　　従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
然るに、
（05）
（ⅱ）象は鼻が長い。
といふのではなく、
（ⅰ）象は鼻は長い。
といふのであれば、
（ⅰ）象は、鼻以外も長い。のかも知れない。
然るに、
（06）
（ⅰ）象は、鼻以外も長い。のかも知れない。
といふのであれば、
（ⅰ）象は、耳も長い。のかも知れない。
然るに、
（07）
（ⅰ）象は、耳も長い。のかも知れない。
といふのであれば、
（１）象は、耳も長い。のかも知れない。　　　　然るに、
（２）兎の耳は長いものの、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻は長い。
といふのではなく、
（ⅱ）象は鼻が長い。
といふのであれば、
（ⅱ）象は、鼻以外は長くない。
従って、
（04）（08）により、
（09）
（１）象は鼻が長い。　　　　　　　　　　　　　従って、
（〃）象は、鼻以外は長くない。　　　　　　　　然るに、
（２）兎の耳は長いものの、兎の耳は鼻ではない。従って、
（〃）兎は鼻以外（耳）も長い。　　　　　　　　従って
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
（10）
１　　　　（１）∀ｘ｛～象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　　　　Ａ
　２　　　（２）∀ｘ（　兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）∀ｘ｛　兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆　長ｙ）｝　　　　　Ａ
　　　４　（４）　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（５）　　　～象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝　　　　　１ＵＥ
　２　　　（６）　　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　３　　（７）　　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　３ＵＥ
　２　４　（８）　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ
１２　４　（９）　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　５８ＭＰＰ
１２　４　（ア）　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　９ＵＩ
　　３４　（イ）　　　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆　長ｙ）　　　　　４７ＭＰＰ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　耳ｂａ＆　長ｂ　　　　　　Ａ
       　  ウ（エ）　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　　　　～～長ｂ　　　　　　オＤＮ
１２　４ウ（キ）　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　アカＭＴＴ
１２　４ウ（ク）　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆耳ｂａ　　　　　　エキ＆Ｉ
１２　４ウ（ケ）　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆耳ｂａ＆長ｂ　　　オク＆Ｉ
１２　４ウ（コ）　　　　　　　∃ｙ（～鼻ｙａ＆耳ｙａ＆長ｙ）　　ケＥＩ
１２３４　（サ）　　　　　　　∃ｙ（～鼻ｙａ＆耳ｙａ＆長ｙ）　　イウコＥＥ
１２３　　（シ）　　　　兎ａ→∃ｙ（～鼻ｙａ＆耳ｙａ＆長ｙ）　　４サＣＰ
１２３　　（ス）∀ｘ｛　兎ｘ→∃ｙ（～鼻ｙｘ＆耳ｙｘ＆長ｙ）｝　シＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
１　　　　（１）∀ｘ｛～象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　　　　Ａ
　２　　　（２）∀ｘ（　兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）∀ｘ｛　兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆　長ｙ）｝　　　　　Ａ
１２３　　（ス）∀ｘ｛　兎ｘ→∃ｙ（～鼻ｙｘ＆耳ｙｘ＆長ｙ）｝　シＵＩ
に於いて。
（１）であって、
（２）であって、
（３）であるならば、
（４）である。
従って、
（11）により、
（12）
（１）すべてのｘについて、ｘが象でないならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
（２）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
（３）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長い。
（４）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの鼻ではなく耳であって、ｙは長い。
に於いて。
（１）であって、
（２）であって、
（３）であるならば、
（４）である。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（12）により、
（13）
（１）象以外の鼻は長くない。然るに、
（２）兎は象ではない。　　　然るに、
（３）兎の耳は長い。　　　　従って、
（４）兎の鼻ではなく、兎の耳は長い。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
然るに、
（14）
（ⅰ）象の鼻は長い。
といふのであれば、
（ⅰ）象以外の鼻も長い。のかも知れないし、
（ⅱ）象の鼻が長い。
といふのであれば、
（ⅱ）象以外の鼻は長くない。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（１）象の鼻が長い。　　　　従って、
（〃）象の鼻以外は長くない。然るに、
（２）兎は象ではない。　　　然るに、
（３）兎の耳は長い。　　　　従って、
（４）兎の鼻ではなく、兎の耳は長い。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
平成３１年０４月０４日、毛利太。