「象が鼻が長い。」の「一階述語論理」。

―「４月５日の、一番目の記事」の「続き」を書きます。―
（21）
（ⅰ）象は鼻は長い。
（ⅱ）象は鼻が長い。
（ⅲ）象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」に「翻訳」される。
（22）
（ａ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ｂ）
１　　（１）～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　Ｐ　Ａ
　　３（３）～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）　　～～Ｑ　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　Ｑ　６ＤＮ
１　　（８）　Ｐ→　Ｑ　２７ＣＰ
従って、
（22）により、
（23）
（ａ）　Ｐ→　Ｑ
（ｂ）～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
ｃｆ.
「対偶（Contraposition）」は「等しい」。
従って、
（24）
（ａ）　Ｑ→　Ｐ
（ｂ）～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
（ｃ）（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ） である。
然るに、
（26）
すなわち記号で書けば、
　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
である。しかしこの複合的表現を用いるよりは、２重の矢印を採用して、省略記号として、
　　Ｐ⇔Ｑ
と書くのが便利であろう。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、 竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、３８頁）
従って、
（25）（26）により、
（27）
（ｅ）　Ｐ⇔Ｑ
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
（ｅ）＝（ｄ） である。
従って、
（27）により、
（28）
（ｅ）Ｐ⇔Ｑ
（ｄ）ＰならばＱであり、ＰでないならばＱでない。
に於いて、
（ｅ）＝（ｄ） である。
従って、
（28）により、
（29）
（ｅ）Ｐ⇔Ｑ
（ｄ）ＰはＱであり、Ｐ以外はＱでない。
に於いて、
（ｅ）＝（ｄ） である。
然るに、
（30）
（３）　既知と未知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
然るに、
（31）
Ｑ：大野さんはどなたですか。
Ａ：私が大野です。
といふのであれば、
Ａ：私は大野であり、私以外は大野ではない。
従って、
（29）（30）（31）により、
（32）
（ｅ）Ｐ⇔Ｑ
（ｆ）ＰがＱである。
（ｄ）ＰはＱであり、Ｐ以外はＱでない。
に於いて、
（ｅ）＝（ｄ）＝（ｆ） である。
従って、
（21）（27）（32）により、
（33）
（ⅳ）象が鼻は長い。
（〃）象は鼻が長く、象以外は鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
（ⅳ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（34）
１　　（１）象が鼻は長い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）｝｝Ｄｆ.⇔
　２　（２）兎は象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（〃）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　
　２　（３）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＩ
　　４（４）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２４（５）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
１　　（６）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　１ＵＥ
１　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　６＆Ｅ
１２４（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　５７ＭＰＰ
１２４（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　８量化子の関係
１２４（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　９ＵＥ
１２４（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　ア、ド・モルガンの法則　
１２４（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　イ含意の定義
１２４（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　ウＵＩ
１２　（オ）　　　兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　４エＣＰ
１２　（カ）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　オＵＩ
１２　（〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）。｝
１２　（〃）兎の鼻は長くない。
従って、
（34）により、
（35）
（１）象が鼻は長い。　然るに、
（２）兎は象ではない。従って、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「日本語による推論」は、「古典一階述語論理による推論」としても「妥当（Valid）」である。
ｃｆ.
完全性定理により、（古典一階述語論理については）その形式体系が論理的に成り立つ事柄を余すところなく捉えていること、つまり、もうこれ以上推論規則を加える必要がないことが示されるのである（飯田隆 編、論理の哲学、2005年、９７頁）。
然るに、
（21）（33）により、
（36）
（ⅴ）象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（ⅴ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、　　　　　　　　
（34）（36）により、
（37）
「同じこと」なので、わざわざ、書く必要もないものの、
１　　（１）象が鼻が長い。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ
１　　（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ｄｆ.⇔
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　４　（４）兎は象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４　（〃）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４６（７）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５６ＭＰＰ
１　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　  ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）                              ３＆Ｅ
１４６（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　７８ＭＰＰ
１４６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係
１４６（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　アＵＩ
１４６（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則
１４６（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
１４６（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　エＵＩ
１４　（キ）　　　兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６カＣＰ
１４　（ク）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キＵＩ
１４　（〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）。｝
１４　（〃）兎の鼻は長くない。
従って、
（37）により、
（38）
（１）象が鼻が長い。　然るに、
（２）兎は象ではない。従って、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「日本語による推論」は、「古典一階述語論理による推論」としても「妥当（Valid）」である。
従って、
（21）（34）（37）により、
（38）
（ⅰ）象は鼻は長い。
（ⅱ）象は鼻が長い。
（ⅲ）象は鼻も長い。
（ⅳ）象が鼻は長い。
（ⅴ）象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅳ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（ⅴ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「一階述語論理」に「翻訳」される。
然るに、
（39）
自然言語の文を論理式に翻訳するというプログラムを遂行する上で、まず考えなければならないことは、翻訳先の形式言語としてどのような言語を採用すべきかという問題である。ひとつの基準となるのは、一階述語論理である。しかし、現在では、自然言語のさまざまな構文を自然な形で扱うためには、一階述語論理の言語では不十分であるという考えが広く受け入れられている（飯田隆 編、論理の哲学、2005年、２２６頁）。
とのことである。
然るに、
（40）
自然言語のさまざまな構文を自然な形で扱うためには、一階述語論理の言語では不十分である。
といふことは、そんなことは、「当り前」過ぎるのであって、それ故、
（38）（39）により、
自然言語のさまざまな構文を自然な形で扱うためには、一階述語論理の言語では不十分であるが、少なくとも、
（ⅰ）象は鼻は長い。
（ⅱ）象は鼻が長い。
（ⅲ）象は鼻も長い。
（ⅳ）象が鼻は長い。
（ⅴ）象が鼻が長い。
といふ「日本語」に関しては、「一階述語論理の言語」によって、「翻訳可能」である。
といふ、ことになる。
平成３１年０４月０７日、毛利太。