「量化子の関係」について（Ⅲ）。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
｛ａ、ｂ｝が「変域（ドメイン）」であるとき、
① ∃ｘ（Ｆｘ）＝Ｆａ∨Ｆｂ＝「Ｆａであって、Ｆｂであるか。Ｆａでなくて、Ｆｂであるか。Ｆａであって、Ｆｂでない。」
② ∀ｘ（Ｆｘ）＝Ｆａ＆Ｆｂ＝「Ｆａであって、Ｆｂである。」
従って、
（01）により、
（02）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ∨Ｆｂ）
④ ～∀ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ＆Ｆｂ）
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｆａ∨Ｆｂ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｆａ∨Ｆｂ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｆａ∨Ｆｂ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨Ｆｂ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｆａ　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　　Ｆｂ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｆａ∨Ｆｂ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｆａ∨Ｆｂ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨Ｆｂ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　　　　～Ｆｂ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｆａ＆～Ｆｂ　　　５９＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～Ｆａ＆～Ｆｂ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｆａ∨　Ｆｂ　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　～Ｆａ　　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ）　　１５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｆｂ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　　～Ｆｂ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｆｂ＆～Ｆｂ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ）　　２３６７アＥＥ
１２　　（ウ）　（～Ｆａ＆～Ｆｂ）＆　１イ＆Ｉ
　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｆｂ）　
１　　　（エ）　～（Ｆａ∨Ｆｂ）　　　２ウＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）～（Ｆａ∨　Ｆｂ）
（ⅱ）　～Ｆａ＆～Ｆｂ
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ∨Ｆｂ）＝～Ｆａ＆～Ｆｂ
④ ～∀ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ＆Ｆｂ）
である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）＆
　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　１４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｆａ　　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｆａ　　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　～Ｆｂ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）＆
　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　１９＆＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　イＤＮ
  ２　　（エ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ）＆
　　　　　　　　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ）　　１Ｅ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　カＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｆａ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｆａ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｆａ＆　Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｆａ＆　Ｆｂ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　～Ｆｂ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　Ｆｂ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　～Ｆａ＆　Ｆｂ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｆａ＆　Ｆｂ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｆａ＆　Ｆｂ）　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅲ）　～（Ｆａ＆　Ｆｂ）
（ⅳ）　　～Ｆａ∨～Ｆｂ
に於いて、
（ⅲ）＝（ⅳ） である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ∨Ｆｂ）＝～Ｆａ＆～Ｆｂ
④ ～∀ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ＆Ｆｂ）＝～Ｆａ∨～Ｆｂ
といふ、「ド・モルガンの法則」は、「正しい」。
従って、
（01）（08）により、
（09）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ∨Ｆｂ）＝～Ｆａ＆～Ｆｂ＝∀ｘ（～Ｆｘ）
④ ～∀ｘ（Ｆｘ）＝～（Ｆａ＆Ｆｂ）＝～Ｆａ∨～Ｆｂ＝∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（09）により、
（10）
⑤ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）＝～～Ｆａ＆～～Ｆｂ＝∀ｘ（Ｆｘ）
⑥ ～∀ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ＆～Ｆｂ）＝～～Ｆａ∨～～Ｆｂ＝∃ｘ（Ｆｘ）
従って、
（09）（10）により、
（11）
「順番」を変へると、
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘはＦでる。　　　　　　　　　　＝～∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘがＦでない。といふことはない。
② 　∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘはＦである。　　　　　　　　　＝～∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘがＦでない。といふことはない。
③ ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘがＦである。といふことはない。＝　∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘはＦでない。
④ ～∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘがＦである。といふことはない。＝　∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘはＦでない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（11）により、
（12）
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘはＦである。　　　　　　　　　＝～∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘがＦでない。といふことはない。
② 　∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘはＦである。　　　　　　　　　＝～∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘがＦでない。といふことはない。
③ ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘがＦである。といふことはない。＝　∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘはＦでない。
④ ～∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘがＦである。といふことはない。＝　∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘはＦでない。
⑤ 　∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘはＦでない。　　　　　　　　　＝～∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘがＦである。といふことはない。
⑥ 　∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘはＦでない。　　　　　　　　　＝～∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘがＦである。といふことはない。
⑦ ～∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘがＦでない。といふことはない。＝　∃ｘ（　Ｆｘ）＝　　あるｘはＦである。
⑧ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝　　あるｘがＦでない。といふことはない。＝　∀ｘ（　Ｆｘ）＝すべてのｘはＦである。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（12）により、
（13）
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝～∃ｘ（～Ｆｘ）
② 　∃ｘ（　Ｆｘ）＝～∀ｘ（～Ｆｘ）
③ ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝　∃ｘ（～Ｆｘ）
④ ～∃ｘ（　Ｆｘ）＝　∀ｘ（～Ｆｘ）
⑤ 　∀ｘ（～Ｆｘ）＝～∃ｘ（　Ｆｘ）
⑥ 　∃ｘ（～Ｆｘ）＝～∀ｘ（　Ｆｘ）
⑦ ～∀ｘ（～Ｆｘ）＝　∃ｘ（　Ｆｘ）
⑧ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝　∀ｘ（　Ｆｘ）
であるため、
① 　∀ｘ（　Ｆｂｘ）＝～∃ｘ（～Ｆｂｘ）
② 　∃ｘ（　Ｆｂｘ）＝～∀ｘ（～Ｆｂｘ）
③ ～∀ｘ（　Ｆｂｘ）＝　∃ｘ（～Ｆｂｘ）
④ ～∃ｘ（　Ｆｂｘ）＝　∀ｘ（～Ｆｂｘ）
⑤ 　∀ｘ（～Ｆｂｘ）＝～∃ｘ（　Ｆｂｘ）
⑥ 　∃ｘ（～Ｆｂｘ）＝～∀ｘ（　Ｆｂｘ）
⑦ ～∀ｘ（～Ｆｂｘ）＝　∃ｘ（　Ｆｂｘ）
⑧ ～∃ｘ（～Ｆｂｘ）＝　∀ｘ（　Ｆｂｘ）
である。
従って、
（13）により、
（14）
例へば、
① 　∀ｘ（　Ｆｂｘ）＝～∃ｘ（～Ｆｂｘ）
② 　∃ｘ（　Ｆｂｘ）＝～∀ｘ（～Ｆｂｘ）
③ ～∀ｘ（　Ｆｂｘ）＝　∃ｘ（～Ｆｂｘ）
④ ～∃ｘ（　Ｆｂｘ）＝　∀ｘ（～Ｆｂｘ）
に対して、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」と適用し、
⑤ 　∀ｘ（～Ｆｂｘ）＝～∃ｘ（　Ｆｂｘ）
⑥ 　∃ｘ（～Ｆｂｘ）＝～∀ｘ（　Ｆｂｘ）
⑦ ～∀ｘ（～Ｆｂｘ）＝　∃ｘ（　Ｆｂｘ）
⑧ ～∃ｘ（～Ｆｂｘ）＝　∀ｘ（　Ｆｂｘ）
に対して、「ＥＩ（存在量記号導入の規則）」と適用すると、
① ∀ｙ　∀ｘ（　Ｆｙｘ）＝∀ｙ～∃ｘ（～Ｆｙｘ）
② ∀ｙ　∃ｘ（　Ｆｙｘ）＝∀ｙ～∀ｘ（～Ｆｙｘ）
③ ∀ｙ～∀ｘ（　Ｆｙｘ）＝∀ｙ　∃ｘ（～Ｆｙｘ）
④ ∀ｙ～∃ｘ（　Ｆｙｘ）＝∀ｙ　∀ｘ（～Ｆｙｘ）
⑤ ∃ｙ　∀ｘ（～Ｆｙｘ）＝∃ｙ～∃ｘ（　Ｆｙｘ）
⑥ ∃ｙ　∃ｘ（～Ｆｙｘ）＝∃ｙ～∀ｘ（　Ｆｙｘ）
⑦ ∃ｙ～∀ｘ（～Ｆｙｘ）＝∃ｙ　∃ｘ（　Ｆｙｘ）
⑧ ∃ｙ～∃ｘ（～Ｆｙｘ）＝∃ｙ　∀ｘ（　Ｆｙｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（14）により、
（15）
「ｘとｙの変域（ドメイン）」を「人間」とすると、例へば、
① ∀ｙ　∀ｘ（　愛ｙｘ）＝∀ｙ～∃ｘ（～愛ｙｘ）
② ∀ｙ　∃ｘ（　愛ｙｘ）＝∀ｙ～∀ｘ（～愛ｙｘ）
⑦ ∃ｙ～∀ｘ（～愛ｙｘ）＝∃ｙ　∃ｘ（　愛ｙｘ）
⑧ ∃ｙ～∃ｘ（～愛ｙｘ）＝∃ｙ　∀ｘ（　愛ｙｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（15）により、
（16）
①「すべての人は、すべての人を愛してゐる。」　　　　　　＝「すべての人が、ある人を愛ない。　　　といふことはない。」
②「すべての人は、　　ある人を愛してゐる。」　　　　　　＝「すべての人が、すべての人を愛さない。といふわけではない。」
③「ある人が、すべての人を愛さない。といふことはない。」＝「ある人は、　　　ある人を愛してゐる。」
④「ある人が、　　ある人を愛さない。といふことはない。」＝「ある人は、　すべての人を愛してゐる。」　
といふ「等式」が、成立する。
平成３１年０４月１９日、毛利太。