「選言導入の規則（∨Ｉ）」は「不自然」ではない（Ⅲ）。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
すなはち、
１　（１）Ｐである。　　　　　と「仮定」する。
　２（２）ＰならばＱである。　と「仮定」する。
１２（３）　　　　Ｑである。　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（02）
① Ｐ（真）→Ｑ（真）
② Ｐ（真）→Ｑ（偽）
に於いて、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
たしかに、
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
に於いて、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
然るに、
（04）
１（１）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　結合法則
（05）
１（１）Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨～Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ　　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　結合法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ Ｐ→（Ｐ∨　Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
③ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、それと同時に、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
といふことは、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
１（３）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　１２＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
従って、
（09）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（09）により、
（10）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
⑤ Ｐならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）。
然るに、
（11）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　は、
⑤ 真⇔真＆（真∨真）　だけでなく、
⑤ 真⇔真＆（真∨偽）　であっても、「真」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１　　（２）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　１∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ＆Ｑ　　１＆Ｅ
　　３（４）　　　Ｐ　　　　３＆Ｅ
１　　（５）Ｐ　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（14）により、
（15）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）。
然るに、
（16）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　は、
⑥ 真⇔真∨（真＆真）　だけでなく、
⑥ 真⇔真∨（真＆偽）　であっても、「真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
従って、
（04）（07）（12）（17）により、
（18）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１選言導入の規則
であるとして、すなはち、
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふ、ことになる。
従って、
（19）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とするのが、「選言導入の規則（∨Ｉ）」である。といふ、ことになる。
然るに、
（20）
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
然るに、
（21）
「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ。」といふ会話は、ともかく、
「彼女は背が高い　が、彼女が美人であるかどうかは分からない。」といふ会話であれば、「普通」である。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とする、「選言導入の規則（∨Ｉ）」は、「少しも、不自然」ではない。
（23）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於ける。
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
然るに、
（23）により、
（24）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
（25）
１（１）Socrates is a man.　Ａ
１（２）Socrates is a man or pigs are flying in formation over the English Channel.　１∨Ｉ
に於ける、
１の行　とは、
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「命題」が「真」であったとしても、「豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるか、どうかは分からない。」
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。
平成３１年０４月２６日、毛利太。