「選言除去の規則（∨Ｅ）」について。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
正確に述べようとすると複雑であるが、「選言除去の規則（∨Ｅ）」は、全く自然の推論の原理に合致している。ＡあるいはＢである、すなわちＡあるいはＢの一方が真であるとし、またＡを仮定すればＣが真であることが示しうる。すなわちＡが成り立てばＣが成り立つとし、またＢという仮定からもやはりＣが成り立つことを示しうる、すなわちＢが成り立てばＣもまた成り立つ、としよう、そうすれば、いずれにせよＣは成り立つ（論理学初歩、E.J.レモン 著、 竹尾治一郎 ・浅野楢英 訳、1973年、３０頁）。
（02）
Ｐ＝今日は晴天である。
Ｑ＝今日は雨天である。
Ｒ＝今日は日曜である。
とする。
然るに、
（03）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
（ｂ）
１　　　（１）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　Ａ
　　５　（６）　　　　　　　Ｑ　　　　５＆Ｅ
　　５　（７）　　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１２４５７ＥＥ
　２　　（９）　Ｒ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であるか、または、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」が、「選言除去の規則（∨Ｅ）」によって、導かれ、尚且つ、「逆もまた、正しい」。
然るに、
（05）
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
といふ「計算」が、「正しい」とする。
従って、
（05）により、
（06）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ。
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であり、尚且つ、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」が、「選言除去の規則（∨Ｅ）」によって、導かれる。
然るに、
（07）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であり、尚且つ、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」は、「導出（deduce）」出来ない。
然るに、
（08）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
の場合は、
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定α」から、
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
といふ「結論γ」を、得た後の「段階」で、
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定β」を仮定し、その、
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定β」から、
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
といふ「結論γ」を得てゐる。
従って、
（08）により、
（09）
（ａ）の場合は、
「Ｐ（仮定α）」そのものから、「結論γ」を得た後で、
「Ｑ（仮定β）」そのものから、「結論γ」を得てゐる。
然るに、
（10）
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
の場合は、
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定α」から、
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
といふ「結論γ」を、得る前の「段階」で、
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
といふ「仮定β」を仮定し、尚且つ、その「仮定β」を、
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
といふ「形」で、用ひてゐる。
従って、
（11）
（ｃ）の場合は、
「Ｐ（仮定α）」そのものから、「結論γ」を得た後で、
「Ｑ（仮定β）」そのものから、「結論γ」を得てゐる。
のではなく、
「Ｐ（仮定α）」と
「Ｑ（仮定β）」の、両方を用ひて、「結論γ」を得てゐる。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ｃ）の場合は、実際には、
（ｄ）
１　　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　　　４　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　４　（５）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２４＆Ｉ
　　３　　（６）　　　Ｑ　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　　（７）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　２６＆Ｉ
　２３４　（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　５７＆Ｉ
　　　　９（９）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　　９（ア）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　２９＆Ｉ
　２　４９（イ）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　５ア＆Ｉ
１２３　　（ウ）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１４８９イＥＥ
といふ「計算」を行ってゐるのに「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
（ｃ）は、
１　　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｒ　　　Ａ
といふ「仮定」を、
１　　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｒ　　　Ａ
　　３（３）　Ｐ＆Ｑ　Ａ
といふ風に、「改ざん」してゐる。
従って、
（03）（05）（13）により、
（14）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
といふ「選言除去の規則（∨Ｅ）」の「適用」は、「正しく」、
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
といふ「選言除去の規則（∨Ｅ）」の「適用」は、「正しくない」。
平成３１年０４月２７日、毛利太。