「恒真式（トートロジー）」と「恒偽式（矛盾）」。

（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　（２）　　Ｐ→　Ｐ　　１１ＣＰ
　３（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　３（４）　　Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３（５）　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
　３（６）　　　　　Ｐ　　２４ＭＰＰ
　３（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　５６＆Ｉ
　　（８）～（Ｐ＆～Ｐ）　３７ＲＡＡ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　（２）　　　Ｐ→　Ｐ　　　１１ＣＰ
　３　　（３）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　３　　（４）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　３　　（５）　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　　（６）　　　　　　Ｐ　　　２４ＭＰＰ
　３　　（７）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　５６＆Ｉ
　　　　（８）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　３７ＲＡＡ
　　９　（９）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　　　ア（ア）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　ア（イ）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　ア
　　９ア（ウ）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　９イ＆Ｉ
　　９　（エ）　　～Ｐ　　　　　　アウＤＮ
　　９　（オ）　　　　　～Ｐ　　　エＤＮ
　　９　（カ）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　オ∨Ｉ
　　９　（キ）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　９カ＆Ｉ
　　　　（ク）　　（Ｐ∨～Ｐ）　　９キＲＡＡ
　　　　（ケ）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　クＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　Ｐ→　Ｐ　≡Ｐならば、　Ｐである。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡Ｐであって、Ｐでない。といふことはない。
③ 　　Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、 「恒には真ならず（部分否定）」ではなく、
「恒に、偽である（全部否定）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～（Ｐ→　Ｐ）≡（Ｐならば、　Ｐである）ではない。
② 　（Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
③ ～（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）ではない。
は、３つとも、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（05）
例へば、
④［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
は、「ルカジェヴィッツの公理２」であるため、「恒真式」でなければ、ならない。
然るに、
（06）
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　３６ＣＰ
１　　（８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　　　　　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］　１８ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
果たして、
④［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅳ）
１（１）　［　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　Ａ
１（２）　［～Ｐ∨（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　１含意の定義
１（３）　［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　２含意の定義
１（４）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　３含意の定義
１（５）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［　（～Ｐ∨Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　４含意の定義
１（６）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　Ｐ→Ｒ）］　５含意の定義
１（７）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　６含意の定義
（ⅴ）
１（１）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　Ａ
１（２）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　Ｐ→Ｒ）］　１含意の定義
１（３）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［　（～Ｐ∨Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　２含意の定義
１（４）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　３含意の定義
１（５）　［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　４含意の定義
１（６）　［～Ｐ∨（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　５含意の定義
１（７）　［　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］　６含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
④ 　［　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］
⑤ ～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］
に於いて、
④＝⑤ であって、
④ は、「恒真式（トートロジー）」であるため、
⑤ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
（ⅵ）
１（１）～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨　［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝　Ａ
１（２）　　　［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］＆～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　　１ド・モルガンの法則
１（３）　　　［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３含意の定義
１（５）　　　　　　　　　　　　　　　～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～Ｐ∨Ｒ）　　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　７含意の定義
１（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｒ）　　　６＆Ｅ
　 １（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｒ　　　　９ド・モルガンの法則
１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　ア＆Ｅ
１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　ア＆Ｅ
１（エ）　　　　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４イＭＰＰ
１（オ）　　　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ含意の定義
１（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　８イＭＰＰ
１（キ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカＭＰＰ
１（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウキ＆Ｉ
１（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　　　　イカ＆Ｉ
１（コ）　　　　　　　　　　（Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　　　　　クケ＆Ｉ
（ⅶ）
１（１）（Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）（Ｒ＆～Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（５）～Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
１（６）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
１（７）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
１（ア）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４８＆Ｉ
１（イ）　　　　　　～（～Ｐ∨Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１（ウ）　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９∨Ｉ
１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～Ｐ∨Ｒ）　　イウ＆Ｉ
１（オ）　　　　　　　　　　　　　　　～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　　エド・モルガンの法則
１（カ）　　　［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］＆～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］　　６オ＆Ｉ
１（キ）～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨　［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝　カ、ド・モルガンの法則
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨　［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ （Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、すなはち、
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨　［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ （ 矛盾 ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
④ 　［　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）］→［　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｒ）］
⑤ ～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨　［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ 　（Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
④＝⑤ であって、
⑥＝⑦ であって、
④ は、「公理（Axiom）」であるため、「恒真式」であって、それ故、
⑤ も、「恒真式」であり、そのため、その「否定」である、
⑥ と、
⑦ は、「恒偽式（矛盾）」でなければ、ならないものの、果たして、
⑦ （矛盾）＆（Ｐ＆Ｑ）
であるため、確かに、
⑦ は、「恒偽式（矛盾）」である。
従って、
（02）（04）（12）により、
（13）
① 　　Ｐ→　Ｐ　≡Ｐならば、　Ｐである。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡Ｐであって、Ｐでない。といふことはない。
③     Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
④　 ［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］≡［Ｐならば（ＱならばＲである）］ならば［（ＰならばＱである）ならば（ＰならばＲである）］。
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
① ～（Ｐ→　Ｐ）≡（Ｐならば、　Ｐである）ではない。
② 　（Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
③ ～（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）ではない。
④ 　（Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）≡（Ｒであって、～Ｒでなく）、尚且つ（Ｐであって、Ｑである）。
は、４つとも、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（14）
（ⅳ）
１　　（１）～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆　（Ｐ＆Ｑ）｝　Ａ
１　　（２）　～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　～（Ｒ＆～Ｒ）　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　～Ｒ∨　Ｒ　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　　　Ｒ→　Ｒ　　　　　　　　　　４含意の定義
　３　（６）　　（Ｒ→　Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　５∨Ｉ
　　４（７）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　　４（８）　　（Ｒ→　Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　７∨Ｉ
１　　（９）　　（Ｒ→　Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　１３６４８∨Ｅ
１　　（〃）　　（ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　１３６４８∨Ｅ
（ⅴ）
１　　　（１）　　（Ｒ→　Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
１　　　（〃）　　（ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ→　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　（５）　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　（６）　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　２４ＭＰＰ
　２３　（７）　　　～Ｒ＆Ｒ　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　２　　（８）　～（Ｒ＆～Ｒ）　　　　　　　　　３７ＲＡＡ
　２　　（９）　～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　　　ア（イ）　～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　ア∨Ｉ
１　　　（ウ）　～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ）　　１２９アイ∨Ｅ
１　　　（エ）～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆　（Ｐ＆Ｑ）｝　ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）（14）により、
（15）
④ ～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆　（Ｐ＆Ｑ）｝
⑤ 　　（ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて
④＝⑤ であって、
④ は、「恒偽式（矛盾）」の「否定」であって、
⑤ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（04）（15）により、
（16）
「恒真式（トートロジー）」の「否定」は「恒偽式（矛盾）」であって、
「恒偽式（矛盾）」の「否定」は、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０３年０５月１８日、毛利太。