「連言除去（＆I）」は「それ自体」として、「妥当」である。

（01）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　仮定
１（２）　Ｐ　　　　　　１連言除去
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１２条件法
（ⅱ）
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　仮定
１（２）　　　Ｑ　　　　１連言除去
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ　１２条件法
従って、
（01）により、
（02）
「仮定、連言除去、条件法」によって、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　仮定
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　仮定
１　（３）　　　　　Ｑ　　　　１連言除去
　２（４）　　　　～Ｑ　　　　２連言除去
１２（５）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　３４連言導入
１　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　２５背理法
１　（７）　～Ｐ∨　Ｑ　　　　６ド・モルガンの法則
１　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　　７含意の定義
１　（９）　　Ｐ　　　　　　　１連言除去
１　（ア）　　　　　Ｑ　　　　８９肯定肯定式
　　（イ）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｑ　１ア条件法
（ⅱ）
１　　（１）　　Ｑ＆　Ｐ　　　　仮定
　２　（２）　　Ｑ＆～Ｐ　　　　仮定
１　　（３）　　　　　Ｐ　　　　１連言除去
　２　（４）　　　　～Ｐ　　　　２連言除去
１２　（５）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　３４連言導入
１　　（６）～（Ｑ＆～Ｐ）　　　２５背理法
１　　（７）　～Ｑ∨　Ｐ　　　　６ド・モルガンの法則
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　　　　７含意の定義
１　　（９）　　Ｑ　　　　　　　１連言除去
１　　（ア）　　　　　Ｐ　　　　８９肯定肯定式
　　　（イ）　（Ｑ＆　Ｐ）→Ｐ　２ア条件法
　　ウ（ウ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　仮定
　　ウ（エ）　　　　　Ｑ　　　　ウ連言除去
　　ウ（オ）　　Ｐ　　　　　　　ウ連言除去
　　ウ（カ）　　Ｑ＆　Ｐ　　　　エオ連言導入
　　ウ（キ）　　　　　　　　Ｐ　１カ肯定肯定式
　　　（ク）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｐ　ウキ条件法
従って、
（03）により、
（04）
「仮定、肯定肯定式、条件法、連言除去、連言導入、背理法、（ド・モルガンの法則、含意の定義）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　仮定
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　仮定
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　仮定
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３選言導入
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４連言導入
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５背理法
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６二重否定
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　仮定
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８選言導入
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９連言導入
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８ア背理法
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ連言導入
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ連言導入
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エ背理法
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オ二重否定
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　仮定
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　仮定
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　　仮定
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　２連言除去
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４連言導入
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５背理法
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　　仮定
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　　２連言除去
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８連言導入
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９背理法
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア選言除去
１２　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１イ連言導入
１　　　（エ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ウ背理法
―「含意の定義」の証明。―
（ⅲ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　仮定
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　仮定
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　仮定
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３選言導入
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４連言導入
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５背理法
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６二重否定
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７肯定肯定式
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８選言導入
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９連言導入
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２ア背理法
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イ二重否定
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　仮定
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　仮定
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　仮定
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２連言除去
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４連言導入
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５背理法
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　仮定
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２連言除去
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８連言導入
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９背理法
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア選言除去
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　仮定
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　仮定
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ連言導入
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ連言導入
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカ背理法
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キ二重否定
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウク条件去
従って、
（05）により、
（06）
「仮定、二重否定、条件法、連言導入、連言除去、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③　 ～Ｐ∨　Ｑ
④ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝② である（ド、モルガンの法則）。
③＝④ である（含意の定義）。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
「仮定、肯定肯定式、条件法、連言除去、連言導入、背理法、（ド・モルガンの法則、含意の定義）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
といふことは、
「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、連言除去、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、
（ａ）「仮定、『連言除去』、条件法」といふ「規則の集合」でなければ、
（ｂ）「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、『連言除去』、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則の集合」により、
「妥当」である。
然るに、
（09）
（ａ）「仮定、『連言除去』、条件法」
（ｂ）「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、『連言除去』、選言導入、選言除去、背理法」
といふ「規則の集合」は、両方とも、
（ａ）『連言除去』を含んでゐて、
（ｂ）『連言除去』を含んでゐる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、
（ａ）『連言除去』が無ければ、「妥当」ではなく、
（ｂ）『連言除去』が無ければ、「妥当」ではない。
従って、
（10）により、
（11）
①（日本人であって、男性である）ならば、日本人である。
②（日本人であって、男性である）ならば、男性　である。
といふ「仮言命題」の「妥当性」は、「それ自体」によって、「保証」されることになる。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人であって、男性である）ならば、日本人である。
②（日本人であって、男性である）ならば、男性　である。
のやうな、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
は、所謂、「公理（axiom）」である。
令和０３年０５月０２日、毛利太。