数学原理（ＰＭ）の５つの公理と、選言導入の規則。

― 長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―

（01）
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルの、数学原理（Principia Mathematica）における公理
（Ⅰ）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
（Ⅱ）　Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
（Ⅲ）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
（Ⅳ）　Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）→Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
（Ⅴ）（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ）
（沢田 允茂、現代論理学入門 、岩波新書 青版 C-14 新書、1962/5/2、１７３頁改）
然るに、
（02）
これらの「５つの公理」を、「自然演繹（E.J.ﾚﾓﾝ）」で、「証明」すると、次の通りである。
（Ⅰ）
１　　（１）Ｐ∨Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　　３（３）　　Ｐ　Ａ
１　　（４）Ｐ　　　１２２３３∨Ｅ
（Ⅱ）
１（１）Ｑ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
（Ⅲ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨Ｐ　１２３４５∨Ｅ
（Ⅳ）
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｐ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
（Ⅴ）
１　　　（１）Ｑ→Ｒ　　　　　　　Ａ
　２　　（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　　　Ａ
　　３　（３）Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）Ｐ∨Ｒ　　　　　　　３∨Ｉ
　　　５（５）　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１　　５（６）　　Ｒ　　　　　　　１５ＭＰＰ
１　　５（７）Ｐ∨Ｒ　　　　　　　６∨Ｉ
１２　　（８）Ｐ∨Ｒ　　　　　　　２３４５７∨Ｅ
１　　　（９）Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ　　　２８ＣＰ
　　　　（ア）（Ｑ→Ｒ）→
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ）　１９ＣＰ
然るに、
（03）
例（選言導入）
以下の推論について考えます。
今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
命題変Ｑ,Ｐを、
　Ｑ：今日は雨が降っている。
　Ｐ：バカボンのパパは天才である。
とおくと、先の推論は、
　Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。
（Ｗｅｂサイト；ＷＩＩＳ改）
従って、
（01）（03）により、
（04）
　Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
すなはち、「前言導入の規則（∨Ｉ）」は、「数学原理の、５つの公理」の中に、「２番目」そのものである。
加へて、
（02）により、
（05）
（Ⅰ）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
を除く、
（Ⅱ）　Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
（Ⅲ）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
（Ⅳ）　Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）→Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
（Ⅴ）（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ）
といふ「４つの公理」は、すべて、
（Ⅱ）今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」によって、「証明」される。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（Ⅱ）今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」は、「ヲカシナ規則」であるとしても、「無くてはならない規則」である。
といふ、ことになる。
令和元年０７月０４日、毛利太。