― 長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
１３ （４） ～象ａ ２３ＭＴＴ
１ （５）～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝→～象ａ ３４ＣＰ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６７ （８） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｘ） ６７ＭＰＰ
９ （９） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
９ （ア） ～～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ） ９ＤＮ
９ （イ） ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ） ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） イ含意の定義
９ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウＥＩ
６７ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８９エＥＥ
６７ （カ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
６ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７カＣＰ
６ （ク） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ含意の定義
６ （ケ）～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ク、ド・モルガンの法則
１ ６ （コ） ～象ａ ５ケＣＰ
１ （サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ ６コＣＰ
シ（シ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
シ（ス） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） シ＆Ｅ
シ（セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シ＆Ｅ
１ シ（ソ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ サスＭＰＰ
１ シ（タ） →～象ａ セソＭＰＰ
１ （チ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ シタＣＰ
１ （ツ）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ チＵＩ
ｃｆ.
１ （１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。 Ａ
１ （ツ）すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、長く、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長い、ならば、ｘは象ではない。 チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）鼻は長く、鼻以外も、長いのであれば、象ではない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
４ （４） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
３４ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ～象ａ ２５ＭＰＰ
１３ （７） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ ４６ＣＰ
１ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ａ ３７ＣＰ
９ （９） 象ａ Ａ
９ （ア） ～～象ａ ９ＤＮ
１ ９ （イ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ８アＭＴＴ
１ ９ （ウ）～｛～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ イ含意の定義
１ ９ （エ）～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウ、ド・モルガンの法則
１ ９ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エＤＮ
１ ９ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） オ＆Ｅ
１ ９ （キ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） オ＆Ｅ
１ ９ （ク） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キ量化子の関係
１ ９ （ケ） ～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ） クＵＥ
１ ９ （コ） ～～鼻ｃａ∨～長ｃ ケ、ド・モルガンの法則
１ ９ （サ） ～鼻ｃａ→～長ｃ コ含意の定義
１ ９ （シ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） サＵＩ
１ ９ （ス） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カシ＆Ｉ
１ （セ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９スＣＰ
１ （ソ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝＝鼻は長く、鼻以外も、長いのであれば、象ではない。
に於いて、両者は、「対偶（contraposition）」であり、それ故、
①＝② である。
然るに、
（03）
マンモス (英語: mammoth) は哺乳綱長鼻目ゾウ科マンモス属 (Mammuthus) に属する種の総称である。現在は全種が絶滅している。
現生のゾウの類縁だが、直接の祖先ではない。約400万年前から1万年前頃（絶滅時期は諸説ある）までの期間に生息していた。巨大な牙が特徴で、種類によっては牙の長さが5.2メートルに達することもある。日本では、シベリアと北アメリカ大陸に生息し、太く長い体毛で全身を覆われた中型のケナガマンモス M. primigenius が有名である（ウィキペディア）。
従って、
（02）（03）により、
（04）
マンモスは、鼻は長く、鼻以外（牙、体毛）も、長いので、象ではない。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝＝鼻は長く、鼻以外も、長いのであれば、象ではない。
といふ「命題」が、「真（本当）であるならば、
③ マンモス象は、象ではない。
といふ、ことになる。
従って、
（06）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）鼻は長く、鼻以外も、長いのであれば、象ではない。 １対偶
１ （〃）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ １対偶
３ （３）マンモスは鼻は長く、牙も長く、マンモスの牙は鼻ではない。 Ａ
３ （〃）∀ｘ｛ﾏﾝﾓｽｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
４ （４）あるマンモスは象である。 Ａ
４ （〃）∃ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） Ａ
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ２ＵＥ
３ （６） ﾏﾝﾓｽａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ３ＵＥ
７ （７） ﾏﾝﾓｽａ＆象ａ Ａ
７ （８） ﾏﾝﾓｽａ ７＆Ｅ
７ （９） 象ａ ７＆Ｅ
３ ７ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ６８ＭＰＰ
３ ７ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
３ ７ （ウ） ∃ｚ（牙ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ア＆Ｅ
エ （エ） 牙ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ＆長ｂ エ＆Ｅ
エ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） オＥＩ
３ ７ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） ウエカＥＥ
３ ７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９オ＆Ｉ
１３ ７ （ケ） ～象ａ ５カＭＰＰ
１３ ７ （コ） 象ａ＆～象ａ ９ケ＆Ｉ
１３４ （サ） 象ａ＆～象ａ ４７コＥＥ
１３ （シ）～∃ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） ４３ＲＡＡ
１３ （ス）∀ｘ～（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） シ量化子の関係
１３ （セ） ～（ﾏﾝﾓｽａ＆象ａ） スＵＥ
１３ （ソ） ～ﾏﾝﾓｽａ∨～象ａ セ、ド・モルガンの法則
１３ （タ） ﾏﾝﾓｽａ→～象ａ ソ含意の定義
１３ （チ）∀ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ→～象ｘ） タＵＩ
１３ （〃）すべてのｘについて、ｘがﾏﾝﾓｽであるならば、ｘは象ではない。 タＵＩ
１３ （〃）ﾏﾝﾓｽは象ではない。 タＵＩ
ｃｆ.
１ （１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。 Ａ
１ （２）すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、長く、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長いならば、ｘは象ではない。 １対偶
３ （３）すべてのｘについて、ｘがマンモスであるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、あるｚはｘの牙であって、鼻ではないが、長い。 Ａ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（１）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 然るに、
（２）マンモスの牙は長く、マンモスの牙は鼻でない。 従って、
（３）あるマンモスが象であるならば、その象は、鼻以外は長くない、にも拘らず、牙も長い。といふことにある。 従って、
（４）あるマンモスが象である。といふことはない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）ﾏﾝﾓｽの牙は長く、ﾏﾝﾓｽの牙は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛ﾏﾝﾓｽｘ→∃ｙ（牙ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（牙ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有るﾏﾝﾓｽは象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘはﾏﾝﾓｽであって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） ﾏﾝﾓｽａ→∃ｙ（牙ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（牙ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） ﾏﾝﾓｽａ＆象ａ Ａ
６ （７） ﾏﾝﾓｽａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（牙ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（牙ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（牙ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 牙ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（牙ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 牙ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 牙ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（ﾏﾝﾓｽｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（ﾏﾝﾓｽａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～ﾏﾝﾓｽａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） ﾏﾝﾓｽａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（ﾏﾝﾓｽｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘがﾏﾝﾓｽであるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）ﾏﾝﾓｽは象ではない。 ナＵＩ
ｃｆ.
１ （１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。 Ａ
２ （２）すべてのｘについて、ｘがﾏﾝﾓｽであるならば、あるｙはｘの牙であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの牙であるならば、ｚはｘの鼻ではない。 Ａ
１２ （チ）あるｘが、ﾏﾝﾓｽであって、象である。といふことはない。 ３タＲＡＡ
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
（１）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 然るに、
（２）マンモスの牙は長く、マンモスの牙は鼻でない。 従って、
（３）あるマンモスが象であるならば、その象は、鼻以外は長くない、にも拘らず、牙も長い。といふことにある。 従って、
（４）あるマンモスが象である。といふことはない。
といふ「推論」は、当然ではあるものの、「対偶」を用ひていも、「対偶」を用ひなくとも、「妥当」である。
令和元年０７月０８日、毛利太。
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