「対偶が等しいこと」は、固より、「当然」である。

― 長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―

（01）
①「ＡであってＢである。」
②「ＢであってＡである。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
①「ＡであってＢである。」
②「ＢであってＡである。」
に於いて、
 Ａ＝Ｐである。
 Ｂ＝Ｑでない。
といふ「代入（replacement）」を行ふと、
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
従って、
（01）（02）により、
（03）
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
に於いて、
①＝② であるならば、
①「Ｐであって、Ｑでない。」の「否定」。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」の「否定」。
に於いても、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
①「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」といふことはない。
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（06）
①「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」といふことはない。
といふことは、
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
といふことに、他ならない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
③「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「説明」出来る。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１　３（６）　～Ｐ
１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　　　３６ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②     Ｐ→　Ｑ
③   ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、③ であり、
② ならば、③ である。
（11）
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　　Ａ
　２　　（２）　～Ｑ　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　Ｐ　　Ａ
１２　　（４）　　　　～Ｐ　　１２ＭＰＰ
１２３　（５）　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ
１　３　（６）～～Ｑ　　　　　２５ＲＡＡ
１　３　（７）　　Ｑ　　　　　６ＤＮ
１　　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　３７ＣＰ
　　　９（９）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　　９（ア）　　Ｐ　　　　　９＆Ｅ
　　　９（イ）　　　　～Ｑ　　９＆Ｅ
１　　９（ウ）　　　　　Ｑ　　８アＭＰＰ
１　　９（エ）　　～Ｑ＆Ｑ　　イウ＆Ｉ
１　　　（オ）～（Ｐ＆～Ｑ）　９エＲＡＡ
従って、
（11）により、
（12）
①     Ｐ→　Ｑ
②   ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① ならば、③ であり、
② ならば、③ である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
①     Ｐ→　Ｑ　＝Ｐであるならば、Ｑである。
②   ～Ｑ→～Ｐ　＝Ｑでないならば、Ｐでない。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
③「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「述語計算」を用ひていても、「説明」出来る。
従って、
（14）により、
（15）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
といふこと、すなはち、「対偶は等しい。」といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「述語計算」を用ひていても、「説明」出来る。
令和元年０７月０９日、毛利太。