「すべての人間は正直である」と「人間の存在」の「述語論理」。

― 長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
（01）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝（～人間ａ＆～人間ｂ＆～人間ｃ）＝すべてのｘは人間でない。
② ∃ｘ（～人間ｘ）＝（～人間ａ∨～人間ｂ∨～人間ｃ）＝　　あるｘは人間でない。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（02）
② ∃ｘ（～人間ｘ）＝（～人間ａ∨～人間ｂ∨～人間ｃ）＝　　あるｘは人間でない。
③ ～∀ｘ（人間ｘ）＝（～人間ａ∨～人間ｂ∨～人間ｃ）＝　　あるｘは人間でない。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝（～人間ａ＆～人間ｂ＆～人間ｃ）＝すべてのｘは人間でない。
③ ～∀ｘ（人間ｘ）＝（～人間ａ∨～人間ｂ∨～人間ｃ）＝　　あるｘは人間でない。
に於いて、
① ならば、③ である。
（04）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｑ　＝Ｐならば、Ｑである。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆（～Ｐ∨　Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　６
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆（～Ｐ∨　Ｑ）　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆（　Ｐ＆～Ｑ）　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　オＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　１３６８ア∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
③   ～Ｐ∨　Ｑ　＝ＰでなくてＱでないか、ＰであってＱであるか、ＰでなくてＱである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 　　Ｐ→　Ｑ　＝Ｐならば、Ｑである。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
③   ～Ｐ∨　Ｑ　＝ＰでなくてＱでないか、ＰであってＱであるか、ＰでなくてＱである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
ｃｆ.
含意の定義、ド・モルガンの法則。
従って、
（08）により、
（09）
① 　Ｐ→Ｑ＝　Ｐならば、Ｑである。
③ ～Ｐ∨Ｑ＝（ＰでなくてＱあるか、ＰでなくてＱでない。）か（ＰであってＱである）。
に於いて、
①＝③である。
従って、
（09）により、
（10）
① 　Ｐ→Ｑ＝　Ｐならば、Ｑである。
① ～Ｐ∨Ｑ＝（ＰでなくてＱあるか、ＰでなくてＱでない。）か（ＰであってＱである）。
に於いて、
① 　　　　　　Ｐでない。ならば、
① 　　　　　　ＰでなくてＱあるか、ＰでなくてＱでない。
従って、
（10）により、
（11）
① ＰならばＱである。
として、
① Ｐでない。
とすると、
① ＰでなくてＱであるか、ＰでなくてＱでない。
然るに、
（12）
① 　　　　　Ｑであるか　　　　　　Ｑでない。
は、「排中律」であるため、「常に、本当（真）」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ＰならばＱである。
として、
① Ｐでない。
ならば、
① ＰならばＱである。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
従って、
（13）により、
（14）
① Ｐでない。
ならば、
① ＰならばＱである。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
従って、
（14）により、
（15）
① Ｐでない。
ならば、
① ＰならばＱである。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
が故に、例へば、
① 　　　～∀ｘ（人間ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間である。といふわけでない。
ならば、
① ∀ｘ（人間ｘ→正直ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間である。ならば、ｘは正直である。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
然るに、
（03）により、
（16）
もう一度、確認すると、
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝すべてのｘは人間でない。
② ～∀ｘ（人間ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間である。といふわけでない。
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝すべてのｘは人間でない。
ならば、
① ～∀ｘ（人間ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間である。といふわけでない。
であって、
① ～∀ｘ（人間ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間である。といふわけでない。
ならば、
① ∀ｘ（人間ｘ→正直ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間であるならば、ｘは正直である。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
従って、
（17）により、
（18）
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝すべてのｘは人間でない。
ならば、
① ∀ｘ（人間ｘ→正直ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが人間であるならば、ｘは正直である。
といふ「命題」は、「常に、真（本当）」である。
然るに、
（19）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① ∀ｘ（～人間ｘ）＝すべてのｘは人間でない。
といふことは、
① ～人間ａ＝ａは人間ではない。
① ～人間ｂ＝ｂは人間ではない。
① ～人間ｃ＝ｃは人間ではない。
といふ、ことである。
然るに、
（20）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① ～人間ａ＝ａは人間ではない。
① ～人間ｂ＝ｂは人間ではない。
① ～人間ｃ＝ｃは人間ではない。
といふことは、
① 人間は一人もゐない。
といふ、ことである。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① 人間が一人もゐない。
としても、
① すべてのｘについて、もしｘが人間であるならば、ｘは正直である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（22）
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
　「すべてのｘについて、もしｘが人間ならばｘは正直である」
は命題論理の法則の一つである
　（Ｐ→Ｑ）＝～（Ｐ＆～Ｑ）
をあてはめれば、「すべてのｘについて、ｘが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１２２頁）。
従って、
（21）（22）により、
（23）
沢田允茂 先生も、さうのべてゐるやうに、
① 人間が一人もゐない。
としても、
① すべてのｘについて、もしｘが人間であるならば、ｘは正直である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（08）（23）により、
（24）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
① すべての人間は正直である＝（　人間ａ→正直ａ）＆（　人間ｂ→正直ｂ）＆（　人間ｃ→正直ｃ）。
② すべての人間は正直である＝（～人間ａ∨正直ａ）＆（～人間ｂ∨正直ｂ）＆（～人間ｃ∨正直ｃ）。
といふ「命題」は、
① 人間が一人もゐない
② 人間が一人もゐない。
としても、「真（本当）」である。
然るに、
（25）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
② すべての人間は正直である＝（～人間ａ∨正直ａ）＆（～人間ｂ∨正直ｂ）＆（～人間ｃ∨正直ｃ）。
であるならば、
② ～人間ａ＝ａは人間ではない。
② ～人間ｂ＝ｂは人間ではない。
② ～人間ｃ＝ｃは人間ではない。
としても、
② すべての人間は正直である＝（～人間ａ∨正直ａ）＆（～人間ｂ∨正直ｂ）＆（～人間ｃ∨正直ｃ）。
といふ「命題」は、「真（本当）」であることは、「当然」である。
従って、
（08）（23）（24）（25）により、
（26）
① 人間が一人もゐない。にも拘らず。
① すべてのｘについて、もしｘが人間であるならば、ｘは正直である。
といふ「命題」が、「真（本当）」である。
といふことは、「ヲカシイ」とするのであれば、その場合は、
① 　　Ｐ→　Ｑ　＝Ｐならば、Ｑである。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
③   ～Ｐ∨　Ｑ　＝ＰでなくてＱでないか、ＰであってＱであるか、ＰでなくてＱである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、「否定」しなければ、ならない。
然るに、
（27）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
③   ～Ｐ∨　Ｑ　＝ＰでなくてＱでないか、ＰであってＱであるか、ＰでなくてＱである。
に於いて、
②＝③ である。
といふことは、有名な「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（28）
① 　　Ｐ→　Ｑ　＝Ｐならば、Ｑである。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② ではない。
といふことも、有り得ない。
令和元年０６月２１日、毛利太。