「象は鼻が長い。」の「述語論理」の「対偶」（Ⅱ）。

―「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
（01）
「先の記事」にも書いた通り、
（ⅰ）
１  （１） Ｐ→Ｑ  Ａ
 ２ （２） Ｐ    Ａ
  ３（３）  ～Ｑ  Ａ
１２ （４）   Ｑ  １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ  ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ    ２５ＲＡＡ
１  （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１  （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
 ２ （２）～Ｑ    Ａ
  ３（３）    Ｐ Ａ
１２ （４）   ～Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｑ   ２５ＲＡＡ
１ ３（７）  Ｑ   ６ＤＮ
１  （８）Ｐ→Ｑ   ３７ＣＰ
従って、
（ⅰ）（ⅱ）により、
（02）
①  Ｐ→ Ｑ＝ＰであるならばＱである。
② ～Ｑ→～Ｐ＝ＱでないならばＰでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
命題「ＰならばＱ」の真偽とその対偶「ＱでないならＰでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい）。
（ウィキペディア改）
従って、
（04）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
① は、② の「対偶」であるが故に、
② は、① の「対偶」であり、それ故、
①＝② である。
然るに、
（05）
「先の記事」にも書いた通り、
（ⅱ）
３  （３）   ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］      Ａ
３  （４）    ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       ３ド・モルガンの法則
３  （５）     ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       ４含意の定義
 ６ （６）     ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）                     Ａ
３６ （７）                ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       ５６ＭＰＰ
３６ （８）                ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）       ７量化子の関係
  ９（９）                  ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）       Ａ
  ９（ア）                 ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）       ９含意の定義
  ９（イ）                   ～（鼻ｃａ∨～長ｃ）       アＤＮ
  ９（ウ）                   ～鼻ｃａ＆～～長ｃ        イ、ド・モルガンの法則
  ９（エ）                    ～鼻ｃａ＆ 長ｃ        ウＤＮ
  ９（オ）                 ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）       オＥＩ
３６ （カ）                 ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）       ８９オＥＥ
３  （キ）      ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）       ６カＣＰ
（ⅲ）
３  （３）      ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）       Ａ
 ４ （４）      ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）                    Ａ               
３４ （５）                 ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）       ３４ＭＰＰ
  ６（６）                    ～鼻ｃａ＆ 長ｃ        Ａ
  ６（７）                 ～～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ）       ６ＤＮ
  ６（８）                 ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）       ７ド・モルガンの法則
  ６（９）                  ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）       ８含意の定義
  ６（ア）                ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）       ６ＥＩ
３４ （イ）                ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）       ５６ＥＥ
３４ （ウ）                ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       イ量化子の関係
３  （エ）     ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       ４ウＣＰ
３  （オ）    ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）       エ含意の定義
３  （カ）   ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］      オ、ド・モルガンの法則
従って、
（05）により、
（06）
② ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］
③　　 ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
含意の定義（Ｄｆ．→）
従って、
（06）により、
（07）
②［　］を省略すると、
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）
③   ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）
③   ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～象ｘ
③   ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ｘ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長いならば、ｘは象ではない。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（13）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことは、要するに、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（14）
③ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの鼻でなくて、ｚも長いならば、ｘは象ではない。
といふことは、
③ あるｙがｘの鼻であって長いのであれば、ｙの次に、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長いのであれば、ｘは象ではない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（15）
③ あるｙがｘの鼻であって長いのであれば、ｙの次に、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長いのであれば、ｘは象ではない。
といふことは、要するに、
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ である「理由」は、両方とも、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」であるからである。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふのであれば、
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻が長い。
と言ふのであって、
① 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻は長い。
とは、言はない。
然るに、
（18）
④ ある兎は象であって、その兎は耳が長い。
とする。
然るに、
（19）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことからすると、
④ ある兎は象であって、その兎は耳が長い。
と、いふのであれば、
④ 兎の耳は、鼻でなければ、ならない。
従って、
（19）により、
（20）
⑤ ある兎が、象であって、尚且つ、その兎の耳が長いにも拘らず、その兎の耳が、鼻ではない。
とするならば、「矛盾」する。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
次のやうな、「述語計算（Predicate calculation）」が、成立する。
１　　　　（１）  ∀ｘ｛　象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→ ～長ｚ）｝  Ａ
１　　　　（２）  ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝　１対偶（contraposition）
１　　　　（３）　∀ｘ｛　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆  長ｚ）→～象ｘ｝　２等式（11）
　４　　　（４）　∀ｘ｛　兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→　～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　４　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。　Ａ
　　５　　（５）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  Ａ
　　５　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。といふわけではない。　Ａ
１　　　　（６）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　  １ＵＥ
　　　　　（７）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ　  　３ＵＥ
　４　　　（８）　　　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）｝　  ４ＵＥ
　　５　　（９）　∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ５量化子の関係
　　　ア　（ア）　　　～（兎ａ→～象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  Ａ
　　　ア　（イ）　　　～（～兎ａ∨～象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ア含意の定義
　　　ア　（ウ）　　　～～兎ａ＆～～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  イ、ド・モルガンの法則
　　　ア　（エ）　　　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ウＤＮ
　　　ア　（オ）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  エ＆Ｅ
　４　ア　（カ）　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　　　　  ８オＭＰＰ
　４　ア　（キ）　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　  カ＆Ｅ
　　　　ク（ク）　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  Ａ
　　　　ク（ケ）　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ク＆Ｅ
　　　　ク（コ）　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ケ＆Ｅ
　４　ア　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　　　　  カ＆Ｅ
　４　ア　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　　　　  サＵＥ
　４　アク（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　  ケシＭＰＰ
　４　アク（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　  コス＆Ｉ
　４　アク（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ）　　　　　  セＥＩ
　４　ア　（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　  キクソＥＥ
　　　ア　（チ）　　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  エ＆Ｅ
１　　ア　（ツ）　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　  ６チＭＰＰ
１　　ア　（テ）　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　  ツ＆Ｅ
１　　ア　（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ　　  ７テＭＰＰ
１４　ア　（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　  タトＭＰＰ
１４　ア　（ニ）　　　　　　　　象ａ＆～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  チナ＆Ｉ
１４５　　（ヌ）　　　　　　　　象ａ＆～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ９アニＥＥ
１４　　　（ネ）～∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ９ヌＲＡＡ
１４　　　（ノ）∀ｘ～～（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ネ量化子の関係
１４　　　（ハ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ノＤＮ
１４　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　　　  ノＤＮ
１４　　　（〃）兎は象ではない。
従って、
（10）（16）（17）（21）により、
（22）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
といふ「述語論理式」は、三つとも、
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻が長い。
といふ「意味」である（Ｑ．Ｅ．Ｄ）。
然るに、
（23）
学校文法は単純な英語文法からの輸入で、主語・述語関係を単純に当てはめたものだ。そのため、「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う。これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）。また、「鼻が」は主格の補語にすぎなく、数ある補語と同じ格であるとする。基本文は述語である「長い」だけだ（三上文法！ : wrong, rogue and log）。
然るに、
（24）
① 象は、鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことからすれば、
「これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。」といふ「説明」は「正しい」。
然るに、
（25）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
然るに、
（26）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（23）～（26）により、
（27）
「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う。
とは言ふものの、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
は、「複数主語（ｘとｙとｚ）」による、
①｛ （　）（　） ｝
といふ「形」の、「入れ子」であって、ｘが、「全体の、主語」である。
（28）
思ふに、「日本語には主語があろうと、なかろう。」と、そんなことは、おそらくは、「どうでも良い」。
令和元年０６月０２日、毛利太。