2019年6月19日水曜日

「象は鼻が長い。」と「鼻は象が長い。」と「鼻が象が長い。」の「述語論理」。

― 長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html
(β)「返り点」と「括弧」の条件。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html
(ζ)「返り点・モドキ」について。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
 Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html
(θ)「括弧」の「順番」。      :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html
(ι)「返り点」と「括弧」の関係   :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
―「昨日の記事(令和元年06月18日)」を書き直します。―

(01)
1     (1)象は鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2    (2)兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。              A
 2    (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3   (3)ある兎は象である。                      A
  3   (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3   (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  1UE
   6  (6)   兎a&象a                       A
   6  (7)      象a                       6&E
   6  (8)   兎a                          6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)               9&E
 2 6  (ウ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    エ (エ)         鼻ba&長b                A
     オ(オ)         耳ba&長b                A
1  6  (カ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6  (キ)                    ~鼻ba→~長b   カUE
 2 6  (ク)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    耳ba→~鼻ba   クUE
    オ (コ)                    耳ba        オ&E
 2 6オ (サ)                        ~鼻ba   ケコMPP
12 6オ (シ)                         ~長b   キサMPP
    オ (ス)             長b                エ&E
12 6オ (セ)             長b&~長b            シス&I
12 6  (ソ)             長b&~長b            ウオセEE
123   (タ)             長b&~長b            36ソEE
12    (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12    (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12    (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12    (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12    (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12    (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12    (〃)兎は象ではない。
従って、
(01)により、
(02)
(1)象長い。
(2)兎には長い耳が有り、兎の耳は鼻ではない。
(3)ある兎は象である。
といふ「仮定」により、
(二)ではない
といふ『結論』を得る。
然るに、
(01)により、
(03)
(3)ある兎は象である。
と「仮定」すると、
(カシ)耳ab→~鼻ba→~長b
(〃)耳ならば、鼻ではないので、長くない。
と、言ってゐる。
従って、
(03)により、
(04)
(3)ある兎は象である。
と「仮定」することによって、
(カシ)兎の耳ならば、兎の鼻ではないので、兎の耳は長くない。
と言ふのはなく、飽くまでも、
(カシ)象の耳ならば、象の鼻ではないので、象の耳は長くない。
と、言ってゐる。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
① 象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
① 象は鼻が長い=すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「日本語・述語論理」からは、
は長くない
といふ『結論』を得ることは、出来ない
然るに、
(06)
① 象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
① 象は鼻が長い=すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
に対して、「単純」に、
② 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y(象yx&長y)&∀z(~象zx→~長z)}。
② 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻であるならば、あるyはxの象であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの象でないならば、zは長くない。
であるとする。
然るに、
(07)
② 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻であるならば、
といふことは、
② あるyはx(鼻)の象であって、yは長く、すべてのzについて、zがx(鼻)の象でないならば、zは長くない。
といふ、ことである。
然るに、
(08)
② あるyは「の鼻」である。
に対して、
② あるyは「の象」である。
といふ「日本語」は、「意味」をなさない
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
② 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y(象yx&長y)&∀z(~象zx→~長z)}。
② 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻であるならば、あるyはxの象であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの象でないならば、zは長くない。
といふ、
②「日本語」=「述語論理式」。
は、「マチガイ」である。
然るに、
(10)
② 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y(象yx&長y)&∀z(~象zx→~長z)}。
② 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻であるならば、あるyはxの象であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの象でないならば、zは長くない。
ではなく、
③ 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y[(象y&鼻xy&長x)&∀z(~鼻zy→~長z]}。
③ 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻ならば、あるyは象であって、xはyの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがy(象)の鼻でないならば、zは長くない。
であると、する。
然るに、
(11)
1     (1)鼻は象が長い。                             A
1     (〃)∀x{鼻x→∃y[(象y&鼻xy&長x)&∀z(~鼻zy→~長z)]} A
1     (〃)すべてのxについて、xが鼻ならば、あるyは象であって、xはyの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがyの鼻でないならば、zは長くない。 A
1     (2)   鼻a→∃y[(象y&鼻ay&長a)&∀z(~鼻zy→~長z)]  1UE
 3    (3)鼻はある。                               A
 3    (〃)∃x(鼻x)                              A
 3    (〃)あるx鼻である。                            A
  4   (4)   鼻a                               A
1 4   (5)      ∃y[(象y&鼻ay&長a)&∀z(~鼻zy→~長z)]  24MPP
1 4   (6)         (象b&鼻ab&長a)&∀z(~鼻zb→~長z)   A
1 4   (7)         (象b&鼻ab&長a)                6&E
1 4   (8)                     ∀z(~鼻zb→~長z)   6&E
1 4   (9)                        ~鼻ab→~長a    &UE
   ア  (ア)兎の耳は鼻ではない。                          A
   ア  (〃)∃x∃y(耳xy&兎y&~鼻xy)                   A
   ア  (〃)あるxはあるyの耳であって、yは兎であって、xはyの鼻ではない。    A
    イ (イ)  ∃y(耳ay&兎y&~鼻ay)                   A
     ウ(ウ)     耳ab&兎b&~鼻ab                    A
     ウ(エ)     耳ab&兎b                         ウ&E
     ウ(オ)            ~鼻ab                    エ&E
1 4  ウ(カ)                               ~長a    9オMPP
1 4  ウ(キ)     耳ab&兎b&~長a                     エカ&I
1 4  ウ(ク)  ∃y(耳ay&兎y&~長a)                    キEI
1 4 イ (ケ)  ∃y(耳ay&兎y&~長a)                    イウクEE
1 4 イ (コ)∃x∃y(耳xy&兎y&~長x)                    クEI
1 4ア  (サ)∃x∃y(耳xy&兎y&~長x)                    アイコEE
13 ア  (シ)∃x∃y(耳xy&兎y&~長x)                    34サEE
13 ア  (〃)あるxは、あるyの耳であって、yは兎であって、xは長くない。      34サEE
13 ア  (〃)長くない。                           34サEE
従って、
(11)により、
(12)
(1)鼻は象が長い。
(3)鼻はある。 
(ア)兎の耳は鼻ではない。
といふ「仮定」により、 
(シ)長くない。 
といふ『結論』を得る。
然るに、
(13)
(シ)長い
が故に、
(シ)長くない
といふのは、「マチガイ」である。
従って、
(09)~(13)により、
(14)
② 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y(象yx&長y)&∀z(~象zx→~長z)}。
② 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻であるならば、あるyはxの象であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの象でないならば、zは長くない。
といふ、
②「日本語」=「述語論理式」。
に加へて、
③ 鼻は象が長い=∀x{鼻x→∃y[(象y&鼻xy&長x)&∀z(~鼻zy→~長z]}。
③ 鼻は象が長い=すべてのxについて、xが鼻ならば、あるyは象であって、xはyの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがy(象)の鼻でないならば、zは長くない。
といふ、
②「日本語」=「述語論理式」。
も、「マチガイ」である。
然るに、
(15)
「xはyの鼻であって、yは象である。」⇔「xは象の鼻である。」
従って、
(15)により、
(16)
「(xはyの鼻であって、yは象である。)ならば、xは長い。」⇔「鼻は象は長い。」
従って、
(16)により、
(17)
「(xはyの鼻であって、yは象である。)ならば、そのときに限って、xは長い。」⇔「鼻は象が長い。」
従って、
(17)により、
(18)
「すべてのxと、すべてのyについて(xはyの鼻であって、yは象である。)ならば、そのときに限って、xは長い。」⇔「鼻は、常に、象が長い。」
従って、
(15)~(18)により、
(19)
③ 鼻は象が長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
③ 鼻は象が長い=すべてのxとすべてのyについて、(xはyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(xがyの鼻であって、yが象である)でないならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(20)
1   (1)象には鼻がある。                             A
1   (〃)∃x∃y(鼻xy&象y)                         A
1   (〃)あるxはあるyの鼻であって、yは象である。                 A
 2  (2)  ∃y(鼻ay&象y)                           A
  3 (3)     鼻ab&象b                                                 A
   4(4)鼻は象が長い。                              A
      4(〃)∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]]} A
      4(5)  ∀y{[(鼻ay&象y]→長a]&[~(鼻ay&象y)→~長a]}  4UE
   4(6)      (鼻ab&象b)→長a & ~(鼻ab&象b)→~長a    5UE
   4(7)      (鼻ab&象b)→長a                    6&E
   34(8)               長a                    37MPP
  34(9)      鼻ab&象b&長a                                              38&I
  34(ア)   ∃y(鼻ay&象y&長a)                       9EI
 2 4(イ)  ∃y(鼻ay&象y&長a)                      23アEE
 2 4(ウ)∃x∃y(鼻xy&象y&長x)                      イEI
1  4(エ)∃x∃y(鼻xy&象y&長x)                      12ウEE
1  4(〃)あるxは、あるyの鼻であって、yは象であって、xは長い。         12ウEE
1  4(〃)長い。                              12ウEE
従って、
(20)より、
(21)
(1)象には鼻がある。 
(4)鼻長い。
といふ「仮定」により、
(エ)長い。 
といふ『結論』を得る。
然るに、
(22)
1    (1)兎には鼻があるが、兎は象ではない。                    A
1    (〃)∃x∃y(鼻xy&兎y&~象y)                     A
1    (〃)あるxはあるyの鼻であって、yは兎であって、象でない。          A
 2   (2)   ∃y(鼻ay&兎y&~象y)                      A
  3  (3)      鼻ab&兎b&~象b                                         A
  3  (4)     鼻ab                             3&E
  3  (5)         兎b                          3&E
  3  (6)            ~象b                      3&E
   7 (7)鼻は象が長い。                              A
      7 (〃)∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]]} A
      7 (8)  ∀y{[(鼻ay&象y]→長a]&[~(鼻ay&象y)→~長a]}  4UE
   7 (9)      (鼻ab&象b)→長a & ~(鼻ab&象b)→~長a    5UE
   7 (ア)                    ~(鼻ab&象b)→~長a    6&E
    イ(イ)                      鼻ab→~象b        A
    イ(ウ)                     ~鼻ab∨~象b        イ含意の定義
    イ(エ)                    ~(鼻ab&象b)        ウ、ド・モルガンの法則
   7イ(オ)                              ~長a    アエMPP
   7 (カ)                      鼻ab→~象b→~長a    イオCP
  37 (キ)                          ~象b→~長a    4カMPP
  37 (ク)                              ~長a    6キMPP
  3  (ケ)     鼻ab&兎b                          45MPP
  37 (コ)     鼻ab&兎b&~長a                      クケ&I
  37 (サ)  ∃y(鼻ay&兎y&~長a)                     コEI
 2 7 (シ)  ∃y(鼻ay&兎y&~長a)                     23サEE
 2 7 (ス)∃x∃y(鼻xy&兎y&~長x)                     シEI
1  7 (セ)∃x∃y(鼻xy&兎y&~長x)                     12スEE
1  7 (〃)あるxは、あるyの鼻であって、yは兎であって、xは長くない。       12スEE
1  7 (〃)は長くない。                            12スEE
従って、
(22)より、
(23)
(1)兎には鼻があるが、兎は象ではない。 
(7)鼻長い。
といふ「仮定」により、
(セ)は長くない。 
といふ『結論』を得る。
従って、
(21)(23)により、
(24)
「鼻長い。」⇔「の鼻は長い。」
「鼻長い。」⇔「の鼻は長くない。」
従って、
(19)~(24)により、
(25)
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
③ 鼻長い=すべてのxとすべてのyについて、(xはyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(xがyの鼻であって、yが象である)でないならば、xは長くない。
といふ、
③「日本語」=「述語論理式」。
は、「正しい」。
然るに、
(22)により、
(26)
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
の場合は、
(オ)鼻ab→~象b→~長a ⇔
(〃)aがbの鼻であるならば、bが象でないならば、aは長くない。
と、言ってゐる。
従って、
(26)により、
(27)
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
の場合は、
(オ)鼻に関して言へば、「象以外の鼻は長くない。」
と言ってゐるが、
{xの変域}={兎、象、馬、キリン}
であるとして、このことは、「正しい」。
然るに、
(28)
交換法則」により、
③(xy&象y)は、
③(y&鼻xy)に、「等しい」。
従って、
(27)(28)により、
(29)
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
③ 鼻_象長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(象y&鼻xy)→~長x]}。
の場合は、
(オ)「鼻に関して言へば、象以外は長くない。」と言ってゐて、尚且つ、
(〃)「象に関して言へば、鼻以外は長くない。」と言ってゐる。
然るに、
(30)
③「鼻以外は長くない。」といふことは、
③「鼻長い。」といふ、ことであって、
③「鼻は長い。」といふ、ことではない
従って、
(29)(30)により、
(31)
③ 鼻は象長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
ではなく、
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
でなければ、ならない。
然るに、
(32)
② ∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
であるならば、
③ ∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[象y→(~鼻xy→~長x)]}。
ではないため、
③ ∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
ではない。
従って、
(32)により、
(33)
② ∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
であるならば、
(オ)鼻に関して言へば、「象以外の鼻は長くない。」
と言ってゐるが、
(オ)象に関して言へば、「鼻以外の鼻は長くない。」
とは、言ってゐない
従って、
(27)~(33)により、
(34)
② 鼻は象長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
③ 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[~(鼻xy&象y)→~長x]}。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(05)(34)により、
(35)
① 象長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
② 鼻長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(36)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
② ∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
に於いて、「両者は、全然、似てゐない。」
従って、
(35)(36)により、
(37)
両方とも、
① AはBがCである。
② AはBがCである。
であるにも、拘らず、
① 象鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
② 鼻象が長い=∀x∀y{[(鼻xy&象y)→長x]&[鼻xy→(~象y→~長x)]}。
といふ「日本語の論理構造」は、「全く、似てゐない」。
令和元年06月19日、毛利太。

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