返り点に対する「括弧」の用法。: 2月 2020

2020年2月29日土曜日

「師の説（韓愈）」の「述語論理」（改）。

（01） ① 弟子不必不如師＝ ① 弟子不_二必不_一レ如_レ師＝ ① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒ ① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝ ① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝ ① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説、韓愈）。然るに、（02）（ⅱ）１　（１）～∀ｘ｛弟子ｘ→　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝　Ａ１　（２）∃ｘ～｛弟子ｘ→　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝　１量化子の関係　３（３）　　～｛弟子ａ→　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）｝　Ａ（２の代表的選言項）　３（４）　　～｛～弟子ａ∨∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）｝　３含意の定義　３（５）　　　　弟子ａ＆～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　４ド・モルガンの法則　３（６）　　　　弟子ａ　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ　３（７）　　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　５＆Ｅ　３（８）　　　　　　　　∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ）　　６量化子の関係　３（９）　　　　　　　　　　～（師ｂａ＆～如ａｂ）　　７ＵＥ　３（ア）　　　　　　　　　　　～師ｂａ∨　如ａｂ　　　８ド・モルガンの法則　３（イ）　　　　　　　　　　　　師ｂａ→　如ａｂ　　　９含意の定義　３（ウ）　　　　　　　　　∀ｙ（師ｙａ→　如ａｙ）　　イＵＩ　３（エ）　　　　弟子ａ＆　∀ｙ（師ｙａ→　如ａｙ）　　５ウ＆Ｉ　３（オ）　∃ｘ｛弟子ｘ＆　∀ｙ（師ｙｘ→　如ｘｙ）｝　エＥＩ１　（カ）　∃ｘ｛弟子ｘ＆　∀ｙ（師ｙｘ→　如ｘｙ）｝　２３オＥＥ（ⅲ）１　　（１）　∃ｘ｛弟子ｘ＆　∀ｙ（師ｙｘ→　如ｘｙ）｝　Ａ　２　（２）　　　　弟子ａ＆　∀ｙ（師ｙａ→　如ａｙ）　　Ａ（１の代表的選言項）　２　（３）　　　　弟子ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　　　　　　∀ｙ（師ｙａ→　如ａｙ）　　２＆Ｅ　２　（５）　　　　　　　　　　　　師ｂａ→　如ａｂ　　　４ＵＥ　２　（６）　　　　　　　　　　　～師ｂａ∨　如ａｂ　　　５含意の定義　２　（７）　　　　　　　　　　～（師ｂａ＆～如ａｂ）　　６ド・モルガンの法則　２　（８）　　　　　　　　∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ）　　７ＵＩ　２　（９）　　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　８量化子の関係　　ア（ア）　　　　弟子ａ→　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　Ａ（エのＲＡＡを目指す）　２ア（イ）　　　　　　　　　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　３アＭＰＰ　２ア（ウ）　　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　９イ＆Ｉ　２　（エ）　　～｛弟子ａ→　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　アウＲＡＡ　２　（オ）∃ｘ～｛弟子ｘ→　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝　エＥＩ１　　（カ）∃ｘ～｛弟子ｘ→　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝　１２オＥＥ１　　（キ）～∀ｘ｛弟子ｘ→　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝　カ量化子の関係従って、（02）により、（03） ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ ③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆∀ｙ（師ｙｘ→　如ｘｙ）｝に於いて、すなはち、 ②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及ばない。｝といふことはない。 ③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（04） ③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。といふことは、 ③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。といふことである。然るに、（05） ③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。といふことは、 ① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説、韓愈）。といふことである。然るに、（06） ②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及ばない。｝といふことはない。 ③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。といふ「意味」である所の ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ ③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆∀ｙ（師ｙｘ→　如ｘｙ）｝といふ「式」は、 ② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。 ③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。といふ「意味」である。然るに、（07） ② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。 ③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。といふことは、 ② その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。 ③ その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。といふことを、「否定」しない。然るに、（08） ① 弟子不必不如師＝ ① 弟子不_二必不_一レ如_レ師＝ ① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒ ① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝ ① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝ ① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説　韓愈）。といふ「漢文」は、「師匠」は、「一人」であるとする方が、「自然」である。然るに、（09） ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝に対して、 ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝とするならば、すなはち、 ②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及ばず、すべてのｚについて、ｚがｘの師匠であるならば、ｚはｙと同一人物である｝といふことはない。とするならば、 ② 弟子ｘの、師匠ｙは、一人しかゐない。然るに、（10）（ⅱ）１　　　　（１）～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　Ａ１　　　　（２）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　１量化子の関係　３　　　（３）　　～｛弟子ａ→［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］｝　Ａ（２の代表的選言項）　３　　　（４）　～｛～弟子ａ∨［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］｝　３含意の定義　３　　　（５）　　　弟子ａ＆～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　４ド・モルガンの法則　３　　　（６）　　　弟子ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ　３　　　（７）　　　　　　　～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　５＆Ｅ　３　　　（８）　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）∨～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　７ド・モルガンの法則　　９　　（９）　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（８選言項Ｌ）　　９　　（ア）　　　　　　　∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係　　９　　（イ）　　　　　　　　　～（師ｂａ＆～如ａｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　アＵＥ　　９　　（ウ）　　　　　　　　　　～師ｂａ∨　如ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則　　９　　（エ）　　　　　　　　　　　師ｂａ→　如ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義　　９　　（オ）　　　　　　　　∀ｙ（師ｙａ→　如ａｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＵＩ　　９　　（カ）　　　　　　　～∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）∨∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　オ∨Ｉ　　９　　（キ）　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　カ含意の定義　　　ク　（ク）　　　　　　　～∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（８選言項Ｒ）　　　ク　（ケ）　　　　　　　～∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）∨∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　ク∨Ｉ　　　ク　（コ）　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　ケ含意の定義　３　　　（サ）　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　８９キクコ∨Ｅ　　　　シ（シ）　　　　　　　～∃ｚ（師ｚａ＆　ｚ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（テのＣＰを目指す）　　　　シ（ス）　　　　　　　∀ｚ～（師ｚａ＆　ｚ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　シ含意の定義　　　　シ（セ）　　　　　　　　　～（師ｃａ＆　ｃ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　スＵＥ　　　　シ（ソ）　　　　　　　　　　～師ｃａ∨　ｃ＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　セ、ド・モルガンの法則　　　　シ（タ）　　　　　　　　　　　師ｃａ→　ｃ＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ含意の定義　　　　シ（チ）　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→　ｚ＝ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＩ　３　　シ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　サチＭＰＰ　３　　　（テ）　　　　　　　　～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　シツＣＰ　３　　　（ト）　　　弟子ａ＆［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］　　　６テ＆Ｉ（目標達成）　３　　　（ナ）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝　　トＥＩ１　　　　（ニ）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝　　２３ナＥＥ（ⅲ）１　　　　　（１）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝　　Ａ　２　　　　（２）　　　弟子ａ＆［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］　　　Ａ（１の代表的選言項）　２　　　　（３）　　　弟子ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　　　　（４）　　　　　　　［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］　　　２＆Ｅ　　３　　　（５）　　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（ウのＣＰを目指す）　　３　　　（６）　　　　　　　　　　　　師ｃａ→ｃ＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ　　３　　　（７）　　　　　　　　　　　～師ｃａ∨ｃ＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義　　３　　　（８）　　　　　　　　　　～（師ｃａ＆ｃ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則　　３　　　（９）　　　　　　　　∀ｚ～（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　８ＵＩ　　３　　　（ア）　　　　　　　　～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係　２３　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　４アＭＰＰ　２　　　　（ウ）　　　　　　　　　∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　３イＣＰ　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）　　　　Ａ（ウでＭＴＴ、シでＣＰがしたい）　　　　オ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　師ｂａ＆～如ａｂ　　　　　Ａ（エの代表的選言項）　　　　オ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～師ｂａ∨如ａｂ）　　　　オ、ド・モルガンの法則　　　　オ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（師ｂａ→如ａｂ）　　　　カ含意の定義　　　　オ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ～（師ｙａ→如ａｙ）　　　　キＥＩ　　　エ　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ～（師ｙａ→如ａｙ）　　　　エオクＥＥ　　　エ　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）　　　　ケ量化子の関係　２　エ　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　　ウコＭＴＴ　２　　　　（シ）　　　　　　　　　∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）→～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）　　エサＣＰ　２　　　　（ス）　　　　　　　　～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）∨～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）　　含意の定義　２　　　　（セ）　　　　　　　～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　ス、ド・モルガンの法則　　　　　ソ（ソ）　　　　弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］　　Ａ（ツのＲＡＡがしたい）　２　　　ソ（タ）　　　　　　　　［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］　　２ソＭＰＰ　２　　　ソ（チ）　　　　　　　～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］＆　　　　　　　　　　　　　　　　　［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　セタ＆Ｉ　２　　　　（ツ）　　～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　ソチＲＡＡ（目標達成）　２　　　　（テ）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　ツＥＩ１　　　　　（ト）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　１２テＥＥ１　　　　　（ナ）～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　ト量化子の関係従って、（10）により、（11） ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ ③ 　∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆　ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝に於いて、すなはち、 ②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及ばず、すべてのｚについて、ｚがｘの師匠であるならば、ｚとｙは同一である。｝といふことはない。 ③ ある｛ｘは弟子であって、ｘの師匠は、ｙ以外にはゐないものの、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（12） ③ ある｛ｘは弟子であって、ｘの師匠は、ｙ以外にはゐないものの、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。といふことは、 ③ ｙといふ、一人の師匠の弟子の中には、そのｙに劣らない、ｘといふ、弟子がゐる。といふことである。従って、（08）（11）（12）により、（13） ① 弟子不必不如師＝ ① 弟子不_二必不_一レ如_レ師＝ ① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒ ① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝ ① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝ ① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説　韓愈）。といふ「漢文」は、 ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［　∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ ③ 　∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆　ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝といふ「述語論理（Predicate logic）」に、対応する。然るに、（14）「昨日（令和０２年０２月２８日）」で説明した通り、例へば、 ① 學而不思則罔（学びて思はざれば、すなはち、罔し）。 ② 學＆～思→罔（學であって、思でないならば、罔である）。に於いて、 ① の「漢文」と、 ② の「論理式」は、「完全に等しい」。然るに、（15） ① 弟子不必不如師。 ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝に於いて、 ① の「漢文」と、 ② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。然るに、（16）それでは、狭義の述語論理において究極的な主語となるものは何であろうか。それは「人間」というような一般的なものではない。また「ソクラテス」も述語になりうるし、「これ」すらも「これとは何か」という問に対して「部屋の隅にある机がこれです」ということができる。そこで私たちは主語を示す変項ｘ、ｙを文字通りに解釈して、「或るもの」（英語で表現するならば something）とか、「他の或るもの」というような不定代名詞にあたるものを最も基本的な主語とする。そこで「ソクラテスは人間である」といふ一つの文は、　（ｘはソクラテスである）（ｘは人間である）という、もっとも基本的な主語－述語からなる二つの文の特定の組み合わせと考えることができる。すなわち、　ＳはＰである。という一般的な主語－述語文は、　Ｆｘ　Ｇｘという二つの文で構成されていると考える。そしてこの場合、Ｆｘはもとの文の主語に対応し、Ｇｘは述語に対応していることがわかる。（沢田充茂、現代論理学入門、1962年、１１８・１１９頁）従って、（16）により、（17）「述語論理（Predicate logic）」の場合は、一つには、　ＳはＰである。という一般的な主語－述語文であっても、　Ｆｘ（ｘはＦである）　Ｇｘ（ｘはＧである）という二つの文で構成されていると考える。が故に、 ① 弟子不必不如師。 ② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝に於いて、 ① の「漢文」と、 ② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。といふ、ことになる。（18）以前に書いた、｛「師の説（韓愈）」の「述語論理」｝に関しては、無かったことに、して貰へると、助かります。令和０２年０２月２９日、毛利太。

2020年2月28日金曜日

「漢文」と「命題論理」。

（01） ① 學而不思則罔＝ ① 學而不（思）則罔⇒ ① 學而（思）不則罔＝ ① 学びて思はざれば則ち罔し＝ ① 学んでも、考へなければ、〔物事は〕ハッキリしない（論語、爲政、十五）。然るに、（02）「而」は「＆」であって、「不」は「～」であって、「則」は「→」であって、 ① 學而不思則罔。といふ「漢文」は、まさに、 ② 學＆～思→罔。といふ「論理式」そのものである。然るに、（03）「～」の「結合力」は、「＆」の「結合力」よりも強く、「＆」の「結合力」は、「→」の「結合力」よりも強い。従って、（02）（03）により、（04） ① 學而不思則罔。 ② 學＆～思→罔。に於いて、 ①＝② であるならば、 ①（學而不思）則罔。 ②（學＆～思）→罔。に於いて、 ①＝② である。然るに、（05）（ⅰ）１　　（１）　（學＆～思）→罔　Ａ　２　（２）　　　　　　　～罔　Ａ１２　（３）～（學＆～思）　　　１２ＭＴＴ１２　（４）　～學∨　思　　　　３ド・モルガンの法則１２　（５）　　學→　思　　　　４含意の定義１　　（６）～罔→（學→思）　　２５ＣＰ　　７（７）（學＆～罔）　　　　７Ａ　　７（８）　　～罔　　　　　　７＆Ｅ１　７（９）　　　　學→思　　　７８ＭＰＰ　　７（ア）　　　　學　　　　　７＆Ｅ１　７（イ）　　　　　　思　　　９アＭＰＰ１　　（ウ）（學＆～罔）→思　　７イＣＰ（ⅱ）１　　（１）　（學＆～罔）→思　Ａ　２　（２）　　　　　　　～思　Ａ１２　（３）～（學＆　罔）　　　１２ＭＴＴ１２　（４）　～學∨　罔　　　　３ド・モルガンの法則１２　（５）　　學→　罔　　　　４含意の定義１　　（６）～思→（學→　罔）　２５ＣＰ　　７（７）（學＆～思）　　　　Ａ　　７（８）～思　　　　　　　　７＆Ｅ１　７（９）　　　　學→　罔　　７８ＭＰＰ　　７（ア）　　　　學　　　　　７＆Ｅ１　７（イ）　　　　　　　罔　　９アＭＰＰ１　　（ウ）（學＆～思）→罔　　７イＣＰ従って、（05）により、（06） ①（學＆～思）→罔 ②（學＆～罔）→思に於いて、 ①＝② である。 ① 学びて思はざれば則ち罔し。 ② 学びて罔かざれば、則ち思ふ。従って、（01）（06）により、（07） ① 学んでも、考えなければ、（物事）はハッキリしない。 ② 学んでゐて、その上、（物事）がハッキリするのであれば、考へてゐる。に於いて、 ①＝② である。然るに、（08）魯の人。孔門十哲の一人で、随一の秀才。孔子にその将来を嘱望されたが、孔子に先立って没した。顏回は名誉栄達を求めず、ひたすら孔子の教えを理解し実践することを求めた。その暮らしぶりは極めて質素であったという。このことから老荘思想発生の一源流とみなす説もある（ウィキペディア）。従って、（01）（07）（08）により、（09） ② 顏回は、学んでゐて、その上、（物事）がハッキリしてゐるので、考へてゐる。従って、（04）～（09）により、（10） ①（學而不思）則罔。 ②（學＆～思）→罔。に於いて、 ①＝② である。ｃｆ. ① 学びて思はざれば則ち罔し。 ② 学びて思はざれば則ち罔し。然るに、（11）「～」の「結合力」は、「＆」の「結合力」よりも強く、「＆」の「結合力」は、「→」の「結合力」よりも強い。と決めたのは、「むやみに括弧が多くなるのが、我慢できないからである（E.J.レモン）。」従って、（10）（11）により、（12） ①（學而不思）則罔。 ②（學＆～思）→罔。は、「普通」は、 ① 學而不思則罔。 ② 學＆～思→罔。といふ風に、書く。従って、（10）（12）により、（13） ① 學而不思則罔。といふ「漢文」は、 ② 學＆～思→罔。といふ「論理式」そのものである。然るに、（14）ｼﾞｮ【如】［接続詞］２もシクハＡ如シクハＢ　［読み］ＡもシクハＢ：Ａ・Ｂは体言　［訳］ＡあるいはＢ、ＡまたはＢ（天野成之、漢文基本語辞典、1999年、２０６頁）従って、（14）により、（15）「∨（または）」＝「如」である。従って、（05）（13）（15）により、（16）「計算（05）」は、（ⅰ）１　　（１）　學而不思則罔　Ａ　２　（２）　　　　　不罔　Ａ１２　（３）不學而不思　　　１２ＭＴＴ１２　（４）不學如　思　　　３ド・モルガンの法則１２　（５）　學則　思　　　４含意の定義１　　（６）不罔則學則思　　２５ＣＰ　　７（７）學而不罔　　　　７Ａ　　７（８）　　不罔　　　　７而Ｅ１　７（９）　　　學則思　　８ＭＰＰ　　７（ア）　　　學　　　　７而Ｅ１　７（イ）　　　　　思　　９アＭＰＰ１　　（ウ）學而不罔則思　　７イＣＰ（ⅱ）１　　（１）　學而不罔則思　Ａ　２　（２）　　　　　不思　Ａ１２　（３）不學而　罔　　　１２ＭＴＴ１２　（４）　不學如　罔　　３ド・モルガンの法則１２　（５）　　學則　罔　　４含意の定義１　　（６）不思則學則　罔　２５ＣＰ　　７（７）學而不思　　　　Ａ　　７（８）不思　　　　　　７而Ｅ１　７（９）　　　學則　罔　７８ＭＰＰ　　７（ア）　　　學　　　　７而Ｅ１　７（イ）　　　　　　罔　９アＭＰＰ１　　（ウ）學而不思則罔　　７イＣＰといふ「計算（16）」と、「完全に、同じ」である。然るに、（17）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（17）により、（18）「計算（17）」は、（ⅰ）１　　（１）　　　　甲則乙　　　Ａ　２　（２）　不（不甲如乙）　　Ａ　　３（３）　　　不甲　　　　　Ａ　　３（４）　　　不甲如乙　　　３如Ｉ　２３（５）　不（不甲如乙）而　　　　　　　　（不甲如乙）　　２４而Ｉ　２　（６）　　不不甲　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　甲　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　乙　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　不甲如乙　　　８如Ｉ１２　（ア）　不（不甲如乙）而　　　　　　　　（不甲如乙）　　２９而Ｉ１　　（イ）不不（不甲如乙）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　不甲如乙　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　不甲如　乙　　　Ａ　２　　　　（２）　　甲而不乙　　　Ａ　　３　　　（３）　不甲　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　甲　　　　　　２而Ｅ　２３　　　（５）　不甲而甲　　　　３４而Ｉ　　３　　　（６）不（甲而不乙）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　乙　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　不乙　　　２而Ｅ　２　７　　（９）　　乙而不乙　　　６７而Ｉ　　　７　　（ア）不（甲而不乙）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）不（甲而不乙）　　１３６７ア如Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　甲　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　不乙　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　甲而不乙　　　ウエ而Ｉ１　　　ウエ（カ）不（甲而不乙）而　　　　　　　　　　（甲而不乙）　　イオ而Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　不不乙　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　乙　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　甲則　乙　　　ウクＣ甲といふ「計算（18）」と、「完全に、同じ」である。従って、（17）（18）により、（19） ①　甲則乙（Ｐならば、Ｑである）。 ② 不甲如乙（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。従って、（01）～（19）により、（20）「漢文」といふ「集合」は、「命題論理」を、その「部分集合」として、含んでゐる。従って、（21）明治以前の日本人は、漢文を読むことで論理的な考えを身につけました。漢文は論理的な構文をたくさん含んでいるからです（山下正男、論理的に考えること、1985年、ⅲ）。といふ「言ひ方」は、「正しい」。従って、（20）（21）により、（22）「中国語」は学んでも、「漢文」を学ぼうとしない、令和時代の日本人が、明治以前の日本人よりも、「論理的に考えること」が苦手であることは、「已むを得ない」。令和０２年０２月２８日、毛利太。

2020年2月26日水曜日

「ド・モルガンの法則」：「連言（∩）と選言（∪）」が混在する場合（Ⅲ）。

（01） ―「昨日（2020年2月25日）」は、「半分」しか「計算」しなかったものの、「今回」は、「もう半分を、計算」する。― ―「昨日の計算」は、次の通りである。― （ⅰ）１　　　　　　（１）　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ　２　　　　　（２）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２３　　　　（４）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　３∨Ｉ　２３　　　　（５）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２４＆Ｉ　２　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ（半分ゲット）　　　８　　　（８）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　　　８　　　（９）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８∨Ｉ　２　８　　　（ア）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２９＆Ｉ　２　　　　　（イ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ＲＡＡ　　　　ウ　　（ウ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ（ＲＡＡを目指す）　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　エ　（オ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　エ∨Ｉ　　　　ウエ　（カ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　イオ＆Ｉ　　　　ウ　　（キ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ　　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ク∨Ｉ　　　　ウ　ク（コ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウケ＆　　　　ウ　　（サ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　クコＲＡＡ　　　　ウ　　（シ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　キサ＆Ｉ　２　　ウ　　（ス）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　イシ＆Ｉ　２　　　　　（セ）　　　　～～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウスＲＡＡ　２　　　　　（ソ）　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　セＤＮ（残りもゲット）　２　　　　　（タ）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　７ソ＆Ｉ１２　　　　　（チ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１タ＆Ｉ１　　　　　　（ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２チＲＡＡ１　　　　　　（テ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ツＤＮ（ⅱ）１　　　　　　（１）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　２　　　　　（２）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ（１選言項Ｌ）　２　　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ　　３　　　　（６）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２５ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　２＆Ｅ　　　８　　　（８）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　Ａ（１選言項Ｒ）　　　　９　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　８　　　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ　　　８９　　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ　　　　９　　（ウ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８イＲＡＡ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　８　　　（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　８＆Ｅ　　　８　エ　（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　エオ＆Ｉ　　　　　エ　（キ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８カＲＡＡ　２　　　　　（ク）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７９ウエキ∨Ｅ　２　８　　　（ケ）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ク＆Ｉ　　　８　　　（コ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２ケＲＡＡ１　　　　　　（サ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１３６８コ∨Ｅ従って、（01）により、（02） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（03）（ⅲ）１　　　　　（１）　　（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　Ａ　２　　　　（２）　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　　Ａ　　３　　　（３）　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　Ａ（１選言項Ｌ）　２　　　　（４）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　２＆Ｅ　　　５　　（５）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（４選言項Ｌ）　　３　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　３＆Ｅ　　３５　　（７）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　５６＆Ｉ　　　５　　（８）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　３７ＲＡＡ　　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ（４選言項Ｒ）　　３　　　（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　３＆Ｅ　　３　９　（イ）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　９ア＆Ｉ　　　　９　（ウ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　３イＲＡＡ　２　　　　（エ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　４５８９ウ∨Ｅ　２３　　　（オ）　～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　３エ＆Ｉ　　３　　　（カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　２オＲＡＡ　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ（１選言項Ｒ）　２　　　　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　２＆Ｅ　２　　　キ（ケ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　キク＆Ｉ　　　　　キ（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　２ケＲＡＡ１　　　　　（サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　１３カキコ∨Ｅ（ⅳ）１　　　　　　（１）　～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　Ａ　２　　　　　（２）　～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　Ａ　　３　　　　（３）　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　Ａ　　３　　　　（４）　　　（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　３∨Ｉ　２３　　　　（５）　～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝＆　２　　　　　（６）　　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　３５ＲＡＡ　　　７　　　（７）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　Ａ　　　　８　　（８）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　　　　８　　（９）　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　８∨Ｉ　　　７８　　（ア）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　７９＆Ｉ　　　７　　　（イ）　　　～～Ｐ　　　　　　　　　　８アＲＡＡ　　　７　　　（ウ）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　イＤＮ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　エ　（オ）　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　エ∨Ｉ　　　７　エ　（カ）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　７オ＆Ｉ　　　７　　　（キ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ　　　７　　　（ク）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　キＤＮ　　　７　　　（ケ）　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　ウク＆Ｉ　２　７　　　（コ）　　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　６ケ＆Ｉ　２　　　　　（サ）　～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　７コＲＡＡ　２　　　　　（シ）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　サＤＮ（半分ゲット）　　　　　　ス（ス）　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　　　　ス（セ）　　　（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　ス∨Ｉ　２　　　　ス（ソ）　～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝＆　　　　　　　　　　　　｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　２セ＆Ｉ　２　　　　　（タ）　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　スソＲＡＡ（残りもゲット）　２　　　　　（チ）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　　シタ＆Ｉ１２　　　　　（ツ）　～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆　　　　　　　　　　　　｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　１チ＆Ｉ１　　　　　　（テ）～～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　２ツＲＡＡ１　　　　　　（ト）　　　（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　テＤＮ従って、（03）により、（04） ③ ｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝に於いて、 ③＝④ である。従って、（04）により、（05）　（２＋２）＝　（２×２）＝　４ならば、－（２＋２）＝－（２×２）＝－４であることと、「同じやうな理屈」で、 ③ ～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ 　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ③＝④ である。従って、（02）（05）により、（06） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨ Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ 　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。従って、（06）により、（07）いづれにせよ、 ① ～｛　Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝ ② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ ③ ～｛　Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝ ④ 　　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。然るに、（08） ① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝≡～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ∨Ｒ）｝ ③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ｝≡～｛（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）｝ｃｆ. 分配法則（Distributive property）。従って、（07）（08）により、（09） ①　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝ ② 　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ 　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝②＝③＝④ ではない。然るに、（10）（ａ）１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　キＤＮ（ｂ）１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ｃ）１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ（ｄ）１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ従って、（10）により、（11）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。然るに、（12）（ⅰ）１　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨　Ｒ）｝　Ａ１　　（２）～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１ド・モルガンの法則　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　３　（４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　３∨Ｉ　　５（５）　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ　　５（６）　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　５ド・モルガンの法則　　５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）６∨Ｉ１　　（８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　２３４６７∨Ｅ（ⅱ）１　　（１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　１　２　（２）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　２∨Ｉ　　４（４）　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ　　４（５）　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　４ド・モルガンの法則　　４（６）～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　５∨Ｉ１　　（７）～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１２３４６∨Ｅ１　　（８）～｛Ｐ＆（Ｑ∨　Ｒ）｝　７ド・モルガンの法則（ⅲ）１（１）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ１（２）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２＆Ｅ１（４）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３ド・モルガンの法則１（５）　　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ１（６）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ（ⅳ）１（１）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ１（２）　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則１（４）　　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ１（５）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ１（６）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則従って、（12）により、（13） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨ Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ 　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。従って、（01）（13）により、（14）例へば、（ⅰ）１　　　　　　（１）　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ　２　　　　　（２）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２３　　　　（４）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　３∨Ｉ　２３　　　　（５）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２４＆Ｉ　２　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ　　　８　　　（８）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　　　８　　　（９）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８∨Ｉ　２　８　　　（ア）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２９＆Ｉ　２　　　　　（イ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ＲＡＡ　　　　ウ　　（ウ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　エ　（オ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　エ∨Ｉ　　　　ウエ　（カ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　イオ＆Ｉ　　　　ウ　　（キ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ　　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ク∨Ｉ　　　　ウ　ク（コ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウケ＆　　　　ウ　　（サ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　クコＲＡＡ　　　　ウ　　（シ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　キサ＆Ｉ　２　　ウ　　（ス）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　イシ＆Ｉ　２　　　　　（セ）　　　　～～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウス　２　　　　　（ソ）　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　セＤＮ　２　　　　　（タ）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　７ソ＆Ｉ１２　　　　　（チ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１タ＆Ｉ１　　　　　　（ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２チＲＡＡ１　　　　　　（テ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ツＤＮといふ「２９行の計算」は、（ⅰ）１　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨　Ｒ）｝　Ａ１　　（２）～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１ド・モルガンの法則　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　３　（４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　３∨Ｉ　　５（５）　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ　　５（６）　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　５ド・モルガンの法則　　５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）６∨Ｉ１　　（８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　２３４６７∨Ｅといふ「８行の計算」に、「置き換へ」ることが、出来る。従って、（15）「２９行の計算」は、「無駄」であると言へば、「無駄」であるが、 ① ～（Ｐ＆Ｑ）といふ「式」に於いて、Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）といふ「代入（Substitution）」を行った「式」が、 ① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝といふ「式」である。従って、（14）（15）により、（16）（ⅰ）１　　　　　　（１）　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ　２　　　　　（２）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２３　　　　（４）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　３∨Ｉ　２３　　　　（５）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２４＆Ｉ　２　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ　　　８　　　（８）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　　　８　　　（９）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８∨Ｉ　２　８　　　（ア）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２９＆Ｉ　２　　　　　（イ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ＲＡＡ　　　　ウ　　（ウ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　エ　（オ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　エ∨Ｉ　　　　ウエ　（カ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　イオ＆Ｉ　　　　ウ　　（キ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ　　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ク∨Ｉ　　　　ウ　ク（コ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウケ＆　　　　ウ　　（サ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　クコＲＡＡ　　　　ウ　　（シ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　キサ＆Ｉ　２　　ウ　　（ス）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　イシ＆Ｉ　２　　　　　（セ）　　　　～～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウス　２　　　　　（ソ）　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　セＤＮ　２　　　　　（タ）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　７ソ＆Ｉ１２　　　　　（チ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１タ＆Ｉ１　　　　　　（ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２チＲＡＡ１　　　　　　（テ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ツＤＮといふ「計算」は、 ① ～（Ｐ＆Ｑ）といふ「式」に於いて、Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）といふ「代入（Substitution）」を行っても、「ド・モルガンの法則」は「有効である」。といふことに対する、「証明（証拠）」になってゐる。令和０２年０２月２６日、毛利太。

2020年2月25日火曜日

「ド・モルガンの法則」：「連言（∩）と選言（∪）」が混在する場合（Ⅱ）。

（01） ―「前回（2020年2月23日）」は、「代入」で求めたものの、「今回」は、「直接、計算」する。― （ⅰ）１　　　　　　（１）　～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ　２　　　　　（２）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２３　　　　（４）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　３∨Ｉ　２３　　　　（５）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２４＆Ｉ　２　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ　　　８　　　（８）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　　　８　　　（９）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８∨Ｉ　２　８　　　（ア）　～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２９＆Ｉ　２　　　　　（イ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ＲＡＡ　　　　ウ　　（ウ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　エ　（オ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　エ∨Ｉ　　　　ウエ　（カ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　イオ＆Ｉ　　　　ウ　　（キ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ　　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ク∨Ｉ　　　　ウ　ク（コ）　　　　　～（　Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウケ＆　　　　ウ　　（サ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　クコＲＡＡ　　　　ウ　　（シ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　キサ＆Ｉ　２　　ウ　　（ス）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　　イシ＆Ｉ　２　　　　　（セ）　　　　～～（　Ｑ∨　Ｒ）　　　ウスＲＡＡ　２　　　　　（ソ）　　　　　　（　Ｑ∨　Ｒ）　　　セＤＮ　２　　　　　（タ）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　７ソ＆Ｉ１２　　　　　（チ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１タ＆Ｉ１　　　　　　（ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝　　２チＲＡＡ１　　　　　　（テ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ツＤＮ（ⅱ）１　　　　　　（１）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ　２　　　　　（２）　　　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ　　３　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２　　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ　　３　　　　（６）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２５ＲＡＡ　２　　　　　（７）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　２＆Ｅ　　　８　　　（８）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　Ａ　　　　９　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　　　８　　　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ　　　８９　　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ　　　　９　　（ウ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８イＲＡＡ　　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ　　　８　　　（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　８＆Ｅ　　　８　エ　（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　エオ＆Ｉ　　　　　エ　（キ）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８カＲＡＡ　２　　　　　（ク）　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７９ウエキ∨Ｅ　２　８　　　（ケ）　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　　　　　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８ク＆Ｉ　　　８　　　（コ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２ケＲＡＡ１　　　　　　（サ）　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１３６８コ∨Ｅ従って、（01）により、（02） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（03）「演算子」としての「＆」と、「演算子」としての「∨」の「結合力」は「等しい」。従って、（02）（03）により、（04） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ｝　 ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）に於いて、 ①＝② であるならば、 ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　 ④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ③＝④ でなければ、ならない。然るに、（05）（ⅲ）１（１）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ１（２）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２＆Ｅ１（４）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３ド・モルガンの法則１（５）　　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ１（６）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ（ⅳ）１（１）　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ１（２）　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ１（３）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則１（４）　　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ１（５）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ１（６）～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則従って、（04）（05）により、（06） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　 ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）に於いて、 ①＝② であるならば、果たして、 ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　 ④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ③＝④ である。従って、（01）～（06）により、（07） ① ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　 ④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。従って、（07）により、（08）Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ① ～｛　Ｐ＆（　～Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（～～Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（Ｐ＆　～Ｑ）∨　Ｒ｝　 ④ （～Ｐ∨～～Ｑ）＆～Ｒ従って、（08）により、（09）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。従って、（09）により、（10）「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」は、例へば、 ① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。然るに、（11）「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」（2020年2月23日）。でも書いたものの、あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、 ① ～｛　Ｐ＆（～Ｑ∨　Ｒ）｝ ② ～Ｐ∨（　Ｑ＆～Ｒ） ③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ｝ ④ （～Ｐ∨　Ｑ）＆～Ｒのやうに、「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページ目」では、見付けることが出来ません。令和０２年０２月２５日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「命題計算」。

（01）（ａ）　１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ　　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ　　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ　　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ　　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ　　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ　　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ　　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ　　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ　　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ　１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ　１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　キＤＮ（ｂ）１　　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ　２　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ　　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　　３　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ　２３　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２５＆Ｉ　２　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　７ＤＮ　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　９∨Ｉ　　　９　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ア∨Ｉ　２　９　（ウ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２イ＆Ｉ　２　　　（エ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　９ウＲＡＡ　２　　　（オ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ　　　　カ（カ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ　　　　カ（キ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ　　　　カ（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　キ∨Ｉ　２　　カ（ケ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２ク＆Ｉ　２　　　（コ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　カケＤＮ　２　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ　２　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　８オ＆Ｉ　２　　　（ス）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　サシ＆Ｉ１２　　　（セ）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ス＆Ｉ１　　　　（ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２セＲＡＡ１　　　　（タ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ソＤＮ（02）（ｃ）　１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ　　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ　　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ　　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ　　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ　　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ　１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ｄ）１　　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　Ａ　２　　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　Ａ　　３　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ　２　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ　２３　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ　　３　　（６）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２５ＲＡＡ　　　７　（７）　　　　～Ｑ　　　　　Ａ　２　　　（８）　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ　２　７　（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　（ア）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２９ＲＡＡ　　　　　　　　　　イ（イ）　　　　　　　～Ｒ　　Ａ　２　　　（ウ）　　　　　　　　Ｒ　　２＆Ｅ　２　　イ（エ）　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　イウ＆　　　　イ（オ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２エＲＡＡ１　　　　（カ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　１３６７アイオ∨Ｅ従って、（01）（02）により、（03）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。（04）（ｅ）　　１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ　　　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ　　１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ　　１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ　　　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ　　　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ　　１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ　　１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ　　１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ（ｆ）１　　　（１）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　Ａ　２　　（２）　　　Ｐ　　　　　　　Ａ　２　　（３）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　２∨Ｉ　２　　（４）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ１２　　（５）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１４＆Ｉ１　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　２ＲＡＡ　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　Ａ　　７　（８）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　７∨Ｉ　　７　（９）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　８∨Ｉ１　７　（ア）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１９＆Ｉ１　　　（イ）　　　　～Ｑ　　　　　７アＲＡＡ　　　ウ（ウ）　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　ウ（エ）　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　ウ∨Ｉ　　　ウ（オ）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　エ∨Ｉ１　　ウ（カ）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１オ＆Ｉ１　　　（キ）　　　　　　～Ｒ　　　ウカＲＡＡ１　　　（ク）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　６イ＆Ｉ１　　　（ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　キク＆Ｉ（05）（ｇ）　１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ　１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ　　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ　１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ　　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ　１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ　１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ（ｈ）１　　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ　２　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ１　　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ　　４　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ１　４　　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ　　４　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１５ＲＡＡ１　　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ　　　８　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ１　　８　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　Ａ　　　８　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１９ＲＡＡ１　　　　（イ）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１　　　ウ（エ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　イウ＆Ｉ　　　　ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１エＲＡＡ　２　　　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１３６８アウオイウ∨Ｅ従って、（04）（05）により、（06）（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。従って、（03）（06）により、（07）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。然るに、（01）（02）（04）（05）により、（08）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑといふ「等式」と、（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式」は、「計算」としては、「命題の数」が、一方は「２つ」で、一方が「３つ」であるといふことに、過ぎない。従って、（09）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式」が成立する以上、当然、（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ＆～Ｓといふ「等式」が成立する。然るに、（10）右の「等式」は、（ⅰ）～（０＆１）　　　　⇔ ～０∨～１（〃）～（０＆１＆２）　　⇔ ～０∨～１∨～２（〃）～（０＆１＆２＆３）⇔ ～０∨～１∨～２∨～３（ⅱ）～（０∨１）　　　　⇔ ～０＆～１（〃）～（０∨１∨２）　　⇔ ～０＆～１＆～２（〃）～（０∨１∨２∨３）⇔ ～０＆～１＆～２＆～３といふ風に、書くことが出来る。従って、（09）（10）により、（11）「ド・モルガンの法則」は、「（２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。ｃｆ. 数学的帰納法（mathematical induction）。然るに、（12）（ⅰ）　１　　（１）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ　　２　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　　３（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ　　２３（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ　　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ　　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ　１２　（８）　　　　　　～Ｑ　　　１７ＭＰＰ　１２　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ　１２　（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ　１　　（イ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２アＲＡＡ　１　　（ウ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　～Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　～Ｑ＆～～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　～Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　～Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（12）により、（13） ① 　Ｐ→～Ｑ ② ～Ｐ∨～Ｑに於いて、 ①＝② である。然るに、（03）により、（14） ② ～Ｐ∨～Ｑ ③ ～（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ②＝③ である。従って、（13）（14）により、（15） ① 　Ｐ→～Ｑ ② ～Ｐ∨～Ｑ ③ ～（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（16）Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、 ① 　Ｐ→～～Ｑ ② ～Ｐ∨～～Ｑ ③ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（17）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ① 　　Ｐ→　Ｑ ②　～Ｐ∨　Ｑ ③ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ であるが、 ①＝② を称して、「含意の定義」といひ、 ①＝③ を称して、「含意の定義」といふ。然るに、（18）（ⅰ）１　　（１）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　Ａ１　　（２）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　１含意の定義　３　（３）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　Ａ　３　（４）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　３ド・モルガンの法則　３　（５）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　４∨Ｉ　　６（６）　　　　　　　　Ｒ　Ａ　　６（７）　　　　～Ｑ　∨Ｒ　６∨Ｉ　　６（８）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　７∨Ｉ１　　（９）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　２３５６８∨Ｅ１　　（ア）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ　９結合法則（ⅱ）１　　（１）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ　Ａ　２　（２）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ　２　（３）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　３ド・モルガンの法則　２　（４）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　３∨Ｉ　　５（５）　　　　　　　　Ｒ　Ａ　　５（６）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　５∨Ｉ１　　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　１２４５６∨Ｅ１　　（８）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　７含意の定義従って、（18）により、（19） ① 　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ ② （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒに於いて、 ①＝② である。然るに、（20）（ⅰ）１　　（１）　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ　　Ａ　２　（２）　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ　２　（３）　　（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　　　　　　　Ｒ　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ１２　（６）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　４５＆Ｉ１　　（７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝　２６ＲＡＡ（ⅲ）１　　（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝　Ａ１　　（２）　～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ　　１ド・モルガンの法則１　　（３）　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ　　２含意の定義従って、（20）により、（21） ① 　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝に於いて、 ①＝③ である。従って、（19）（21）により、（22） ① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ ②　（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝に於いて、 ①＝②＝③ である。然るに、（23）「同じこと」なので、敢へて、一つだけ「計算」すると、（ⅰ）１　　（１）　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→Ｓ　Ａ１　　（２）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨Ｓ　１含意の定義　３　（３）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　　Ａ　３　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　３ド・モルガンの法則　３　（５）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　４∨Ｉ　　６（６）　　　　　　　　　　　Ｓ　Ａ　　６（７）　　　　　　　～Ｑ　∨Ｓ　６∨Ｉ　　６（８）　　　　～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　７∨Ｉ　　６（９）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　８∨Ｉ１　　（ア）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　２３５６９∨Ｅ１　　（イ）（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨Ｓ　ア結合法則従って、（17）（22）（23）により、（24） ① 　　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→　Ｓ ②　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨　Ｓ ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆～Ｓ｝に於いて、 ①＝②＝③ である。然るに、（25） ① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ ②　（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝に於いて、 ①＝②＝③ であること覚えてゐれば、 ① 　　Ｐ→　Ｑ ②　～Ｐ∨　Ｑ ③ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ ことも、 ① 　　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→　Ｓ ②　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨　Ｓ ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆～Ｓ｝に於いて、 ①＝②＝③ であることも、両方とも、思ひだすことが、出来る。然るに、（26） ① 　　Ｐ→　Ｒ ②　～Ｐ∨　Ｒ ③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝に於いて、Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、 ① 　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ ②　～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝然るに、（27）「ド・モルガンの法則」により、 ②　～（Ｐ＆Ｑ）＝（～Ｐ∨～Ｑ）であるため、 ① 　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ ②　～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝であるならば、 ① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ ②　（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ ③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝である。従って、（01）～（27）により、（28）以上に於いて、「計算ミス」は無い。然るに、（29）「命題計算（Propositional calculus）」は、「１（真）と０（偽）」だけを、「値（value）」とする「計算」である。従って、（30） ① 　　Ｐ→　Ｒ ②　～Ｐ∨　Ｒ ③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝に於いて、Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）といふ「代入（Substitutuion）」を行ふといふことは、 ① 　　Ｐ→　Ｒ ②　～Ｐ∨　Ｒ ③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝に於いて、Ｐ＝１（真）または、Ｐ＝０（偽）といふ「代入（Substitutuion）」を行ふ。といふことである。然るに、（31） ① 　　Ｐ→　Ｒ ②　～Ｐ∨　Ｒ ③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝に於いて、 ①＝②＝③ であるならば、当然、 ① 　　１→　Ｒ ②　～１∨　Ｒ ③ ～｛１＆～Ｒ｝に於いても、 ①＝②＝③ であるし、 ① 　　０→　Ｒ ②　～０∨　Ｒ ③ ～｛０＆～Ｒ｝に於いても、 ①＝②＝③ である。従って、（01）～（31）により、（32）以上の「内容」は、 ① 　　Ｐ→　Ｒ ②　～Ｐ∨　Ｒ ③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝に於いて、 ①＝②＝③ であるならば、当然、 ① 　　１→　Ｒ ②　～１∨　Ｒ ③ ～｛１＆～Ｒ｝に於いても、 ①＝②＝③ であるし、 ① 　　０→　Ｒ ②　～０∨　Ｒ ③ ～｛０＆～Ｒ｝に於いても、 ①＝②＝③ である。といふことに対する、「確認」である。といふ風に、言へないこともない。（33）（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。（Ｓ１）A proof can be found for any substitution-instance of a proved theorem. （E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、６９頁と原文）といふことは、「実感」としても、確かに、「正しい」。令和０２年０２月２５日、毛利太。

2020年2月24日月曜日

「ド・モルガンの法則」は、「自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。

（01）（ａ）１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　キＤＮ（ｂ）１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ｃ）１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ（ｄ）１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ従って、（01）により、（02）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。然るに、（03）（ｅ）１　　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ　２　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ　　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　　３　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ　２３　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２５＆Ｉ　２　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　７ＤＮ　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　９∨Ｉ　　　９　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ア∨Ｉ　２　９　（ウ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２イ＆Ｉ　２　　　（エ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　９ウＲＡＡ　２　　　（オ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ　　　　カ（カ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ　　　　カ（キ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ　　　　カ（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　キ∨Ｉ　２　　カ（ケ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２ク＆Ｉ　２　　　（コ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　カケＤＮ　２　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ　２　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　８オ＆Ｉ　２　　　（ス）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　サシ＆Ｉ１２　　　（セ）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ス＆Ｉ１　　　　（ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２セＲＡＡ１　　　　（タ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ソＤＮ（ｆ）１　　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　Ａ　２　　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　Ａ　　３　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ　２　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ　２３　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ　　３　　（６）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２５ＲＡＡ　　　７　（７）　　　　～Ｑ　　　　　Ａ　２　　　（８）　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ　２　７　（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　（ア）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２９ＲＡＡ　　　　イ（イ）　　　　　　　～Ｒ　　Ａ　２　　　（ウ）　　　　　　　　Ｒ　　２＆Ｅ　２　　イ（エ）　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　イウ＆　　　　イ（オ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２エＲＡＡ１　　　　（カ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　１３６７アイオ∨Ｅ（ｇ）１　　　（１）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　Ａ　２　　（２）　　　Ｐ　　　　　　　Ａ　２　　（３）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　２∨Ｉ　２　　（４）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ１２　　（５）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１４＆Ｉ１　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　２ＲＡＡ　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　Ａ　　７　（８）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　７∨Ｉ　　７　（９）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　８∨Ｉ１　７　（ア）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１９＆Ｉ１　　　（イ）　　　　～Ｑ　　　　　７アＲＡＡ　　　ウ（ウ）　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　ウ（エ）　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　ウ∨Ｉ　　　ウ（オ）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　エ∨Ｉ１　　ウ（カ）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１オ＆Ｉ１　　　（キ）　　　　　　～Ｒ　　　ウカＲＡＡ１　　　（ク）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　６イ＆Ｉ１　　　（ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　キク＆Ｉ（ｈ）１　　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ　２　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ１　　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ　　４　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ１　４　　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ　　４　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１５ＲＡＡ１　　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ　　　８　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ１　　８　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　Ａ　　　８　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１９ＲＡＡ１　　　　（イ）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１　　　ウ（エ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　イウ＆Ｉ　　　　ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１エＲＡＡ　２　　　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１３６８アウオイウ∨Ｅ従って、（03）により、（04）（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。従って、（02）（04）により、（05）（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。然るに、（01）（03）により、（06）（ａ）～（ｄ）の「計算」と、（ｅ）～（ｈ）の「計算」は、（Ｐ，Ｑ）　　といふ「２つの命題」が、（Ｐ，Ｑ，Ｒ）といふ「３つの命題」に変はっただけで、「計算」としては、「やってゐること」は、「全く同じ」である。従って、（06）により、（07）（Ｐ，Ｑ，Ｒ）　　が、（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｒ）に変はったとしても、「証明（計算）」は書けるものの、「面倒くさいし、切りがない」ので、ただ単に、「書かない」だけである。然るに、（08）（ａ）であれば、１　　　（１）　～（　１＆　２）　　Ａ　２　　（２）　～（～１∨～２）　　Ａ　　３　（３）　　　～１　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～１∨～２　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～１∨～２）＆　２３　（６）　　（～１∨～２）　　２４＆Ｉ　２　　（７）　　～～１　　　　　　３ＲＡＡ　２　　（８）　　　　１　　　　　　７ＤＮ　　　９（９）　　　　　　～２　　　Ａ　　　９（ア）　　　～１∨～２　　　９∨Ｉ　２　９（イ）　～（～１∨～２）＆　　　　　　　　　（～１∨～２）　　２ア＆Ｉ　２　　（ウ）　　　　　～～２　　　９イＲＡＡ　２　　（エ）　　　　　　　２　　　ウＤＮ　２　　（オ）　　　　１＆　２　　　８エ＆Ｉ１２　　（カ）　～（　１＆　２）＆　　　　　　　　　（　１＆　２）１　　　（キ）～～（～１∨～２）　　２カＲＡＡ１　　　（ク）　　　～１∨～２　　　キＤＮといふ風に、書くことが出来き、（ｅ）であれば、１　　　　（１）　～（　１＆　２＆　３）　　Ａ　２　　　（２）　～（～１∨～２∨～３）　　Ａ　　３　　（３）　　　～１　　　　　　　　　Ａ　　３　　（４）　　　～１∨～２　　　　　　３∨Ｉ　　３　　（５）　　　～１∨～２∨～３　　　４∨Ｉ　２３　　（６）　～（～１∨～２∨～３）＆　　　　　　　　　　（～１∨～２∨～３）　　２５＆Ｉ　２　　　（７）　　～～１　　　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　　（８）　　　　１　　　　　　　　　７ＤＮ　　　９　（９）　　　　　　～２　　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　～１∨～２　　　　　　９∨Ｉ　　　９　（イ）　　　～１∨～２∨～３　　　ア∨Ｉ　２　９　（ウ）　～（～１∨～２∨～３）＆　　　　　　　　　　（～１∨～２∨～３）　　２イ＆Ｉ　２　　　（エ）　　　　　～～２　　　　　　９ウＲＡＡ　２　　　（オ）　　　　　　　２　　　　　　エＤＮ　　　　カ（カ）　　　　　　　　　～３　　　Ａ　　　　カ（キ）　　　　　　～２∨～３　　　カ∨Ｉ　　　　カ（ク）　　　～１∨～２∨～３　　　キ∨Ｉ　２　　カ（ケ）　～（～１∨～２∨～３）＆　　　　　　　　　　（～１∨～２∨～３）　　２ク＆Ｉ　２　　　（コ）　　　　　　　　～～３　　　カケＤＮ　２　　　（サ）　　　　　　　　　　３　　　コＤＮ　２　　　（シ）　　　　１＆　２　　　　　　８オ＆Ｉ　２　　　（ス）　　　　１＆　２＆　３　　　サシ＆Ｉ１２　　　（セ）　～（　１＆　２＆　３）＆　　　　　　　　　　（　１＆　２＆　３）　　１ス＆Ｉ１　　　　（ソ）～～（～１∨～２∨～３）　　２セＲＡＡ１　　　　（タ）　　　～１∨～２∨～３　　　ソＤＮといふ風に、書くことが出来る。然るに、（09）数学的帰納法出典: フリー百科事典『ウィキペディア（WiＫipedia）』ナビゲーションに移動検索に移動数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題Ｐ（n）が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[注 1]。・Ｐ（1）が成り立つ事を示す。・任意の自然数Ｋに対して、「Ｐ（Ｋ）⇒Ｐ（Ｋ＋１）」が成り立つ事を示す。・以上の議論から任意の自然数ｎについてＰ（ｎ）が成り立つ事を結論づける。・上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。（01）～（09）により、（10）「数学的帰納法」によって、「ド・モルガンの法則」は、「(２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。然るに、（11）ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。メリットベン図を書けば誰もが納得できる，分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。集合が３つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。デメリット・集合が４つ以上だと通用しない。（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）然るに、（12）・集合が４つ以上だと通用しない。といふことは、・集合が「自然数と同じ個数（無限個）」の場合も、通用しない。然るに、（13）ドモルガンの法則についてドモルガンの法則は入試で必要になることは少ないですが，式変形の途中にしれっと登場したりするので覚えておきましょう。以下ではドモルガンの法則を通じて集合の等式の証明について解説します。日本語による解説，ベン図による解説，真理値表（総当り）による解説。（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）従って、（13）により、（14）（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）に於いては、（ａ）日本語による解説（ｂ）ベン図による解説（ｃ）真理値表（総当り）による解説は行はれていても、惜しむらくは、（ｄ）命題計算（今、私が示したそれ）による解説を行はれゐないし、そのやうな「方法」があることにも、触れてゐない。（15）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（15）により、（16） ①　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。従って、（16）により、（17）Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ①　Ｐ→～Ｑ（Ｐならば、Ｑでない）。 ② ～Ｐ∨～Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」も「含意の定義」である。然るに、（01）により、（18） ② ～Ｐ∨～Ｑ ③ ～（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ②＝③ である。従って、（17）（18）により、（19） ①　Ｐ→～Ｑ ② ～Ｐ∨～Ｑ ③ ～（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（19）により、（20）Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ①　Ｐ→～～Ｑ ② ～Ｐ∨～～Ｑ ③ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（20）により、（21）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ①　　Ｐ→　Ｑ ② 　～Ｐ∨　Ｑ ③ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、すなはち、 ① Ｐならば、　Ｑである。 ② Ｐでないか、Ｑである。 ③ Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。に於いて、 ①＝②＝③ である。令和０２年０２月２４日、毛利太。

「ＰなのでＱである」と「ＰならばＱである」：「已然形と未然形」。

（01） ② 風邪を引いたので会社を休む。と言へるためには、 ① 風邪を引いたならば会社を休む。といふ「命題」が、「真」でなければならない。従って、（01）により、（02） ② ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。と言へるためには、 ① ＰならばＱである（ＰならばＱなり）。といふ「命題」が、「真」でなければならない。然るに、（03）１　（１）ＰならばＱである。　仮定　２（２）Ｐである。　　　　　仮定１２（３）　　　　Ｑである。　１２前件肯定従って、（03）により、（04）１　（１）Ｐ→Ｑ　Ａ　２（２）Ｐ　　　Ａ１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ然るに、（05）「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、　├ を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、１６頁）従って、（01）～（05）により、（06） ② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ ② ＰならばＱである。Ｐである。ので、Ｑである。といふ「連式」に於ける、 ② Ｐ→Ｑ ② ＰならばＱである。といふ「仮言命題」が、「省略」された形が、 ② Ｐ├ Ｑ ② ＰなのでＱである。といふ「連式」である。然るに、（07） ① ＰならばＱである。 ② ＰなのでＱである。といふ「口語」は、 ① Ｐなら（未然形）ばＱなり。 ② Ｐなれ（已然形）ばＱなり。といふ「文語」に相当し、 ① 未然形（ｃ）「ば」に続いて「仮定条件」を表す。＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなっていない」の意である。 ⑤ 已然形（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）従って、（01）～（07）により、（08） ① 風邪を引いたならば会社を休む。 ② 風邪を引いたので会社を休む。といふ「口語」は、 ① 風邪引か（未然形）ば会社を休む。 ② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。といふ「文語」に訳すことが出来、 ① 風邪引か（未然形）ば会社を休む。 ② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。といふ「文語」は、 ① 風邪を引いた→ 会社を休む。 ② 風邪を引いた├ 会社を休む。といふ風に、書くことが出来る。従って、（06）（08）により、（09） ② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。といふ「日本語」は、 ②（風邪引かば会社を休む、）風引きぬ。├ 会社を休む。といふ「意味」である。令和０２年０２月２４日、毛利太。

「仮言命題の前件」としての「～が」（其の？）。

（01） ① 明日が晴れならば、釣りに行く。とは、言ふものの、 ① 明日は晴れならば、釣りに行く。とは、言はない。ｃｆ. もしも明日が晴れならば、愛する人よあの場所で、もしも明日が晴れならば、愛する人よそばにいて、（もしも明日が、作詞荒木とよひさ、作曲三木たかし、唄わらべ）然るに、（02）その一方で、 ② 明日は休みなので、釣りに行く。とは、言ふ。然るに、（03） ①「明日が晴れ」であることは「未定」であるが、 ②「明日は休み」であることは「確定」である。従って、（01）（02）（03）により、（04） ①（ＡがＢである）ならば、Ｃである。 ②（ＡはＢである）ならば、Ｃである。といふ「仮言命題」に於いて、 ①（ＡがＢである）に対して、 ②（ＡはＢである）とは言はないし、 ①（ＡがＢである）ことは、「未定」である。然るに、（05）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（05）により、（06） ①　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。従って、（06）により、（07） ①　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、Ｐ＝ＡがＢである。Ｑ＝Ｃである。といふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。 ②（ＡがＢでない）か、　（Ｃである）。に於いて、 ①＝② である。然るに、（08） ②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。といふ「選言命題」は、 ②（ＡがＢでない）か、 ②（Ｃである）か、といふ、二つの内の、 ② 少なくとも一方は、「真（本当）」である。といふ「意味」である。従って、（08）により、（09） ②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。といふ「選言命題」は、 ②（ＡがＢでない）でない。ならば、（Ｃであり）、 ②（Ｃである）　　でない。ならば、（ＡはＢでない）。といふ「意味」である。然るに、（10） ②（ＡがＢでない）でない。といふことは、 ②（ＡがＢである）。といふことである。従って、（06）（09）（10）により、（11） ②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。といふ「選言命題」は、 ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。といふ「仮言命題」に「等しい」。然るに、（12） ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。 ②（ＡがＢでない）か、　（Ｃである）。といふことは、 ③（ＤがＢである） ④（ＤがＢでない）といふ場合については、何も、述べてはゐない。従って、（12）により、（13） ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。 ②（ＡがＢでない）か、　（Ｃである）。といふことは、 ③（ＤがＢである）ならば（Ｃである）。 ④（ＤがＢでない）か、　（Ｃである）。といふことでは、決してない。従って、（14）「聞き手」の側が、 ③（ＤがＢである）と「誤解」してゐるならば、 ③（Ｃでない）といふことが「確定」した場合には、「聞き手」からすれば、「話し手」が、「ウソ」を付いたことになる。従って、（13）（14）により、（15） ①　（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。といふ場合には、 ①｛（ＤがＢである）ならば｝ではなく、といふ「気持ち」をこめた上での、 ①｛（ＡがＢである）ならば｝そのときには（Ｃである）。といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。従って、（15）により、（16） ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。といふ場合には、 ①（Ａ以外ではない、ＡがＢである）ならば（Ｃである）。といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。然るに、（17） ①（Ａ以外ではない、ＡがＢである）ならば、と言ひたいのであれば、 ①（Ａ＿Ｂである）ならば（Ｃである）。に於いて、 ①　Ａ＿　を「強調」すれば良い。然るに、（18）清音の方は、小さくきれいで速い感じで、コロコロと言うと、ハスの上を水玉がころがるような時の形容である。ゴロゴロと言うと、大きく荒い感じで、力士が土俵でころがる感じである（金田一春彦、日本語（上）、1988年、１３１頁）。もし濁音を発音するときの物理的・身体的な口腔の膨張によって「濁音＝大きい」とイメージがつくられているのだとしたら、面白いですね。この仮説が正しいとすると、なぜ英語話者や中国語話者も濁音に対して「大きい」というイメージを持っているか説明がつきます（川原繁人、音とことばの不思議な世界、2015年、１３頁）。従って、（18）により、（19） ① Ａが（濁音） ② Ａは（清音）に於いて、 ① の「心理的な音量」の方が、 ② の「心理的な音量」よりも、大きい。従って、（17）（18）（19）により、（20） ①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。 ②（ＡはＢである）ならば（Ｃである）。に於いて、 ③ If Ａ・Ｂ then Ｃ．といふ「仮言命題」として、「ふさわしい」のは、 ① であって、 ② ではない。といふ、ことになる。令和０２年０２月２４日、毛利太。

2020年2月23日日曜日

「ド・モルガンの法則」の「日本語」による「証明」（其の？）。

（01）（ⅰ）～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ（ⅱ）～（Ａ∨Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂといふ「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。従って、（02） ① ～（Ａ＆Ｂ） ② ～Ａ∨～Ｂに於いて、 ①＝② であって、 ③ ～（Ａ∨Ｂ） ④ ～Ａ＆～Ｂに於いて、 ③＝④ であり、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（03） ① ～（Ａ＆Ｂ） ② ～Ａ∨～Ｂといふ「論理式」は、順番に、 ①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。 ②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。といふ「意味」である。然るに、（04） ①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。といふことは、 ②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。といふことであって、 ②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。といふことは、 ①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。といふ、ことである。従って、（03）（04）により、（05） ① ～（Ａ＆Ｂ）＝（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。 ② ～Ａ∨～Ｂ　＝（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。に於いて、 ①＝② である。（06） ③ ～（Ａ∨Ｂ） ④ ～Ａ＆～Ｂといふ「論理式」は、順番に、 ③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。 ④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。といふ「意味」である。然るに、（07） ③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。といふことは、 ④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。といふことであり、 ④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。といふことは、 ③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。といふことである。従って、（06）（07）により、（08） ③ ～（Ａ∨Ｂ）＝（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。 ④ ～Ａ＆～Ｂ　＝（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。に於いて、 ③＝④ である。従って、（01）～（08）により、（09） ①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。 ②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。 ③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。 ④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。に於いて、 ①＝② であり、 ③＝④ である。といふことを「理解できる」のであれば、その人は、すでに、（ⅰ）～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ（ⅱ）～（Ａ∨Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂといふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、理解してゐる。といふ、ことになる。然るに、（10） ① ～（Ａ＆Ｂ） ② ～Ａ∨～Ｂ ③ ～（Ａ∨Ｂ） ④ ～Ａ＆～Ｂに於いて、Ｂ＝～Ｂといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ① ～（Ａ＆～Ｂ） ② ～Ａ∨～～Ｂ ③ ～（Ａ∨～Ｂ） ④ ～Ａ＆～～Ｂ然るに、（11）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ① ～（Ａ＆～Ｂ） ② 　～Ａ∨　Ｂ ③ ～（Ａ∨～Ｂ） ④　～Ａ＆　Ｂ然るに、（12） ① ～（Ａ＆～Ｂ）は、 ①（Ａが本当であって、その上、Ｂもウソである）といふことはない。といふ「意味」である。然るに、（13） ①（Ａが本当であって、その上、Ｂもウソである）といふことはない。といふ「言ひ方」を、 ②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、・・である）。といふ風に、表現することは、出来ない。従って、（11）（12）（13）により、（14） ① ～（Ａ＆～Ｂ） ② 　～Ａ∨　Ｂに於いて、 ①＝② である。といふことを、「言葉」で説明するのは「難しい」。然るに、（15）（ⅰ）１　　　（１）　～（　Ａ＆　～Ｂ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ａ∨～～Ｂ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ａ　　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ａ∨～～Ｂ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ａ∨～～Ｂ）＆　２３　（６）　　（～Ａ∨～～Ｂ）　　２４＆Ｉ　２　　（７）　　～～Ａ　　　　　　　３ＲＡＡ　２　　（８）　　　　Ａ　　　　　　　７ＤＮ　　　９（９）　　　　　　～～Ｂ　　　Ａ　　　９（ア）　　　～Ａ∨～～Ｂ　　　９∨Ｉ　２　９（イ）　～（～Ａ∨～～Ｂ）＆　　　　　　　　　（～Ａ∨～～Ｂ）　　２ア＆Ｉ　２　　（ウ）　　　　　～～～Ｂ　　　９イＲＡＡ　２　　（エ）　　　　　　　～Ｂ　　　ウＤＮ　２　　（オ）　　　　Ａ＆　～Ｂ　　　８エ＆Ｉ１２　　（カ）　～（　Ａ＆　～Ｂ）＆　　　　　　　　　（　Ａ＆　～Ｂ）１　　　（キ）～～（～Ａ∨～～Ｂ）　　２カＲＡＡ１　　　（ク）　　　～Ａ∨～～Ｂ　　　キＤＮ（ⅱ）１　　　（１）　～Ａ∨～～Ｂ　　Ａ　２　　（２）　　Ａ＆　～Ｂ　　Ａ　　３　（３）　～Ａ　　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ａ　　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ａ＆Ａ　　　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ａ＆　～Ｂ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　～～Ｂ　　Ａ　２　　（８）　　　　　～Ｂ　　２＆Ｅ　２　７（９）　～～Ｂ＆～Ｂ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ａ＆　～Ｂ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ａ＆　～Ｂ）　１３６７ア∨Ｅ（ⅲ）１　　（１）～（Ａ∨～Ｂ）　　Ａ　２　（２）　　Ａ　　　　　　Ａ　２　（３）　　Ａ∨～Ｂ　　　２∨Ｉ１２　（４）～（Ａ∨～Ｂ）＆　　　　　　　（Ａ∨～Ｂ）　　１３＆Ｉ１　　（５）　～Ａ　　　　　　２４ＲＡＡ　　６（６）　　　　～Ｂ　　　Ａ　　６（７）　　Ａ∨～Ｂ　　　６∨Ｉ１　６（８）～（Ａ∨～Ｂ）＆　　　　　　　（Ａ∨～Ｂ）　　１６＆Ｉ１　　（９）　　　～～Ｂ　　　６８ＲＡＡ１　　（ア）～Ａ＆～～Ｂ　　　５９＆Ｉ（ⅳ）１　　　（１）　　～Ａ＆～～Ｂ　　　Ａ　２　　（２）　　　Ａ∨　～Ｂ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ａ　　　　　　　１＆Ｅ　　４　（４）　　　Ａ　　　　　　　Ａ１　４　（５）　　～Ａ＆Ａ　　　　　３４＆Ｉ　　４　（６）～（～Ａ＆～～Ｂ）　　１５ＲＡＡ　　　５（７）　　　　　　～Ｂ　　　Ａ１　　　（８）　　　　　～～Ｂ　　　１＆Ｅ１　　５（９）　　～Ｂ＆～～Ｂ　　　７８＆Ｉ　　　５（ア）～（～Ａ＆～～Ｂ）　　１９ＲＡＡ　２　　（イ）～（～Ａ＆～～Ｂ）　　２４６７ア∨Ｅ１２　　（ウ）　（～Ａ＆～～Ｂ）＆　　　　　　　～（～Ａ＆～～Ｂ）　　１イ＆Ｉ１　　　（エ）　～（Ａ∨　～Ｂ）　　２ウＲＡＡ従って、（15）により、（16） ① 　～（Ａ＆　～Ｂ） ② ～Ａ∨～～Ｂ ③ ～（Ａ∨ ～Ｂ） ④ ～Ａ＆～～Ｂに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。従って、（16）により、（17）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ① 　～（Ａ＆～Ｂ） ② ～Ａ∨　Ｂ ③ ～（Ａ∨～Ｂ） ④ ～Ａ＆　Ｂに於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ である。（01）（17）により、（ⅰ）～（Ａ＆　Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ（ⅱ）～（Ａ∨　Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ（ⅲ）～（Ａ＆～Ｂ）⇔ ～Ａ∨　Ｂ（ⅳ）～（Ａ∨～Ｂ）⇔ ～Ａ＆　Ｂといふ「等式」等を「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（18）「今日（令和０２年０２月２３日）」の「最初の記事（この記事は３番目）」でも「証明」した、（ⅴ）～（Ａ＆　Ｂ∨Ｃ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ＆～Ｃ（ⅵ）～（Ａ∨　Ｂ＆Ｃ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ∨～Ｃ（ⅶ）～（Ａ＆～Ｂ∨Ｃ）⇔ ～Ａ∨　Ｂ＆～Ｃ（ⅷ）～（Ａ∨～Ｂ＆Ｃ）⇔ ～Ａ＆　Ｂ∨～Ｃといふ「等式」等も、「ド・モルガンの法則」といふ、はずである。令和０２年０２月２３日、毛利太。

「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」。

（01） ① 君子於其所不知、蓋蓋闕如也＝ ① 君子於_二其所_一レ不_レ知、蓋闕如也＝ ① 君子於［其所〔不（知）〕］、蓋闕如也⇒ ① 君子於［其〔（知）不〕所］、蓋闕如也＝ ① 君子は［其の〔（知ら）不る〕所に］於いて、蓋し闕如す。然るに、（02）君子於其所不知、蓋蓋闕如也。君子は自分のわからないことではだまっているものだ。（金谷治訳注、論語、1963年、２４９頁）然るに、（03）其　そノ　そレ［指示形容詞］《人・物・事などを指し、単数・複数のどちらをも指す》 ① 連体修飾格（ⅱ）〈人を指し、主語と一致する場合〉「自分の」（天野成之、漢文基本語辞典、1999年、７５頁）従って、（01）（02）（03）により、（04） ① 君子於［其所〔不（知）〕］、蓋闕如也⇒ ① 君子於［其〔（知）不〕所］、蓋闕如也＝ ① 君子は［其の〔（知ら）不る〕所に］於いて、蓋し闕如す。に於いて、 ① 其の＝自分のである。然るに、（05） ② 君子不以其所以養人者害人＝ ② 君子不_乙以_下其所_二以養_一レ人者_上害_甲レ人＝ ② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒ ② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝ ② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。従って、（04）（05）により、（06） ② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒ ② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝ ② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。に於いても、 ② 其の＝自分のである。然るに、（07）君子不以其所以養人者害人君子は人間が生きてゆく手段である土地が惜しさに争って、大切な人間そのものを犠牲にはしないものだ。（小林勝人訳注、孟子上、1968年、１０４頁）従って、（07）により、（08） ② 所以養人者＝ ② 人間が生きてゆく手段＝ ② 土地である。然るに、（09）滕文公問曰、滕小國也、竭力以事大國、則不得免焉、如之何則可、孟子對曰、昔者大王居邠、狄人侵之、事之以皮幣、不得免焉、事之以犬馬、不得免焉、事之以珠玉、不得免焉、乃屬其耆老而告之曰、狄人之所欲者、吾土地也、吾聞之也、君子不以其所以養人者害人、滕文の公問ひて曰く、滕は小國なり、力を竭して以て大國に事うるとも、則ち免るるを得じ。如之何にせば則ち可ならん、孟子對へて曰く、昔者大王邠に居りしとき、狄人之を侵せり。之に事うる皮幣を以てするも、免かるるを得ず。之に事うるに犬馬を以てするも、免かるるを得ず。之に事うる珠玉を以てするも、免かるるを得ず。乃ち其の耆老を屬めて之に告げて曰く、狄人の欲する所の者は、吾が土地なり、吾之を聞く、君子は其の人を養ふ所以の者を以て人を害せず（小林勝人訳注、孟子上、1968年、１０４頁改）。従って、（09）により、（10） ② 君子不以其所以養人者害人。に於いて、 ② 人＝王の人民である。従って、（01）～（10）により、（11） ② 君子不以其所以養人者害人＝ ② 君子不_乙以_下其所_二以養_一レ人者_上害_甲レ人＝ ② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒ ② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝ ② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。といふ「漢文・訓読」は、突き詰めて言へば、 ② 君子は、自分の土地で、自分の人民を害さない。といふ「意味」になる。然るに、（12） ② 君子は、自分の土地で、自分の人民を害さない。⇔ ② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝⇔ ② すべてのｘについて、ｘが君子であるならば、あるｙとあるｚについて、ｙはｘの人民であり、ｚはｘの土地であり、ｚはｙを害さない。従って、（11）（12）により、（13） ② 君子不以其所以養人者害人。といふ「漢文」は、 ② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝といふ風に、訳すことが、出来る。然るに、（14）（ⅱ）１　　　（１）∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝　　　Ａ１　　　（２）　　　君子ａ→∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ）　　　　１ＵＥ　３　　（３）　　　　　　∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］　　　　Ａ　３　　（４）　　　　　　　　∀ｚ［（人ｂａ＆地ｚａ）→害ｚｂ］　　　　３ＵＥ　３　　（５）　　　　　　　　　　　（人ｂａ＆地ｃａ）→害ｃｂ　　　　　４ＵＥ　３　　（６）　　　　　　　　　　～（人ｂａ＆地ｃａ）∨害ｃｂ　　　　　５含意の定義　　７　（７）　　　　　　　　　　～（人ｂａ＆地ｃａ）　　　　　　　　　Ａ　　７　（８）　　　　　　　　　　～人ｂａ∨～地ｃａ　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則　　７　（９）　　　　　　　　　　～人ｂａ∨～地ｃａ∨　害ｃｂ　　　　　８∨Ｉ　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　害ｃｂ　　　　　Ａ　　　ア（イ）　　　　　　　　　　～人ｂａ∨～地ｃａ∨　害ｃｂ　　　　　ア∨Ｉ　３　　（ウ）　　　　　　　　　　～人ｂａ∨～地ｃａ∨　害ｃｂ　　　　　６７９アイ∨Ｅ　３　　（エ）　　　　　　　　　　～（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ）　　　　ウ、ド・モルガンの法則　３　　（オ）　　　　　　　　∀ｚ～（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ）　　　　エＵＩ　３　　（カ）　　　　　　　　～∃ｚ（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ）　　　　オ量化子の関係　３　　（キ）　　　　　　∀ｙ～∃ｚ（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ）　　　　カＵＩ　３　　（ク）　　　　　　～∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ）　　　　キ量化子の関係１３　　（ケ）　　～君子ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２クＭＴＴ１　　　（コ）　　　∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］→～君子ａ　　３ケＣＰ１　　　（サ）∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝　コＵＩ（ⅲ）１　　　（１）∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝　Ａ１　　　（２）　　　∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］→～君子ａ　　１ＵＥ　３　　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　君子ａ　　Ａ　３　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～君子ａ　　３ＤＮ１３　　（５）　　～∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］　　　　　　　２４ＭＴＴ１３　　（６）　　∃ｙ～∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］　　　　　　　５量化子の関係１３　　（７）　　∃ｙ∃ｚ～［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］　　　　　　　６量化子の関係　　８　（８）　　　　∃ｚ～［（人ｂａ＆地ｚａ）→害ｚｂ］　　　　　　　Ａ　　　９（９）　　　　　　～［（人ｂａ＆地ｃａ）→害ｃｂ］　　　　　　　Ａ　　　９（ア）　　　　　～［～（人ｂａ＆地ｃａ）∨害ｃｂ］　　　　　　　９含意の定義　　　９（イ）　　　　　　　（人ｂａ＆地ｃａ）＆～害ｃｂ　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則　　　９（ウ）　　　　　　　　人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ　　　　　　　　　イ結合法則　　　９（エ）　　　　　∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ）　　　　　　　　ウＥＩ　　８　（オ）　　　　　∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ）　　　　　　　　８９エＥＥ　　８　（カ）　　　∃ｙ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ）　　　　　　　　オＥＩ１３　　（キ）　　　∃ｙ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ）　　　　　　　　７８カＥＥ１　　　（ク）　　　君子ａ→∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ）　　　　３キＣＰ１　　　（ケ）∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝　　　クＵＩ従って、（14）により、（15） ② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝⇔ ② すべてのｘについて、ｘが君子であるならば、あるｙとあるｚについて、ｙはｘの人民であり、ｚはｘの土地であり、ｚはｙを害さない。の「対偶（Contraposition）」は、 ③ ∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝⇔ ③ すべての、ｘとｙとｚについて、ｙがｘの人民であって、ｚがｘの土地ならば、ｚがｙを害するならば、ｘは君子でない。である。然るに、（16） ③ ∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝⇔ ③ すべての、ｘとｙとｚについて、ｙがｘの人民であって、ｚがｘの土地ならば、ｚがｙを害するならば、ｘは君子でない。といふことは、 ③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。といふことである。然るに、（17） ③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。であるならば、 ③ 如其地害其人則非君子＝ ③ 如其地害（其人）則非（君子）⇒ ③ 如其地（其人）害則（君子）非＝ ③ 如し其の地（其の人を）害さ則ち（君子に）非ず。といふ風に、書くことが出来る。従って、（08）（10）（17）により、（18） ② 君子不以其所以養人者害人。 ③ 如其所以人者害人則非君子。に於いて、 ②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。（19）先ほどの、「ド・モルガンの法則」に関する「記事（令和０２年０２月２３日）」は、 ② 君子不以其所以養人者害人。といふ「漢文」を「述語論理」に翻訳してゐる際に、（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒといふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。といふことを、ネットで確認しようとしても、「確認できなかった」ので、「自分で証明」したものです。（20）あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、「連言（∩）と選言（∪）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページと２ページ」では、見付けることが出来ません。令和０２年０２月２３日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」：「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合。

2020年2月22日土曜日

「矛盾」からは何も「演繹」出来ない（其の？）。

（01） ① 風邪を引いたので会社を休む。と言へるためには、 ② 風邪を引いたならば会社を休む。といふ「命題」が、「真」でなければならない。従って、（01）により、（02） ① ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。と言へるためには、 ② ＰならばＱである（ＰならばＱなり）。といふ「命題」が、「真」でなければならない。従って、（02）により、（03） ① ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。といふ風に、言へたのであれば、 ② ＰならばＱである（ＰならばＱなり）といふ風に、言っても良い。従って、（03）により、（04） ① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。といふ風に、言へたのであれば、 ② ＰならばＰである（ＰならばＰなり）。といふ風に、言っても良い。然るに、（05）２９　Ｐ├ Ｐ　１（１）Ｐ　　　Ａこれ以上短い式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明であり。しかしそれはくわしく注意するに値する。（１）の行は（１）が与えられたならばＰが導かれることを主張している。では（１）と何であろうか―命題Ｐそのものである。 No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof: yet it is worth close attention. Line（１）affirms that given（１）, P follows; what is（１）―the proposition Ｐ itself. （E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、４４頁と、原文）従って、（05）により、（06） ① Ｐ├ Ｐといふ「連式（sequent）」は、 ① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。といふ「意味」である。然るに、（07）３８　├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）　１（１）Ｐ　　　Ａ　　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ従って、（04）（06）（07）により、（08） ① Ｐ├ Ｐ ① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。といふ風に、言へたので、 ②├ Ｐ→Ｐ ② ＰならばＰである（ＰならばＰなり）。といふ風に、言っても良い。然るに、（09）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（09）により、（10） ①　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。然るに、（10）により、（11） ①　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。に於いて、 ①＝② であるため、 ①　Ｐ→Ｐ（Ｐならば、Ｐである）。 ② ～Ｐ∨Ｐ（ＰでないかＰである）。に於いても、 ①＝② である。然るに、（12） ② ～Ｐ∨Ｐ（ＰでないかＰである）。といふことは、 ②（Ｐであるか、Ｐでないか）は、「未定」である。といふ、ことである。従って、（05）（06）（07）（12）により、（13）２９Ｐ├ Ｐ　１（１）Ｐ　　　Ａ３８　 ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）　１（１）Ｐ　　　Ａ　　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰに於いて、　１（１）　Ｐ　　　の「Ｐ（Ｐである）は、確定である」が、　　（２）　Ｐ→Ｐ　の「Ｐ（Ｐである）は、未定である」。　　（〃）～Ｐ∨Ｐ　の「Ｐ（Ｐである）は、未定である」。従って、（13）により、（14）１（１）～Ｐ　Ａに於いて、１（１）～Ｐ（Ｐでない）は、「確定」である。従って、（13）（14）により、（15）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義に於いて、１（１）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。１（２）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。１（３）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。従って、（15）により、（16）１　（１）～Ｐ　　　Ａ１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義に続けて、　４（４）　Ｐ　　　Ａとするならば、すなはち、１　（１）～Ｐ　　　Ａ１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　４（４）　Ｐ　　　Ａとするならば、１　（３）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」であるにも拘らず、それと「同時」に、　４（４）　Ｐ（Ｐである）も「確定」である」。従って、（16）により、（17）１　（１）～Ｐ　　　Ａ１　（２）～Ｐ∨Ｑ　∨Ｉ１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　４（４）　Ｐ　　　Ａ１４（５）　　　Ｑ　３４ＭＰＰとするならば、１４（５）　　　Ｑ　３４ＭＰＰに於いて、１４（５）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」であって、「同時」に、１４（〃）　Ｐ（Ｐである）も「確定」である。然るに、（18）「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、　├ を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、１６頁）従って、（05）（06）（18）により、（19）（ⅲ）１　（１）～Ｐ　　　Ａ１　（２）～Ｐ∨Ｑ　∨Ｉ１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　４（４）　Ｐ　　　Ａ１４（５）　　　Ｑ　３４ＭＰＰといふ「計算」により、 ③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑといふ「連式」、すなはち、 ③ Ｐでなくて、Ｐなので、Ｑである。といふ「連式」が「証明」されたことになる（？）。従って、（19）により、（20） ③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑに於いて、Ｐ＝バカボンのパパは天才である。Ｑ＝太陽は西から昇る。であるならば、 ③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。といふ「推論」は、「妥当」である（？）。然るに、（21）（ⅳ）１（１）～Ｐ＆Ｐ　Ａ１（２）～Ｐ　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義１（５）　Ｐ　　　１＆Ｅ１（６）　　　Ｑ　４５ＭＰＰといふ「計算」により、 ④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑに於いても、Ｐ＝バカボンのパパは天才である（？）。Ｑ＝太陽は西から昇る。であるならば、 ④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。といふ「推論」は、「妥当」である（？）。然るに、（22）２推論の規則論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３・４頁改）従って、（22）により、（23）２推論の規則論理式「～Ｐ＆Ｐ」と「～Ｐ＆Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。然るに、（24）～Ｐ＆Ｐ（矛盾）は、「恒に、偽」である。従って、（23）（24）により、（25）論理式「～Ｐ＆Ｐ」と「～Ｐ＆Ｐ→Ｑ」が共に真になることはない。従って、（21）（22）（25）により、（26） ③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑ ③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。といふ「推論」も、 ④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑ ④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。といふ「推論」も、２推論の規則論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。といふ「規則」に、「違反」してゐる。従って、（27）「矛盾からは、どのやうな命題でも、演繹できる。」といふ「言ひ方」は、「マチガイ」であって、「矛盾に気付かない場合は、どのやうな命題でも、演繹できたやうな、気になってしまふ。」といふのが、「正しい」。然るに、（28） ④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑ ④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。といふ「結論」であれば、 ④ バカボンのパパは天才であって、天才でない。といふ「矛盾」に気付かないことは、有り得ない。然るに、（29）ベストアンサーに選ばれた回答プロフィール画像 sgx********さん編集あり2006/6/1016:19:35 四色問題の最終証明は100ページの概要と100ページの詳説、 700ページの予備的成果らしいです。ワイルズの証明したフェルマーの最終定理は109ページ。フィールズ賞を受賞した廣中平祐の「代数多様体の特異点解消」の論文は、論文の中身としてはこれらより長くて217ページです。従って、（27）（29）により、（30）そのやうな「ページ数の証明」であれば、「矛盾に気付かないまま、証明できたやうな、気になってしまふ。」といふことは、有り得る、ことになる。令和０２年０２月２２日、毛利太。

2020年2月21日金曜日

「象も動物である」の「述語論理」。

（01） ①｛象、机、車｝であれば、 ①｛象が動物であり｝、 ②｛象、兎、馬｝であれば、 ②｛象も動物である｝。従って、（01）により、（02） ① 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、車）は動物でない。 ② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、馬）も動物である。に於いて、①と②は、 ① 象以外は動物でない。 ② 象以外も動物である。の「部分」が、「矛盾」する。然るに、（03） ① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。といふ「命題」は、 ① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） ① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物でなければ、ｘは動物ではない）。といふ風に、書くことが出来る。従って、（02）（03）により、（04） ① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。 ② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。に於いて①と②は、 ① 　　～象ｘ→～動物ｘ ② ～（～象ｘ→～動物ｘ）の「部分論理式」が、「矛盾」する。従って、（03）（04）により、（05） ① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。 ② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。といふ「日本語」は、それぞれ、 ① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝ ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「述語論理」に、相当する。然るに、（06）１０９　∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）┤├ ∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ（ａ）１（１）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　Ａ１（２）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　１ＵＥ１（３）　　　Ｆａ　　　　　２＆Ｅ１（４）　∀ｘＦｘ　　　　　３ＵＩ１（５）　　　　　　Ｇａ　　２＆Ｅ１（６）　　　　∀ｘＧｘ　　５ＵＩ１（７）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ　４６＆Ｉ（ｂ）１（１）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ　Ａ１（２）∀ｘＦｘ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　Ｆａ　　　　　　２ＵＥ１（４）　　　　　∀ｘＧｘ　１＆Ｅ１（５）　　　　　　　Ｇａ　４ＵＥ１（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　３５＆Ｉ１（７）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＵＩ１０９の、相互導出可能性の結果は、普遍量記号が連言の仲間であることからすれば、全く予想されることである。（Ｅ.Ｊ.レモン著、武生治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、1973年、１５１・１５３頁改）。従って、（05）（06）により、（07） ① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝ ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「式」は、 ① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）といふ「式」に「等しい」。然るに、（08）（ⅱ）１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ１（２）　　～（～象ａ→～動物ａ）　１ＵＥ１（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２含意の定義１（４）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　３ド・モルガンの法則１（５）　∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　４ＵＩ（ⅲ）１（１）　∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　Ａ１（２）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　１ＵＥ１（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２ド・モルガンの法則１（４）　　　～（象ａ→～動物ａ）　３含意の定義１（５）　∀ｘ～（象ａ→～動物ａ）　４ＵＩ従って、（08）により、（09） ② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ③ ∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）に於いて、 ②＝③ である。従って、（06）～（09）により、（10） ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）に於いて、 ②＝③ である。然るに、（11） ③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）に於いて、 ③ ∀ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）といふ「論理式」は、 ③ すべてのｘは、象以外の動物である。といふ「意味」である。従って、（10）（11）により、（12） ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）といふ「論理式（命題）」は、 ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。といふ「意味」である。然るに、（13） ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。といふことは、 ②｛象、兎、馬｝ではなく、例へば、 ③｛犬、兎、馬｝でなければ、ならない。然るに、（14） ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。ではなく、 ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。であるならば、 ③｛象、兎、馬｝であるため、「問題」は無い。然るに、（15） ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。であるならば、 ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝である。従って、（01）～（15）により、（16） ③｛象、兎、馬｝であれば、 ③｛象も動物である｝であるため、 ③「象も動物である。」といふ「日本語」は、 ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、 ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。然るに、（17）（ⅱ）１　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ１　　　（２）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ１　　　（３）　　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　　　（４）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ　５　　（５）　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　Ａ　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　Ａ　　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　Ａ　　６７（８）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　６７＆Ｉ　５６７（９）　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆　動物ａ）　　５８＆Ｉ　５６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　７９ＲＡＡ　５　　（イ）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　６アＣＰ１５　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　４イ＆Ｉ１　　　（エ）　　　　　　　　　　～～（～象ａ＆　動物ａ）　　５ウＲＡＡ１　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　エＤＮ１　　　（カ）　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　オＥＩ１　　　（キ）　　　象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　３カ＆Ｉ１　　　（ク）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝　キＵＩ（ⅲ）１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝　Ａ１　　　（２）　　　象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　１ＵＲ１　　　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）　　２＆Ｅ　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ　５　　（７）　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　５＆Ｅ　　６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　５＆Ｅ　５６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　６７ＭＰＰ　５６　（ア）　　　　　　　　　　　　　動物ａ＆～動物ａ　　　８９＆Ｉ　５　　（イ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　６アＲＡＡ１　　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　４５イＥＥ１　　　（エ）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３ウ＆Ｉ１　　　（オ）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　エＵＩ従って、（17）により、（18） ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝に於いて、 ②＝③ である（？）。従って、（16）（17）（18）により、（19） ③「象も動物である。」といふ「日本語」は、 ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、 ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。と言ってゐるにも拘らず、実際には、 ②＝③ である。といふことになってしまい、「お前の言ってゐることは、矛盾である」。といふ、ことになる。然るに、（20）　１　（１）∃ｘＦｘ　Ａ　　２（２）　　Ｆａ　Ａ　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ　１　（４）∀ｘＦｘ　３ＵＩＵＩの適用は正しい。なぜならば、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。（Ｅ.Ｊ.レモン著、武生治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、1973年、１４７頁）従って、（17）（20）により、（21）（ⅲ）１　　　（ウ）　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　４５イＥＥ１　　　（エ）　　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３ウ＆Ｉ１　　　（オ）　∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　エＵＩといふ「３行」も、「マチガイ」である。従って、（17）（18）（21）により、（22） ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆　動物ｙ）｝に於いて、 ②＝③ ではなく、実際には、 ②⇒③ である。従って、（19）（22）により、（23） ③「象も動物である。」といふ「日本語」は、 ② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、 ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。といふ「主張」は、「矛盾」しない。従って、（23）により、（24） ③ 象も動物である。⇔ ③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝⇔ ③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。といふ「等式」が、成立する。令和０２年０２月２１日、毛利太。

「任意の命題」は「任意の仮言命題の後件」であるが、「真」であるとは限らない（其の？）。

（01）（ⅰ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ（ⅱ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ従って、（01）により、（02） ① ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。 ②　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。に於いて、 ①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。然るに、（03）（ⅲ）１（１）　　　Ｑ　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義従って、（03）により、（04） ③ Ｑ├ Ｐ→Ｑといふ「連式（Sequent）」は「妥当」であり、このことは、 ③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」といふことを、示してゐる。然るに、（05）（ⅲ）１（１）　　　　　Ｑ　Ａ１（２）　　～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１（３）　　　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　（４）Ｑ→（Ｐ→Ｑ）然るに、（06）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（05）（06）により、（07） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ） ③ Ｑならば（ＰならばＱである）。は「恒真式（トートロジー）」である。従って、（07）により、（08） ③ 任意のＱとＰに於いて、 ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ） ③ Ｑならば（ＰならばＱである）。は、「恒に、真（本当）」である。従って、（08）により、（09）Ｐ＝太陽は東から昇る。Ｑ＝バカボンのパパは天才である。として、 ③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」である。然るに、（10） ③ 太陽は東から昇る。といふ「命題」は「真（本当）」である。然るに、（11） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）が、「恒真式（トートロジー）」であるといふことは、 ③ Ｑ→（真→Ｑ）であっても、 ③ Ｑ→（偽→Ｑ）であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。といふ、ことである。然るに、（12） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）に於いて、 ③ Ｑ→（真→Ｑ）であっても、 ③ Ｑ→（偽→Ｑ）であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。といふことは、 ③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。といふことである。然るに、（13） ③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。といふことは、 ③ ＱならばＱである（同一律）。と、「同じ」である。従って、（09）（13）により、（14） ③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。といふ「恒真式（トートロジー）」は、 ③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」である。然るに、（15）（ⅲ）（１）　Ｑ→Ｑ　定理導入の規則（ＴＩ）（２）～Ｑ∨Ｑ　含意の定義（ⅳ）（１）～Ｑ∨Ｑ　定理導入の規則（ＴＩ）（２）　Ｑ→Ｑ　含意の定義従って、（15）により、（16） ③ 　Ｑ→Ｑ　（同一律） ④ ～Ｑ∨Ｑ　（排中律）に於いて、 ③＝④ である。従って、（14）（15）（16）により、（17） ③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。といふ「恒真式（トートロジー）」は、 ③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」であって、 ③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」は、 ③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。といふ「排中律（～Ｑ∨Ｑ）」と、「同じ」である。然るに、（18） ③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。といふのであれば、 ③ バカボンのパパは天才である。とは、言へない。従って、（17）（18）により、（19）Ｐ＝太陽は東から昇る。Ｑ＝バカボンのパパは天才である。として、 ③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」であって、 ③ 太陽は東から昇る。といふ「命題」も「真（本当）」であるが、 ③ バカボンのパパは天才である。といふ「命題」は、「真（本当）」であるとは、限らない。従って、（04）（19）により、（20） ③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」が、 ③「後件（Ｑ）の真偽（本当・ウソ）は、不明である。」令和０２年０２月２１日、毛利太。

2020年2月20日木曜日

「象は鼻が長い。」等、計１２個の「述語論理」（Ⅱ）。

―「一昨日（令和０２年０２月１８日）」の記事を書き直して、わずかに、要約します。結論は、（44）に示します。― （01） ①｛象、□、□｝ ②｛象、机、車｝ ③｛象、兎、馬｝に於いて、 ①｛象、□、□｝であれば、 ①｛少なくとも、象は動物である｝。然るに、（02） ②｛象、机、車｝ ③｛象、兎、馬｝に於いて、 ② であれば、｛象以外（机、車）は動物ではなく｝、 ③ であれば、｛象以外（兎、馬）も動物ではある｝。然るに、（03） ②｛象、机、車｝であれば、 ②｛象が動物であり｝、 ③｛象、兎、馬｝であれば、 ③｛象も動物である｝。従って、（01）（02）（03）により、（04） ① 象は動物である。⇔ 象は動物である。 ② 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外は動物でない。 ③ 象も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外も動物である。といふ「等式」が、成立する。然るに、（05） ① 象は動物である。 ② 象は動物であり、象以外は動物でない。 ③ 象は動物であり、象以外も動物である。といふことは、「記号」で書くと。 ① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝であって、それぞれの「読み方」は、 ① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。 ② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。 ③ すべてのｘについて、ｘが象であるなあば、ｘは動物であり、あるｙは象ではないが、動物である。である。（06） ④ 象は鼻は長い。といふことは、 ④ 象には長い鼻がある。といふことである。従って、（06）により、（07） ④ 象は鼻は長い。⇔ ④ 象には長い鼻がある。⇔ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔ ④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い。（08） ⑤ 象は鼻が長い。といふことは、 ⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。といふことである。従って、（08）により、（09） ⑤ 象は鼻が長い。⇔ ⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔ ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔ ⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。（10） ⑥ 象は鼻も長い。といふことは、 ⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。といふことである。従って、（09）（10）により、（11） ⑥ 象は鼻も長い。⇔ ⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。⇔ ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔ ⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない、といふわけではない。然るに、（12）（ⅵ）１　（１）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ１　（２）∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　１量化子の関係　３（３）　　～（～鼻ｃｘ→～長ｃ）　Ａ　３（４）　　～（　鼻ｃｘ∨～長ｃ）　３含意の定義　３（５）　　　　～鼻ｃｘ＆　長ｃ　　４ド・モルガンの法則　３（６）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　５ＥＩ１　（７）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　１３６ＥＥ（ⅶ）１　　（１）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　Ａ　２　（２）　　　　～鼻ｃｘ＆　長ｃ　　Ａ　　３（３）　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ　　３（４）　　　　～鼻ｃｘ→～長ｃ）　３ＵＥ　２　（５）　　　　～鼻ｃｘ　　　　　　２＆Ｅ　２３（６）　　　　　　　　　～長ｃ　　４５ＭＰＰ　２　（７）　　　　　　　　　　長ｃ　　２＆Ｅ　２３（８）　　　　　　～長ｃ＆長ｃ　　６７＆Ｉ　２　（９）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　３８ＲＡＡ従って、（12）により、（13） ⑥ ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ⑦ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）に於いて、 ⑥＝⑦ である。従って、（11）（12）（13）により、（14） ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝に於いて、 ⑥＝⑦ である。従って、（11）（14）により、（15） ⑥ 象は鼻も長い。⇔ ⑥ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。⇔ ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑥ すべてのｘについて、あるｙはｘの鼻であって、長く。あるｚはｘの鼻ではなく、ｚは長い。従って、（04）（05）（07）（09）（15）により、（16） ① 象は動物である。 ② 象が動物である。 ③ 象も動物である。 ④ 象は鼻は長い。 ⑤ 象は鼻が長い。 ⑥ 象は鼻も長い。といふ「日本語」は、 ① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝といふ「述語論理」に、相当する。（17） ⑦ 象が鼻は長い。といふことは、 ⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻は長くない。といふことである。然るに、（18） ⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔ ⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔ ⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。従って、（17）（18）により、（19） ⑦ 象が鼻は長い。⇔ ⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔ ⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔ ⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。（20） ⑧ 象が鼻が長い。といふことは、 ⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。といふことである。然るに、（21） ⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。といふことは、 ⑧ 象以外に、鼻は長いが、鼻以外は長くない動物はゐない。といふことである。然るに、（22） ② 象が動物である。 ⑤ 象は鼻が長い。 ② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝を「合成」すると、 ⑧ 象が鼻が長い。⇔ ⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。⇔ ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝といふ、ことになる。然るに、（23）（ⅷ）１　　　　（１）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　Ａ１　　　　（２）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　Ａ　３　　　（３）～象ａ１３　　　（４）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　２３ＭＰＰ１３　　　（５）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４ド・モルガンの法則１３　　　（６）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５含意の定義　　７　　（７）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１３７　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６７ＭＰＰ１３７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　８量化子の関係　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｃａ∨～長ｃ）　　９含意の定義　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　ア、ド・モルガンの法則　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　イＥＩ１３７　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　クアウＥＥ１３　　　（オ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７エＣＰ１　　　　（カ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　３オＣＰ　　　　キ（キ）～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　キ（ク）～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ１　　　キ（ケ）　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　カクＭＰＰ　　　　キ（コ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ１　　　キ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ケコＭＰＰ１　　　　（シ）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　キサ１　　　　（ス）　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　シＵＩ（ⅸ）１　　　　（１）　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　Ａ１　　　　（２）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ　３　　　（３）　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　４　　（４）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　３４　　（５）　～鼻ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ１３４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２５ＭＰＰ　　　７　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　Ａ　　　７　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　７ド・モルガンの法則　　　７　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　８含意の定義　　　７　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　９ＥＩ１３４　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　６７アＥＥ１３４　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　イ量化子の関係　１３　　　（エ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　４ウＣＰ１３　　　（オ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　エ含意の定義１３　　　（カ）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　オ、ド・モルガンの法則１　　　　（キ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　３カＣＰ１　　　　（ク）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　キＵＩ従って、（23）により、（24） ⑧ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ ⑨ ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　 ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）に於いて、 ⑧＝⑨ である。従って、（22）（23）（24）により、（25） ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝に於いて、 ⑧＝⑨ である。然るに、（26） ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑧ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。といふことは、 ⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。といふ、ことである。然るに、（27） ⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。といふことは、 ⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。といふことである。然るに、（28） ⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。といふことは、 ⑧ 象が鼻が長い。といふことである。従って、（20）～（28）により、（29） ⑧ 象が鼻が長い。⇔ ⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。 ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑧ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。然るに、（30） ⑨ 象が鼻も長い。といふことは、 ⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。といふことである。然るに、（31） ⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔ ⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない従って、（30）（31）により、（32） ⑨ 象が鼻も長い。⇔ ⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔ ⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない従って、（16）（19）（29）（32）により、（33） ① 象は動物である。 ② 象が動物である。 ③ 象も動物である。 ④ 象は鼻は長い。 ⑤ 象は鼻が長い。 ⑥ 象は鼻も長い。 ⑦ 象が鼻は長い。 ⑧ 象が鼻が長い。 ⑨ 象が鼻も長い。といふ「日本語」は、 ① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝ ⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝といふ「述語論理」に、相当する。（34） ⑩ 象も鼻は長い。といふことは、 ⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻で、長い鼻が存在しない、といふわけではない。といふことである。然るに、（35） ⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻ならば、長い鼻が存在しない、といふわけではない。⇔ ⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝⇔ ⑩ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙが存在しない、といふわけではない。然るに、（36）（ａ）１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝　Ａ１（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝　Ａ１（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ１（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　２ＵＥ１（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［　象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　４含意の定義１（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　５ド・モルガンの法則１（７）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　３６＆Ｉ１（８）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　　～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　７ＵＩ（ｂ）１　（１）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　Ａ１　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　１ＵＥ１　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　２＆Ｅ　５（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　Ａ１　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　５６ＭＰＰ１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　４＆Ｅ１５（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　７８＆Ｉ１　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　５９ＲＡＡ１　（イ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　３ア＆Ｉ１　（ウ）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝　イＵＩ従って、（36）により、（37）　（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　　～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝に於いて、（ａ）＝（ｂ）である。従って、（34）（35）（36）により、（38） ⑩ 象も鼻は長い。⇔ ⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔ ⑩ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長い。然るに、（33）により、（39） ⑤ 象は鼻が長い。⇔ ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝従って、（38）（39）により、（40） ⑤ 象は鼻が長い。と、 ⑤ 象は鼻が長い。を、「合成」すると、 ⑪ 象も鼻が長い。⇔ ⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔ ⑪ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなくない。然るに、（41） ⑫ 象も鼻も長い。といふことは、 ⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。といふことである。然るに、（42） ⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。 ⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。従って、（41）（42）により、（43） ⑫ 象も鼻も長い。⇔ ⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。 ⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔ ⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。従って、（33）（38）（40）（43）により、（44） ① 象は動物である。 ② 象が動物である。 ③ 象も動物である。 ④ 象は鼻は長い。 ⑤ 象は鼻が長い。 ⑥ 象は鼻も長い。 ⑦ 象が鼻は長い。 ⑧ 象が鼻が長い。 ⑨ 象が鼻も長い。 ⑩ 象も鼻は長い。 ⑪ 象も鼻が長い。 ⑫ 象も鼻も長い。といふ「日本語」は、 ① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝ ⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝といふ「述語論理」に、相当する。然るに、（45）日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン著、武生治一郎・浅野楢英訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。然るに、（46） ⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝といふ「述語論理式」が書けるようになるためには、確かに、（ａ）一般にあたまが柔軟であることが必要であるし、（ｂ）なんら確定的な規則があるわけではないし、（ｃ）量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。従って、（47）「練習を積むこと」を厭はない人でなければ、 ⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝といふ「式」を、書けるようには、ならないのが、「普通」であると、思はれる。令和０２年０２月２０日、毛利太。

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