「日本は、大阪は首都ではない」の「述語論理」。

（01）
１　　　　　（１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　日本ａ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　大阪ｃ＆～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　大阪ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４　　　（６）　　　　　　　～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　７　　（７）　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　７　　（８）　　　　　　　∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）］　　２７ＭＰＰ
　　　　９　（９）　　　　　　　　　　（東京ｂ＆首都ｂａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｂ）　　　Ａ
　　　　９　（ア）　　　　　　　　　　　東京ｂ＆首都ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　９　（イ）　　　　　　　　　　　東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　９　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｂ）　　　９＆Ｅ
　　　　９　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｃ＝ｂ　　　　ウＵＥ
　　４　９　（オ）　　　　　　～東京ｃ＆東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６イ＆Ｉ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　ｃ＝ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　９カ（キ）　　　　　　～東京ｂ＆東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＝Ｅ
　　４　９　（ク）　　　　　　　　　　　ｃ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキＲＡＡ
　　４　９　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～首都ｃａ　　　　　　　　エクＭＴＴ
　　４　９　（コ）　　　大阪ｃ＆～首都ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５ケ＆Ｉ
　　４　９　（サ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
１　４７　　（シ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９サＥＥ
１３　７　　（ス）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３４シＥＥ
１３　　　　（セ）　　　日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　７スＣＰ
１３　　　　（ソ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝然るに、
② ∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）従って、
③ ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）　　　　首都ｃｘ→ｃ＝ｙ　　１ＵＥ
　３　（３）　∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）　Ａ
　　４（４）　　　　ｙ≠ｃ＆首都ｃｘ　　Ａ
　　４（５）　　　　ｙ≠ｃ　　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　ｃ≠ｙ　　　　　　　５交換法則
　　４（７）　　　　　　　　首都ｃｘ　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　～首都ｃ　　　　　　　２６ＭＴＴ
１　４（９）　　　～首都ｃ＆首都ｃｘ　　７８＆Ｉ
１３　（ア）　　　～首都ｃ＆首都ｃｘ　　３４９ＥＥ
１　　（イ）～∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）　３アＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）　Ａ
１　　（２）∀ｚ～（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　～（ｙ≠ｃ＆首都ｃｘ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　ｙ＝ｃ∨～首都ｃｘ　　３ド・モルガンの法則
　５　（６）　　　ｙ＝ｃ　　　　　　　　Ａ
　５　（７）　　　ｃ＝ｙ　　　　　　　　６交換法則
　５　（８）　　　～首都ｃｘ∨ｃ＝ｙ　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　～首都ｃｘ　　Ａ
　　９（ア）　　　～首都ｃｘ∨ｃ＝ｙ　　９∨Ｉ
１　　（イ）　　　～首都ｃｘ∨ｃ＝ｙ　　４６８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）　　　　首都ｃｘ→ｃ＝ｙ　　イ含意の定義
１　　（エ）　∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）　ウＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
①   ∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）
② ～∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆　∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
② ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆～∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆～∃ｚ（ｙ≠ｚ＆首都ｚｘ）］｝然るに、
② ∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）従って、
③ ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが日本であるならば、あるｙは、東京であり、ｘの首都であり、ｙではない、あるｚがｘの首都である。といふことはない。
② あるｚは大阪であり、東京ではない。 従って、
③ すべてのｘについて、ｘが日本であるならば、あるｚは大阪であって、ｘの首都ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
① 日本は、東京は首都であり、東京以外は首都ではない。 然るに、
② 大阪は、東京ではない。 従って、
③ 日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
しかるに、
（08）
「日本語」としては、
① 日本は、東京が首都である。 然るに、
② 大阪は、東京ではない。 従って、
③ 日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 日本は、東京が首都である。
といふ「日本語」は、
① 日本は、東京以外は首都ではない。
といふ「意味」を、「含意」する。
しかるに、
（10）
③ 日本は、大阪は首都ではない。
といふ「日本語」が、
③ 日本は、大阪以外は首都である。
といふ「意味」を「含意」するのであれば、
① 日本は、東京が首都である。 然るに、
② 大阪は、東京ではない。 従って、
③ 日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）（10）により、
（11）
③ 日本は、大阪は首都ではない。
といふ「日本語」は、
③ 日本は、大阪以外は首都である。
といふ「意味」を「含意」しない。
従って、
（09）（11）により、
（12）
① 日本は、東京が首都である。
③ 日本は、大阪は首都ではない。
に於いて、
① は、「日本は、東京以外は首都でない。」といふ「意味」を「含意」し、
③ は、「日本は、大阪以外は首都である。」といふ「意味」を「含意」しない。
令和０２年０１月１０日、毛利太。