「自然演繹」は、そこそこ「自然」である。

（01）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② である。
といふこと（含意の定義）を、「日本語」で示したい。
（02）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
ではなく、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② であると、「仮定」する。
然るに、
（03）
② ＰでないかＱである。といふことはない。
といふことは、
③ Ｐでない。ではないし、
④ Ｑである。でもない。
といふことである。
ｃｆ.
「ド・モルガンの法則」が「正しい」のであれば、さうである。
然るに、
（04）
③ Ｐでない。ではないし、
④ Ｑである。でもない。
といふことは、
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふことである。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② であると、「仮定」すると、
① Ｐならば、Ｑである。
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
① Ｐならば、Ｑである。
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふことは、
① Ｐならば、Ｑである。が、
③ ＰであってＱでない。
といふ、ことである。
然るに、
（07）
① Ｐならば、Ｑである。が、
③ ＰであってＱでない。
といふのであれば、「矛盾」する。
従って、
（02）～（07）により、
（08）
「背理法（ＲＡＡ）」により、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② ではなく、
①≠② である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）
「記号」で書くと、
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①   Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
①   Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、序ⅲ）
（15）
論理の演繹システムは、おおまかにいって、３種類あります。１つ目は、数学者ヒルベルトの提出したもの、２つ目は、数学者ゲンツェンの提出したシークエント計算、３つ目は、同じくゲンツェンが提出した自然演繹です（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
「日本語」で考へても、「自然演繹」で計算しても、
①   Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② であるし、「自然演繹」に慣れてゐる私にとっては、「自然演繹（命題計算）」は、「日本語で、論理的に考へること」と、「同じくらひの、分かり易さ」である。
然るに、
（17）
「ならば」の推論規則
最初に→（ならば）の推論規則を説明します。実は、この→（ならば）の推論規則が、自然演繹の中で最も特徴的な規則であり、それゆえ難しいものです。したがって、この最難関を最初にもってくることにしました。ここを乗り越えれば。他の論理記号の推論規則の理解は多少楽になると思います（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４６頁）。
従って、
（17）により、
（18）
小島先生の言によれば、「自然演繹（Natural deduction）」と言へども、それなりに、「不自然（unnatural）」である。といふ、ことになる。
（19）
この規則（選言導入）は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。しかし、あとで解説しますが、この推論規則は、他の大事な規則を導く礎になります（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
然るに、
（20）
（ａ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９∨Ｅ
（ｂ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　１２６７イＶＥ
従って、
（20）により、
（21）
例へば、高校生も知ってゐる「分配法則」も、「選言導入（∨Ｉ）」が無ければ、「証明」出来ない。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
小島先生の言によれば、「選言導入（∨Ｉ）」が、数学の証明では、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。
といふのであれば、数学者といへども、「定理」を「証明」する際には、「自然演繹（Natural deduction）」そのものを、用ひてゐるわけではない。
といふ風に、思はれる。
令和０２年０１月１２日、毛利太。