「同一律」＝「排中律」＝「矛盾律」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①   Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（02）により、
（03）
「含意の定義」により、
①   Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
（04）
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　２３　（６）　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　８ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
②   ～Ｐ∨　Ｑ　≡ＰでないかＱである。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡ＰであってＱでない、といふことはない。
に於いて、
②＝③ であるものの、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
「ド・モルガンの法則」により、
②   ～Ｐ∨　Ｐ　≡ＰでないかＰである。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
①  　 Ｐ→　Ｐ　≡Ｐならば、Ｐである。
② 　～Ｐ∨　Ｐ　≡ＰでないかＰである。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）により
（08）
①  　 Ｐ→　Ｐ　≡同一律（Principle of identity）。
② 　～Ｐ∨　Ｐ　≡排中律（Principle of excluded middle）。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡矛盾律（Principle of contradiction）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　　　～～Ｐ　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　　　　Ｐ　　　５ＤＮ
１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ
　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
（ⅲ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
然るに、
（10）
仮定の規則（Ａ）
第一に導入されるべき導出規則は仮定の規則（Rule of asuumption）であり、これをＡと名づける。この規則は、論証の任意の段階において、論証の仮定として選ばれた命題を導入することを許す。われわれはたんにその命題をひとつの新しい行として記入し、その右側に「Ａ」と書き、その左側にはその命題自身の番号を記して、それが仮定としてそれ自体に依存することを示す。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１３頁）
従って、
（10）により、
（11）
１（１）Ｐ　Ａ
といふことは、
仮定１により、（１）Ｐである。　と仮定する。
といふことである。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
　（２）　　Ｐ→　Ｐ　　１１ＣＰ
　（ア）　～Ｐ∨　Ｐ　　９ＤＮ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
には、「仮定」が「無い」。
従って、
（12）により、
（13）
　（２）　　Ｐ→　Ｐ
　（９）　～Ｐ∨　Ｐ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）
は、「仮定に依らず、真（本当）である。」
然るに、
（14）
「仮定に依らずとも、真（本当）である。」といふことは、
「いつでも、どこでも、恒に、真である。」といふことである。
従って、
（08）（13）（14）により、
（15）
①  　 Ｐ→　Ｐ　≡同一律（Principle of identity）。
② 　～Ｐ∨　Ｐ　≡排中律（Principle of excluded middle）。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡矛盾律（Principle of contradiction）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらの「３通り」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① 同一律（Principle of identity）。
② 排中律（Principle of excluded middle）。
③ 矛盾律（Principle of contradiction）。
は、３つとも、「自然演繹の規則」によって、「演繹」されるため、所謂、「公理（axioms）」ではない。
従って、
（16）により、
（17）
普通に考えると、素朴な恒真式（トートロジー）である、
　Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）
とか、あるいは、
　Ｐ∨～Ｐ（Ｐであるか、またはＰでない）
などをいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。しかし、そんな必要はないのです。なぜなら、どちらの恒真式も自然演繹で演繹できてしまうからなのです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４０頁）。
といふ、ことになる。
従って、
（18）
「自然演繹」の場合は、「規則（Rules）」が有って、「公理（axioms）」が無い。
令和０２年０１月１２日、毛利太。