「ド・モルガンの法則」を理解することは「簡単」である。

（01）
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
① 　～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆　Ｑ）
といふ「式」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆　Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆　Ｑ）
といふ「式」は、
① 　～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆　Ｑ）
といふ「式」の「否定」である。
従って、
（05）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆　Ｑ）
に於いても、
③＝④ である。
然るに、
（06）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆　Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆　～Ｑ）
然るに、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆　～Ｑ）
といふ「式」は、
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
といふ「式」に「等しい」。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① 　～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆　Ｑ）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「番号」と付け直すと、
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるものの、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（11）
①『命題Ｐと命題Ｑと命題Ｒの内の、少なくとも、１つは、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑと命題Ｒの、その３つが、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ～（Ｐ∨  Ｑ∨  Ｒ）
②   ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
③ 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
④ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるものの、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（13）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に対する、「命題計算（Propositional calculation）」は、次（14）の通りである。
（14）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
　　　５（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　５（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　５（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ
　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ
１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）
１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ
１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
然るに、
（15）
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
といふ「計算」に於ける、
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
といふ「行」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』と「仮定」し、
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」する。
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』と「仮定」し、
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」すると、
⑤「矛盾」が生じ、
⑨「矛盾」が生じるため、
⑩『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」は、「否定」される。
といふことを、示してゐる。
然るに、
（16）により、
（17）
（ⅳ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、
（ⅳ）
１２　　（ウ）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　２イ＆Ｉ
　２　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　１ウＲＡＡ
といふ風に、「続ける」ことも出来る。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふことが、出来る。
従って、
（17）（18）により、
（19）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ）　
⑥ ～～Ｐ＆～～Ｐ≡Ｐ＆Ｑ
に於いても、
⑤＝⑥ である。
令和０２年０１月１４日、毛利太。